Planteamiento General para Polinomios Ortogonales. 1. Producto interno genérico, norma y ortogonalidad

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1 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales Planteamiento General para Polinomios Ortogonales Hemos considerado un par de ejemplos de Polinomios Ortogonales En ambos podemos idenficar algunas características comunes En base a estas características comunes definiremos otras familias de polinomios ortogonales Nomenclatura Nombre a b wx) N n N 0 P n x) Legendre n + π T n x) Tchebychev E π x π U n x) Tchebychev E x H n x) Hermite e x n n! π L n x) Laguerre 0 e x L α nx) Laguerre G 0 x α e x con α > P αβ Γn+α+) n! n x) Jacobi x) α + x) β Cuadro : Propiedades genéricas de los Polinomios Ortogonales, N n indica la norma del polinomio de grado n En el caso de los polinomios de Jacobi, la norma es N n = α+β+ Γn + α + )Γn + β + ) n + α + β + n!γn + α + β + ) con α > y β > Producto interno genérico, norma y ortogonalidad Los polinomios ortogonales se definen como un conjunto de polinomios {p n x)} de orden n definidos en un determinado intervalo a x b, los cuales son ortogonales respecto a una definición de producto interno b a wx)p m x)p n x)dx = h n δ nm con wx) > 0 una función peso en a x b que garantiza que la norma sea finita en ese intervalo Dado que el Teorema de Weierstrass garantiza que el conjunto de polinomios {, x, x,, x n, } es una base completa para un espacio vectorial E, se procede a ortogonalizar esa base con la definición de producto interno y el intervalo que corresponda Para cada caso tendremos una base ortogonal de polinomios En el cuadro resumimos las propiedades más resaltantes, com lo son: la función peso en el producto interno, el intervalo en el cual están definidas estas fuciones y su norma Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad Industrial de Santander

2 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales Polinomio µ n wx) qx) P n ) n n n! x ) n T n n+ Γ n + ) π x x ) n U n n + ) π n+ Γ n + 3 ) x x H n ) n e x L n n! e x x L α n n! x α e x x Cuadro : Funciones para determinar la Fórmula de Rodrigues generalizada Fórmula de Rodrigues genelarizada En general todos los polinomios ortogonales {p n x)} vienen definidos por la fórmula de Rodrigues generalizada d n p n x) = wx)µ n dx n wx)qx)n ) donde wx), qx) y µ n vienen especficados en el cuadro para cada conjunto de polinomios ortogonales 3 Ejemplos de Polinomios Ortogonales Utilizando la fórmula de Rodrigues generalizada, podemos construir algunos polinomios generalizados El cuadro 3 muestra algunos de ejemplos de estos polinomios ortogonales Polinomio n = 0 n = n = n = 3 n = 4 P n x 3x ) 5x3 3x) 8 35x4 30x + 3) T n x x 4x 3 3x 8x 4 8x + U n x 4x 8x 3 4x 6x 4 x + H n x 4x 8x 3 x 6x 4 48x + L n x x x + 6 x3 9x + 8x 6) Cuadro 3: Ejemplos de Polinomios Ortogonales 4 x4 6x 3 + 7x 96x + 4) 4 Relaciones de Recurrencia También se pueden formular, de manera genérica las relaciones de recurrencia Obviamente, las relaciones de recurrencia también constituyen una forma alternativa de ir construyendo los Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad Industrial de Santander

3 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales polinomios ortogonales Así, un polinomio ortogonal genérico, p n x), cumplirá p n+ x) = a n + xb n )p n x) c n p n x) El cuadro 4 contiene las expresiones de los coeficientes para construir las relaciones de recurrencia generalizadas para cada uno de los polinomios Polinomio a n b n c n n + n P n 0 n + n + T n 0 U n 0 H n 0 n n + L n n + L α n + + α n n + n + n + n n + α n + Cuadro 4: Funciones para determinar la Relación de Recurrencia Generalizada 5 Función generatriz generalizada Para todos los polinomimos ortogonales podemos definir una función generatriz Gx, t), de tal manera que cada uno de los polinomios ortogonales {p n x)} será proporcional al coeficiente de t n del desarrollo en series de Taylor, en potencias de t alrededor del punto x = 0 Esta función generatriz que constituye una forma alternativa de definir los polinomios ortogonales viene expresada por la serie Gx, t) = C n p n x) t n con a n constante n=0 Las funciones generatrices no son exclusivas de los polinomios ortogonales Como veremos más adelante, existen funciones generatrices para las funciones de Bessel 6 Ecuación diferencial para los Polinomios Ortogonales Cada uno de los polinomios ortogonales habrá de ser solución de una ecuación diferencial ordinaria de la forma g x) d p n x) dx + g x) dp nx) + α n p n x) = 0 dx En el cuadro 6 mostramos las expresiones para los coeficientes de las ecuaciones correspondientes a las ecuaciones diferenciales para las cuales cada uno de los polinomio ortogonales es solución Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad Industrial de Santander

4 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales Polinomio C n Gx, t) P n xt + t t T n xt + t + U n xt + t H n /n! e xt x H n n /n)! cosxt)e t H n+ n /n + )! senxt)e t xt L n t e t xt L α n t) α e t Cuadro 5: Funciones para determinar la función generatriz generalizada Polinomio g x) g x) α n P n x x nn + ) T n x x n U n x x nn + ) H n x n L n x x n L α n x x + α n Pn αβ x β α x + α + β) nn + α + β + ) Cuadro 6: Funciones para determinar la ecuación diferencial para la cual son solución los polinomios ortogonales 7 Aplicaciones para los polinomios ortogonales 7 Interpolación polinomial de puntos experimentales Muchas veces nos encontramos con la situación en la cual tenemos un conjunto de n medidas o puntos experimentales {x, y ) = fx ), x, y ) = fx ),, x n, y n ) = fx n )} y para modelar ese experimento quisiéramos una función que ajuste estos puntos El tener una función nos provee la gran ventaja de poder intuir o aproximar los puntos que no hemos medido La función candidata más inmediata es un polinomio y debemos definir el grado del polinomio y la estrategia que aproxime esos puntos Si queremos aproximar esos puntos por una recta el Método de Mínimos Cuadrados es el más utilizado Puede ser que el polinomio no sea lineal y sea necesarios ajustar esos puntos a un polinomio tal que éste pase por los puntos experimentales Queda entonces por decidir la estrategia Esto Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad Industrial de Santander

5 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales es, ajustamos la función como trozos de polinomios que a su vez se ajusten a subconjuntos: {x, y ) = fx ), x, y ) = fx ),, x m, y m ) = fx m )}, con m < n, de los puntos experimentales En este caso tendremos una función de ajuste, para cada conjunto de puntos También podemos ajustar la función a todo el conjunto de puntos experimentales y, en ese caso, el máximo grado del polinomio que los ajuste será n Para encontrar este polinomio lo expresaremos como una combinación lineal de Polinomios de Legendre Esto es: n Px) = fx) = C k P k x) k=0 y = fx ) = C 0 P 0 x ) + C P x ) + + C n P n x ) y = fx ) = C 0 P 0 x ) + C P x ) + + C n P n x ) y n = fx n ) = C 0 P 0 x n ) + C P x n ) + + C n P n x n ) que no es otra cosa que un sistema de n ecuaciones con n incógnitas: los coeficientes {C 0, C, C n } Al resolver el sistema de ecuaciones y obtener los coeficientes, podremos obtener la función polinómica que interpola esos puntos Una expansión equivalente se pudo haber logrado con cualquier otro conjunto de polinomios ortogonales, ya que ellos son base del espacio de funciones Es importante hacer notar que debido a que los polinomios de Legendre están definidos en el intervalo [, ] los puntos experimentales deberán re-escalarse a ese intervalo para poder encontrar el polinomio de interpolación como combinación lineal de los Polinomios de Legendre Consideremos los puntos experimentales representado en la figura Al construir el sistema de ecuaciones obtendremos, 8) 8 = C 0 C + C C 3 + C 4 C 5 3 5, 0) 0 = C C + 5 C C C C 5 5, ) = C 0 5 C 5 C C C C 5 5, 8) 8 = C C 5 C 7 5 C C C 5 3 5, 0) 0 = C C + 5 C 9 5 C C C 5, 34) 34 = C 0 + C + C + C 3 + C 4 + C 5 y al resolver el sistema obtendremos que con lo cual C 0 = 49 44, C = , C = , C 3 = 75 6, C 4 = , C 5 = Px) = fx) = x P, x) P 3, x) + P 4, x) + P 5, x) la interpolación queda representada en al figura Héctor Hernández / Luis Núñez 5 Universidad Industrial de Santander

6 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales Figura : En el lado izquierdo se muestran el conjunto de puntos experimentales: {, 8), 4, 0), 6, ), 8, 8), 0, 0),, 34)} y a la derecha la función polinómica que los interpola Es importante se nalar que mientras más puntos experimentales se incluyan para la interpolación, el polinomio resultante será de mayor grado y, por lo tanto incluirá oscilaciones que distorcionarán una aproximación más razonable Por ello, la estrategia de hacer la interpolación a trozos, digamos de tres puntos en tres puntos, generará un mejor ajuste, pero será una función polinomio) contínua a trozos 7 Cuadratura de Gauss-Legendre Una de los usos más comunes de los polinomios ortogonales es la de aproximar funciones, en particular integrales que requieren ser resueltas numéricamente La idea es aproximar una integral, para una funcion fx), definida en el intervalo [a, b] y suficientemente bien comportada, por una suma finita de términos c k fx k ) y estimar el error que cometemos en esta aproximación Esto es: b a fx)dx = c k fx k ) + E N k= Nótese que la intención es utilizar la función a integrar evaluada en un conjunto de puntos estratégicos para los cuales están definidos unos coeficientes, también inteligentemente seleccionados Es decir se requieren N números c k y los x k con k =,, N) Más aún, esas N cantidades Héctor Hernández / Luis Núñez 6 Universidad Industrial de Santander

7 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales pueden ser seleccionadas de forma tal que la aproximación es exacta E N = 0 cuando fx) es un polinomio de grado N Supongamos, para empezar que la función fx) está definida para x [, ] y por lo tanto los polinomios ortogonales que seleccionaremos para aproximar la integral y la función) serán los del Legendre igual pudimos haber utilizado los polinomios de Tchebychev), con lo cual fx) = Con lo cual a k P k x) donde: a k = k=0 fx)dx c k fx k ) = k= n + ) dx fx)p k x) y a 0 = dx fx) ) c k a n P n x k ) = k= n=0 N ) a n c k P n x k ) quedan todavía por determinar los pesos c k y los puntos x k Para ello procedemos de la siguiente forma Notamos que P N x) tiene N raíces, x = x j, en el intervalo x Entonces, si seleccionamos esos puntos x = x j para evaluar la función fx k ) se anulan el coeficiente para el término a N y, además podremos encontrar los pesos c k resolviendo el sistema de N ecuaciones de la forma n=0 k= c j P 0 x j ) = c j = j= j= c j P k x j ) = 0 para k =,, N j= donde los P k x j ) son los distintos polinomios evaluados en las raíces del polinomio de grado N, ie P N x j ) = 0 Se puede demostrar que la solución de este sistema provee los pesos escritos de la forma c j = x j ) dp N x) dx x=xj ) Más aún, podremos escribir pero como fx)dx c k fx k ) = a 0 + E N con E N = k= a 0 = dx fx) dx fx) = n=n+ N ) a n c k P n x k ) k= c k fx k ) E N Es decir, demostramos que es posible aproximar la integral del la función con un promedio pesado de la función evaluada en unos puntos estratégicos Los puntos estratégicos son los ceros del polinomio de Legendre de grado igual al número de puntos con los cuales se quiere aproximar la función y k= Héctor Hernández / Luis Núñez 7 Universidad Industrial de Santander

8 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales N x j = fsolvepn,x),x,complex) c j = x j ) dp N x) dx x=xj ) N ±0, , ,0 0, ±0, , ±0, , ±0, , ,0 0, ±0, , ±0, , ±0, , ±0, , ±0, ,73449 Cuadro 7: Puntos y pesos para una cuadratura de Gauss-Legendre los pesos vienen de resolver las ecuaciones para los coeficientes de la expansión En el cuadro 7 se ilustran los valores de los puntos de interpolación y sus pesos correspondientes Es inmediato comprobar que si fx) es un polinomio de grado N la aproximación es exacta y el error es nulo Pero lo que realmente hace útil a este tipo de aproximaciones es que también será exacta para polinomios de grado N Esto se puede ver si expresamos un polinomio de grado N como la suma de dos polinomios fx) = P N x)y x) + Y x) donde Y y Y son polinomios de grado N Entonces, al integrar miembro a miembro dx fx) = dx P N x)y x) + dx Y x) } {{ } =0 el primer término se anula por ser P Nx) ortogonal a cualquier polinomio de grado inferior, y el segundo término no es más que el caso que analizamos anteriormente de un polinomio de grado N Esta no es una limitación muy severa porque siempre podemos hacer un cambio de variable del tipo x = ) b a t+ b+a ) y convertir cualquier intervalo cerrado [a, b] en un intervalo cerrado [, ] Héctor Hernández / Luis Núñez 8 Universidad Industrial de Santander

9 Semana 08/03/0 Polinomios Ortogonales 73 Estrategia General para cuadraturas de Gauss Para el caso general, la aproximación de una integral b a dx wx)fx) c k fx k ), donde las {x, x k, x N } son los ceros del polinomio ortogonal, de grado N, p N x), elegido para hacer esta aproximación Los N pesos {c, c k, c N } surgen de resolver el sistema de ecuaciones k= j= c j = h 0 p 0 con h 0 = b a wx)p 0x)dx c j P k x j ) = 0 para k =,, N, j= Así para aproximar integrales con funciones pesos, wx), utilizaremos cuadraturas adaptadas a los polinomios ortogonales Esto es 0 dx e x fx) Laguerre dx e x fx) Hermite dx fx) x Tchebychev Héctor Hernández / Luis Núñez 9 Universidad Industrial de Santander