8 Proporcionalidad numérica CONTENIDOS PREVIOS

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1 CONTENIDOS PREVIOS Conozcas la relación entre las fracciones equivalentes. Dos fracciones y son equivalentes, y se escribe =, b d b d si a d=b c =, ya que: 2 6 = 3 4 = Te ayudarán a identificar qué es una proporción. Sepas amplificar y simplificar fracciones. Lo necesitarás para estudiar las series de razones iguales. Amplificación. Multiplicamos numerador y denominador por un mismo número distinto de cero = = = = Simplificación. Dividimos numerador y denominador entre un mismo número distinto de cero : : 3 = = = = : : 3 13 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS Domines la técnica de paso de números decimales exactos a fracciones. Lo necesitarás para trabajar con porcentajes. Recuerdes algunas operaciones entre números enteros y decimales. Se pone en el numerador el número decimal sin loma, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras haya a la derecha de loma. Simplificamos después todo lo que podamos ,6 = = 0,75 = = Simplificamos Para multiplicar un número entero por uno decimal, se multiplica normalmente y luego se separan tantas cifras decimales como tenga el número decimal. Para dividir un número decimal entre uno entero, se divide normalmente y se coloca loma en el dividendo al llegar al grupo de cifras decimales. Simplificamos Tendrás que aplicarlas en la resolución de problemas de proporcionalidad. 3, ,8 0 24, , MATEMÁTICAS 1. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

2 UNIDAD 8 NOTACIÓN MATEMÁTICA = = k Indica una proporción y su b d constante de proporcionalidad. = Indica una proporción con un b x término desconocido. Lonstante de proporcionalidad se representa por k. Los términos desconocidos de una proporción se suelen expresar mediante x, y, z RECURSOS PARA EL AULA Magnitud A a 1 a 2 a 3 m Magnitud B b 1 b 2 b 3 n Los valores que puede tomar la magnitud A se expresan mediante a 1, a 2, a 3 y los de la magnitud B mediante b 1, b 2, b 3 Las casillas con puntos suspensivos significan que la tabla tiene más valores intermedios que guardan la misma relación de proporcionalidad. a1 a2 a3 m = = = = b1 b2 b3 n a 1 b 1 = a 2 b 2 = a 3 b 3 = = m n Los puntos suspensivos expresan que todos los pares de valores mantienen la misma relación. a b Indica la proporción =. c x b x % Indica que estamos expresando unantidad en tanto por ciento. k % de C Indica que de cada 100 partes de C tomamos k. La proporción =, siendo x unantidad b x desconocida, indica que a es proporcional a b como c lo es a x. Paralcular el tanto por ciento de unantidad, multiplicamos el tanto por lantidad y dividimos entre % de 230 = 36,8 100 Para expresar una fracción en tanto por ciento tomamos su expresión decimal y la multiplicamos por = 0,4 = 0,4 100 % = 40 % 5 5 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS 1. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 107

3 EN LA VIDA COTIDIANA... La razón áurea En este proyecto pretendemos que aprendas a: Utilizar las razones de proporcionalidad en contextos reales para resolver problemas. Trabajar con escalas en fotografías, calculando distancias a partir de distancias reales, y viceversa. 1 La razón áurea en Geometría Desde la antigüedad, el hombre ha utilizado las razones y proporciones en multitud de contextos, sobre todo geométricos, y en algunos casos copiado directamente de la Naturaleza. Una razón muy especial que encontramos en la Naturaleza es lonocidomo razón áurea, o número de oro, que aparece en las dimensiones del organismo de algunos animales, flores, etcétera. Dos segmentos están en proporción áureuando la longitud de la suma de ambos es al mayor como el mayor es al menor, es decir: AC AB = AB BC A B C Pues bien, para que se cumpla esa proporción, la razón vale exactamente: Φ=1, (un número decimal con infinitas cifras). Este número Φ se llama número de oro. Se suele definir un rectángulo áureo como aquel que cumple que la razón entre la longitud y la altura es el a número de oro, es decir, que =Φ 1,62. b b a 2 La razón áurea en la escultura y arquitectura COMPETENCIA MATEMÁTICA Leonardo da Vinci dedicó parte de su Tratado de pintura a expresar las proporciones armónicas entre las partes del cuerpo humano. Para ello realizó el famoso dibujo anatómico de la fotografía. Otro contexto en el que aparece la razón áurea es la arquitectura, por ejemplo, en el Partenón. HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Mide las dimensiones del rectángulo de la figura. b) Calcula la razón entre las dos longitudes. Qué observas? REALIZA ESTAS ACTIVIDADES. a) Mide las dimensiones del rectángulo de la fotografía y calcula la razón. Qué razón es? b) Si la altura real es de 18 metros, calcula la escala de la fotografía. c) Cuál será el ancho de la fachada? 108 MATEMÁTICAS 1. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

4 UNIDAD 8 3 La razón áurea en la Naturaleza La razón áurea aparece en multitud de lugares en la Naturaleza como, por ejemplo, en la forma de los huevos: en general, la razón entre la altura y el ancho está comprendida entre los números Φ 1, 27 y Φ 1,62. Veamos de forma gráficómo el tamaño de algunos animales guarda también esta proporción, es decir, la longitud dividida entre la altura es, normalmente, un decimal aproximado a 1,6, o, en forma de fracción, 8/5. OBSERVA LA VACA DE LA FOTOGRAFÍA Y REALIZA ESTAS ACTIVIDADES. a) Mide las longitudes de la base y altura del rectángulo donde está inscrita la vaca. Cuál es la razón entre las medidas? b) La vaca de la fotografía mide 1,4 metros de altura. Cuál es la escalon la que se ha representado? c) Y su longitud? RECURSOS PARA EL AULA 4 La razón áurea en otros contextos Observa los ejemplos que te damos ontinuación, todos ellos son objetos de la vida diaria. En la fotografía tienes una tarjeta de crédito. Observa las fotografías de los billetes de 5 y 500. REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Mide las dimensiones de la tarjeta. b) Calcula la razón entre la longitud y el ancho. c) Si puedes, obtén las dimensiones reales y, a partir de ellas, calcula la escala de la fotografía. Toma ahora un documento nacional de identidad. Su tamaño está relacionado con la razón áurea. a) Mide las dimensiones de tu DNI. b) Calcula la razón entre la longitud y el ancho. Qué observas? c) Si tuvieras una fotografía de un DNI que midiese 3 cm de largo y 4,8 cm de ancho, a qué escala estaría hecha? a) Mide las dimensiones de los billetes de las fotografías. b) Calcula la razón entre su longitud y su ancho. c) Averigua sus dimensiones reales y, a partir de ellas, calcula la escala de la fotografía. d) Las dimensiones de los billetes, están en proporción áurea? e) Elige otros billetes de valores diferentes e investiga la relación entre sus dimensiones. COMPETENCIA MATEMÁTICA MATEMÁTICAS 1. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 109

5 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Empezar por el final Estrategia Para resolver un problema, generalmente se empiezan a utilizar los datos que aparecen en primer lugar. Pero hay otros problemas que se resuelven más fácilmente empezando por los datos del final y remontando el problema hacia atrás, usando finalmente los datos del principio. Si en algunos de los problemas hay datos que sobran, se prescinde de ellos. PROBLEMA RESUELTO Para favorecer la venta de un tipo de bocadillo, unafetería estableció un precio muy económico. Al cabo de dos meses duplicó su precio. Cuando el dueño vio que el número de bocadillos servidos disminuía, bajó el precio un 20 %. El precio final del bocadillo quedó en 96 céntimos de euro (0,96 ). Cuál era el precio inicial del bocadillo? Planteamiento y resolución En el siguiente esquema se resume el enunciado del problema, y se señalon flechas azules el proceso que se seguiría para obtener el dato del final (96 céntimos de euro). En este problema debemos ignorar los datos que sobran, que son los referidos al tiempo. Precio inicial (P) 2 0,80 Segundo precio (P' ) 0,96 : 2 : 0,80 APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS Según la parte final del enunciado, si se rebajó el precio un 20 %, el precio final (96 céntimos de euro) es el 80 % del precio anterior, P'. El número 96 se obtiene multiplicando 0,80 por el precio P': 0,80 P' = 96; por ello, este precio P' se calcula dividiendo 96 entre 0,80; es decir, P' = 96 : 0,80 = 120. Conociendo este precio (P' = 120), el precio inicial P se obtiene dividiendo 120 entre 2. Así, el precio inicial P es 60 céntimos de euro. : 2 : 0, PROBLEMAS PROPUESTOS En una tienda hay tres tipos de televisores. El precio que tiene el mayor es y el precio del menor es el 20 % del valor de los otros dos. Cuál es el precio del televisor mediano? MATEMÁTICAS 1. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.