TEMA 7:INTEGRACIÓN NUMÉRICA.

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1 Tem 7: Itegrció uméric. TEMA 7:INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN. L proximció uméric de l itegrl defiid se cooce como itegrció o cudrtur uméric. El segudo omre procede de l tigüedd e relció co el cálculo de ls áres de ls figurs curvs, cuyo ejemplo más otorio es el prolem de l cudrtur del círculo (ecotrr el cudrdo de áre coicidete co l de u círculo ddo). E este tem os ocupremos del cálculo proximdo del áre jo l curv f (x) defiid sore u itervlo [,] de l rect rel, es decir: I ( f ) f ( x) L itegrció uméric es u errmiet de gr utilidd pr oteer vlores proximdos de itegrles defiids que o puede clculrse líticmete, y se porque el itegrdo o tiee primitiv expresle líticmete, o ie porque dico itegrdo o se cooce e form lític sio e form discret (tuld) por ejemplo, dtos procedetes de u experimeto. Ddo que u itegrl es el límite de u sum ifiit, es turl que su proximció cosist e u sum fiit de muestrs, poderds co pesos wi, del itegrdo f (xi). Dic sum se deomi fórmul de cudrtur FÓRMULAS DE CUADRATURA. Defiició. Supogmos que = x < x < x =. U fórmul del tipo Q[ f ] wk f ( xk ) w f ( x ) w f ( x ) w f ( x ) k de mer que f ( ) Q [ ] E [ ] se deomi fórmul de itegrció uméric o de cudrtur. El térmio E[ f ] represet el error de tructur de l fórmul; los vlores {xk} (k =,..., ) so los odos (sciss) de itegrció o cudrtur; y los vlores {wk} (k =,..., ) so los pesos de l fórmul. Los odos {xk} se elige de diferetes mers, depediedo de ls circustcis e ls que pliquemos u fórmul. Pr l regl del trpecio o l regl de Simpso, los odos se tom igulmete espcidos. Pr ls fórmuls de Guss-Legedre, los odos que se tom so ríces de poliomios de Legedre. U specto importte e tods ls pliccioes será tmié l estimció del error cometido y el coocimieto del orde de precisió de l fórmul o regl utilid. Ls regls de cudrtur suele estr sds e l iterpolció poliómic; se sustituye l fució f (x) por el poliomio que iterpol f (x) e los odos, y su itegrl es l proximció uscd. Utilido p.ej. l iterpolció de Lgrge: 9

2 Tem 7: Itegrció uméric. x x f ( x) p ( x) f ( x ) f ( x ) l ( x) () j i i i i j xi x j i ji f ( x) p ( x) f ( x ) l ( x) i i i wi siedo l i (x) (i =,...,) los poliomios de Lgrge (grdo ) defiidos por los odos utilidos. Nótese que co idepedeci de l fució suitegrl f (x), los pesos de l fórmul coicide co los vlores de l itegrl de los poliomios de Lgrge e el itervlo. L precisió de l proximció está socid co l cpcidd de l regl pr itegrr exctmete poliomios; se geer sí el cocepto de grdo poliomil. Defiició: Se deomi grdo poliomil de u fórmul de cudrtur l úmero turl N que verific E[p i ] = pr todo poliomio p i (x) de grdo i N, existiedo lgú poliomio p N+ (x) de grdo N+ tl que E[p N+ ]. Es decir, el grdo poliomil de u formul de cudrtur es el myor grdo de los poliomios que dic fórmul itegr exctmete. Como veremos posteriormete, e u formul de cudrtur de odos, el grdo poliomil N o siempre coicide co el grdo del poliomio que iterpol f (x) e los odos, sio que puede ser superior. El error cometido por u fórmul de grdo poliomil N verificrá: E ( f ) f ( x) p ( x) f ( x) p ( x) N N N f ( x) p ( x) e ( x) N Itegrdo l fució error e N (x) socid co l iterpolció se puede oteer el térmio de error de ls distits fórmuls de cudrtur. Se puede demostrr que el error de tructur de ls fórmuls de cudrtur (iterpolció poliómic) verific: E[ f ] = K f N+) (c) dode K es u costte decud, N es el grdo poliomil de l fórmul, y c es u puto del itervlo (,). Ls fórmuls de cudrtur sds e l iterpolció poliomil se clsific e dos tipos que estudiremos cotiució: Fórmuls de Newto-Cotes, co odos igulmete espcidos. Fórmuls de Guss, co odos desigulmete espcidos FÓRMULAS DE NEWTON-COTES. Hemos visto que ddo u úmero culquier de odos, siempre es posile determir u poliomio de iterpolció de grdo y geerr u fórmul de cudrtur de putos. Si los odos x i está igulmete espcidos e el itervlo [,], ls regls resulttes se cooce como fórmuls de cudrtur de Newto-Cotes. Diremos demás que l fórmul es cerrd si los odos icluye los extremos y del itervlo de itegrció; de o ser sí, diremos que l fórmul es iert. Se idic cotiució ls formuls más simples (, y odos): L fórmul iert de odo: N 9

3 Tem 7: Itegrció uméric. = : f ( x) ( ) f f (regl puto medio) () L fórmul cerrd de odos: = : f ( x) f ( ) f ( ) f f (regl del trpecio) () L fórmul cerrd de odos: = : f ( x) f ( ) 4 f f ( ) 6 f 4 f f (regl de Simpso) (4) dode es l distci etre odos e ls fórmuls cerrds (trpecio y Simpso) y l logitud totl del itervlo e l fórmul iert del puto medio. Ls dos primers fórmuls so imedits y represet l áre de u rectágulo y u trpecio respectivmete; e l primer el itegrdo se proxim por l rect oriotl (poliomio de grdo cero) que ps por el puto medio (m, f (m)) siedo m = (+)/; e l segud, el itegrdo se proxim por l rect (poliomio de grdo ) que ps por los putos (, f ()) y (, f ()). L tercer fórmul o es t evidete, pero lógicmete procede de itegrr el poliomio de grdo defiido por los putos (, f ()), (m, f (m)) y (, f ()), como fácilmete se puede compror. Los pesos de ests regls de cudrtur se ve directmete e ls fórmuls teriores. Determició de los pesos. E geerl, los pesos se puede oteer de l itegrció de los poliomios de Lgrge () o medite el método de los coeficietes idetermidos. Ilustrremos cotiució este último co l deducció de l regl de los putos. Se l regl de cudrtur: x, x co w x f w f w f I( f ) f ( x) w f ( x ) w f ( x ) w f ( x ) dode los tres pesos w, w y w so determir. Se trt de que l regl itegre correctmete los poliomios de grdo t lto como se posile. Como dispoemos de tres coeficietes determir (los tres pesos w i ), coseguiremos cerlo de mer que l fórmul itegre exctmete los poliomios co l meos otros ttos (tres) coeficietes, es decir, los poliomios de grdo : p (x) = + x + x Dd l propiedd ditiv de l itegrció, pr ello st que se itegre exctmete los moomios {x, x, x }, que form u se de los poliomios de grdo. Ests codicioes os permitirá determir los pesos de l regl: 9

4 Tem 7: Itegrció uméric. w w w x w w w x w w w E form mtricil, teemos el siguiete sistem liel de ecucioes (Vdermode): w 6 w ( ) w w w w 6 que es u sistem de tres ecucioes co tres icógits. De su resolució se otiee los pesos de l regl de los putos, que lógicmete coicide co los de l regl de Simpso, como es imedito compror. E geerl, cudo y pesos determir, se plte l itegrció exct de los moomios de grdo st, co lo que se otiee u sistem de dimesió cuy mtri de coeficietes es siempre regulr (determite de Vdermode ), y por tto cuy solució es úic. Precisió de ls fórmuls de Newto-Cotes. Estimremos cotiució el error cometido co l regl del puto medio. Desrrolldo el itegrdo e serie de Tylor e toro l puto medio m = (+)/: f ( m) f ( m) f ( x) f ( m) f ( m)( x m) ( x m) ( x m) 6 (5) Al itegrr est expresió desde st, los térmios de expoete impr desprece (su itegrl se ccel): 4) f ( m) f ( m) 5 I ( f ) f ( m)( ) ( ) ( ) M ( f ) O( ) (6) 4 9 dode M ( f ) es l fórmul del puto medio, y l logitud del itervlo = es suficietemete pequeñ pr que se cumpl 5 << ; etoces diremos que el orde de precisió de est regl es, lo que sigific que el error está cotdo de l siguiete mer: E ( f ) = I ( f ) M ( f ) < K dode K es u costte decud. De todo ello podemos extrer dos importtes coclusioes: Si reducimos l mitd (fctor ) l logitud del itervlo de itegrció, l cot del error se reduce e u fctor de = 8, que es sesilemete iferior. El error E ( f ) depede de l ª derivd (y superiores) de l fució suitegrl f (x), y l ª derivd y superiores so uls pr poliomios de grdo y. Por tto l regl del 94

5 Tem 7: Itegrció uméric. puto medio itegr exctmete poliomios de grdo, y el grdo poliomil de l regl o es (como crí esperr de u úico puto de itegrció) sio, igul que l regl trpeoidl, cuyo grdo poliomil tmié es y cuyo orde de precisió es, como fácilmete se puede compror. Similr rgumetció permitirí oservr de uevo que el grdo poliomil de l regl de Simpso o es, como e pricipio crí esperr (poliomio de iterpolció de grdo ), sio (tmié itegr exctmete los poliomios de grdo ) y el orde de precisió de l regl es 5. Este feómeo que se dee l ccelció de errores positivos y egtivos qued ilustrdo e l siguiete figur: y p (x) p (x) y p (x) p (x) m x Figur. E geerl podremos firmr que ls regls de Newto-Cotes sds e u úmero impr de odos g u grdo poliomil extr, es decir, itegr exctmete u poliomio de grdo superior e u uidd l del poliomio se co respecto l cul se geer l regl. Todo ello se plsm e el siguiete teorem pr fórmuls cerrds (existe otro similr pr fórmuls ierts): Teorem (Error de ls fórmuls cerrds de Newto-Cotes): Se i m f ( x) w f ( x ) E( f ) u fórmul cerrd de Newto-Cotes de + putos, co = x, = x y = ()/; etoces c (,) tl que pr: impr: pr: ) f ( c) ( )! E( f ) t( t ) ( t ) dt ( ) f ( c) ) ( ) ( ) E f t t t dt ( )! Aplicdo este teorem se tiee que cudo el úmero de putos es pr, el grdo poliomil de l fórmul es, mietrs que cudo el úmero de putos es impr el grdo poliomil es. El orde de precisió es superior l grdo poliomil e uiddes. L regl del trpecio, por ejemplo, tiee u grdo poliomil =, y si fc [,], etoces: f ( x) f f f ( c) L regl de Simpso tiee u grdo poliomil =, y si fc 4 [,] etoces: i i 5 4) f ( x) f 4 f f f ( c) (7) 9 x 95

6 Tem 7: Itegrció uméric. L ª regl de Simpso (Newto-Cotes co 4 odos) tiee u grdo poliomil =, y si f C 4 [,] etoces: f x f f f f f c ) ( ) 4 ( ) Como se puede compror, l ª y ª regls de Simpso tiee el mismo grdo de precisió, pero l ª sólo evlú l fució e odos mietrs que l ª lo ce e 4. Por tto es más eficiete utilir l ª regl de Simpso que l ª, puesto que ms coverge l mism velocidd pero el coste computciol de l ª es meor que el de l ª. E térmios solutos, si emrgo, el térmio de error es potecilmete meor e l ª que e l ª, y que el coeficiete de l derivd 4ª ( f 4) ) es meor pr l ª regl que pr l ª (tégse e cuet que pr u mismo itervlo [,], = ()/ e l ª, y = ()/ e l ª). Ejemplo : Queremos itegrr l fució f (x) = + e x si(4x) e el itervlo [,] = [,]. Pr ello vmos plicr lgus de ls fórmuls de cudrtur de Newto-Cotes. Pr l regl del trpecio teemos = y el resultdo es: f ( x) f () f () Pr l regl de Simpso, teemos = / y el resultdo es: f ( x) f () 4 f ( ) f () Pr l segud regl de Simpso, teemos = / y el resultdo es: f ( x) f () f ( ) f ( ) f () Pr l regl de Newto-Cotes de 5 putos (grdo poliomil 5): teemos = /4 y el resultdo es: 45 x4 f ( x) 7 f f f f4 7 f x 5 (8) 4 f ( x) 7 f () f ( ) f ( ) f ( ) 7 f () El vlor excto de est itegrl defiid es e 4 cos(4) si(4) f ( x) e lo que os permite oservr y comprr l clidd de l proximció de ls 4 regls plicds. Si emrgo, pr que l comprció etre los métodos de cudrtur se coerete, deerímos itegrr por cd método sore el mismo itervlo y co l mism ctidd de evlucioes de l fució suitegrl. A est situció podremos llegr si sudividimos coveietemete el itervlo, como mostrremos e el siguiete ejemplo. Pr ello itegrremos sore u itervlo comú [,] utilido e cd método cico evlucioes de l fució f k = f (x k ) (k =,...,5). El proceso de plicr l regl del trpecio e cd uo de los suiterv- 96

7 Tem 7: Itegrció uméric. los [x,x ], [x,x ], [x,x 4 ] y [x 4,x 5 ] (que se llm regl compuest del trpecio y se estudi e el siguiete prtdo) coduce l expresió: x5 x x x4 x5 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) + f ( x) x x x x x4 f f f f f f4 f f5 f f f f f 4 5 L regl de Simpso puede usrse de igul form. Su plicció cd uo de los dos itervlos [x,x ] y [x,x 5 ] se llm regl compuest de Simpso: Ejemplo : x5 x x5 f ( x) f ( x) f ( x) x x x f 4 f f f 4 f f f 4 f f 4 f f E el siguiete ejemplo se compr los vlores oteidos co ests fórmuls. Queremos itegrr l fució f (x) = + e x si(4x) e el itervlo [,] = [,], co distits regls pero co el mismo úmero de putos de itegrció. Pr ello plicremos l regl compuest del trpecio (cutro veces), l regl compuest de Simpso (dos veces) y l regl (8) (Newto-Cotes de 5 putos), de mer que cd u de ells utilice e totl 5 evlucioes de l fució. Luego comprremos los resultdos oteidos. El vlor comú de es = /4. L regl compuest del trpecio os d: 4 f ( x) f () f ( ) f ( ) f ( ) f () Co l regl compuest de Simpso oteemos: 4 f ( x) f () 4 f ( ) f ( ) 4 f ( ) f () El resultdo co l regl (8) y lo otuvimos teriormete: sí como su vlor excto: 4 f ( x) 7 f () f ( ) f ( ) f ( ) 7 f () e 4 cos(4) si (4) f ( x) e L proximció oteid co ls regls de Simpso,.859, es muco mejor que el vlor.858 oteido co ls 4 regls del trpecio, y de uevo es l regl de 5 putos (7) l que proporcio l mejor proximció de ls tres,

8 Tem 7: Itegrció uméric FÓRMULAS COMPUESTAS. Semos de prtdos teriores que l precisió oteid medite u regl de cudrtur e el cálculo de u itegrl defiid mejor sesilemete co l dismiució del tmño del itervlo de itegrció. Por tto, ddo que el itervlo totl de itegrció es u dto fijo de prtid que o podemos lterr, l úic form de mejorr l precisió de u regl de cudrtur (e icluso pr coseguir u resultdo role si l fució itegrdo oscil vris veces e el itervlo) es dividir el itervlo e suitervlos, plicr l regl cd uo de ellos y sumr los resultdos; este proceso, que y emos utilido e el último ejemplo, d lugr ls regls o fórmuls compuests. Regl compuest del trpecio. Supogmos que se divide el itervlo [,] e M suitervlos [x k,x k+ ] de cur comú = ()/M medite u prtició cuyos extremos x k = + k (k =,..., M+), está igulmete espcidos. Represetemos por T(f,) l regl compuest del trpecio co M suitervlos de logitud. Dic fórmul se puede expresr de culquier de ls siguietes forms equivletes: M T ( f, ) f ( xk ) f ( xk ) k T ( f, ) f f f f f f M T ( f, ) f ( ) f ( ) f ( xk ) o ie o ie M M M Este vlor es u proximció l itegrl de f (x) e [,], es decir, k f ( x ) T ( f, ) E T ( f, ) tl que, si demás f C [,], etoces existe u vlor c co < c < que permite escriir el térmio del error E T (f,) como: f ( c) ET ( f, ) O( ) (9) Osérvese que el orde de precisió de l fórmul compuest es, mietrs que el de l fórmul simple es (e cd suitervlo), lo cul tiee fácil explicció, y que l sumr los errores de todos los suitervlos, O(M ) = O( ) (recuérdese que = ()/M y por tto M = ()/). El orde de precisió de l fórmul compuest es l mgitud que efectos prácticos tiee setido mejr, y que l logitud del itervlo de itegrció es u mgitud fij e l práctic; por tto dividiedo por l mitd los suitervlos l cot del error correspodiete quedrá dividid por 4, y lo mismo ocurrirá co l regl compuest del puto medio, cuyo orde de precisió tmié es (siempre u uidd meos que el orde de precisió de l fórmul simple). Cudo l derivd ª de f (x) es coocid, l fórmul (9) permite estimr el úmero M de suitervlos ecesrios pr oteer u solució cuyo error se iferior u tolerci previmete especificd. Regl compuest de Simpso. Supogmos que dividimos [,] e M suitervlos [x k,x k+ ] de l mism cur = ()/(M) medite u prtició de extremos igulmete espcidos x k = + k (k =,..., M). Represetemos por S(f,) l regl compuest de Simp- 98

9 Tem 7: Itegrció uméric. so co M suitervlos de logitud. Dic fórmul se puede expresr de culquier de ls siguietes forms equivletes: M S( f, ) f ( xk) 4 f ( xk ) f ( xk ) k S( f, ) f 4 f f 4 f fm 4 fm fm M M 4 S( f, ) f ( ) f ( ) f ( xk ) f ( x k ) o ie o ie El vlor S es u proximció l itegrl () k k f ( x ) S ( f, ) E S ( f, ) tl que, si demás f C 4 [,], el térmio del error E S (f,) se puede escriir como: 4) 4 f ( c) 4 ES ( f, ) O( ) co c (, ) () 8 Osérvese que el orde de precisió de l fórmul compuest de Simpso es 4, mietrs que e ls compuests del trpecio y puto medio, el orde er ; esto quiere decir que el error de l regl compuest de Simpso tiede cero (covergeci l solució exct) más rápidmete que ls otrs dos, cudo tiede cero. Nótese tmié que el orde de precisió de l fórmul simple de Simpso es 5 (u uidd superior l de l compuest), lo cul qued justificdo co l mism rgumetció del prtdo terior. Igulmete, cudo l derivd 4ª de f (x) es coocid, l fórmul () permite estimr el úmero M de suitervlos ecesrios pr oteer u solució cuyo error se iferior u tolerci previmete especificd. Ejemplo : Cosideremos f (x) = + si(x / ), y vmos lir el error cudo usmos l regl compuest del trpecio e el itervlo [,6] y los úmeros de suitervlos so,, 4, 8 y 6. L Tl muestr los resultdos de plicr l regl compuest del trpecio y los correspodietes errores pr l fució ejemplo. U primitiv de f (x) es: M T(f,) E T (f,) = O( ) Tl : L regl compuest del trpecio pr f (x) = + si(x / ) e [,6]. si( x ) F( x) x x cos( x) y el vlor de l itegrl defiid co oce cifrs sigifictivs es: 6 x 6 f ( x) F( x) x que es el vlor que se us pr clculr los errores E T (f,) = T(f,) que se muestr e l Tl. Es importte oservr que coforme dismiuye e u fctor de /, los errores sucesi- 99

10 Tem 7: Itegrció uméric. vos E T (f,) dismiuye e u fctor de proximdmete /4; esto cofirm que el orde de proximció es O( ) FÓRMULAS DE CUADRATURA DE GAUSS. Supogmos que se trt de llr el áre limitd por l curv y = f (x), ls rects x =, x =, y el eje de sciss, medite u fórmul de cudrtur que sólmete relice dos evlucioes de l fució. Cuál es l elecció de los dos odos que proporcio u mejor resultdo? Y emos visto que l regl del trpecio es u método pr proximr el áre limitd por u curv que sólo reli dos evlucioes de l fució e los extremos del itervlo: (, f ()) y (, f ()). Si emrgo, si p.ej. l curv y = f (x) es cócv, el error de l proximció es el áre de l regió compredid etre l curv y el segmeto rectilíeo que ue sus extremos: y y = f (x) x Figur : Aproximció trpeoidl co sciss y. Si usmos dos odos distitos x y x iteriores l itervlo [,], etoces l líe rect que ps por (x, f (x )) y (x, f (x )) cort l curv e el iterior del itervlo, y el áre limitd por l rect es u mejor proximció l áre limitd por l curv: y y = f (x) x x x Figur : Aproximció trpeoidl co sciss x y x. E relidd, e u fórmul de cudrtur de odos teemos grdos de liertd: ls sciss de los odos y los pesos. Por lo tto, si podemos plter codicioes, podremos spirr itegrr exctmete poliomios de grdo ( coeficietes), es decir, regls co putos, de grdo poliomil, y orde de precisió + e l simple y e l compuest. Ilustrremos cotiució est ide geerdo l regl de = putos medite el método de los coeficietes idetermidos; se trt de llr sciss x y x y pesos w y w de mer que l fórmul: f ( x) w f ( x ) w f ( x )

11 Tem 7: Itegrció uméric. se de grdo poliomil =, es decir, exct pr poliomios cúicos de l form f (x) = x + x + x +. Puesto que y que determir cutro vlores (w, w, x y x ), deemos seleccior cutro codicioes que de cumplirse. Aplicdo l propiedd ditiv de l itegrció, será suficiete co exigir que l fórmul se exct pr ls cutro fucioes f (x) =, x, x, x. Ls cutro codicioes de itegrció so, etoces: f ( x) : w w f ( x) x : x w x w x f ( x) x : x w x w x f ( x) x : x w x w x que form u sistem lgerico o liel de ecucioes, cuy solució es: w w ; x ; x De este modo emos ecotrdo los odos y los pesos co los que se costruye l regl de Guss-Legedre co dos odos. Puesto que l fórmul es exct pr poliomios de grdo tres, el térmio del error icluirá l derivd 4ª, el orde de precisió de l fórmul simple será 5, y el de l compuest 4. L deducció de ls fórmuls de Guss es e geerl más difícil que l de ls fórmuls de Newto-Cotes; st co oservr por ejemplo como el método de los coeficietes idetermidos os codujo e el segudo cso u sistem liel de ecucioes y uo o liel e el primero. Por ello, de mer más sistemátic, l deducció de ls fórmuls de Guss se ce prtir del cocepto de poliomios ortogoles. Si p (x) es u poliomio de grdo que verific: k p ( x) x ( k,,..., ) es decir, es ortogol todos los poliomios de grdo iferior (propiedd del poliomio de Legedre de grdo ), Se puede demostrr que:. El poliomio p (x) tiee ríces reles y simples e el itervlo (,).. L regl de cudrtur (iterpolció poliomil) de putos, cuyos odos so ls ríces del poliomio p (x), es de grdo poliomil ; será por tto l regl uscd, y se cooce como fórmul de Guss-Legedre. E el ejemplo terior los dos odos que se oteido so ls ríces del poliomio de Legedre de primer grdo. Regl de Guss-Legedre co dos odos. Si f es cotiu e [,], etoces f ( x) G ( f ) f ( ) f ( ) L regl de Guss-Legedre co dos odos G ( f ) tiee grdo poliomil =, y si f C 4 [,], etoces f ( x) f ( ) f ( ) E ( f )

12 Tem 7: Itegrció uméric. siedo E f f c ( ) 4) ( ) 5, c [,] Regl de Guss-Legedre co odos. L regl geerl de Guss-Legedre co odos es exct pr fucioes poliómics de grdo meor o igul que y su fórmul de cudrtur es G ( f ) w f ( x ) w f ( x ) w f ( x ),,,,,, Los odos x,k y los pesos w,k que y que usr está tuldos y puede coseguirse fácilmete e mules de fórmuls y tls mtemátics; e l Tl se relcio los vlores correspodietes pr ls regls de Guss-Legedre de st siete odos, sí como l form de los térmios del error E ( f ) correspodietes ls proximcioes G ( f ). Los odos so, de eco, ls ríces de los poliomios de Legedre; etoces los pesos correspodietes se puede oteer cotiució resolviedo el sistem de ecucioes lieles l que coduce el método de los coeficietes idetermidos. Tl : Nodos y pesos pr el método de Guss-Legedre. f ( x) w f ( x ) E [ f ] k, k, k Nodos x,k Pesos w,k Error E [ f ] ) ( 5) f ( c ) ) ( ) f c ( ) 8) f c ( ) ) f c 4 6! f! 5 4 7! f 54! Se puede demostrr que l form geerl del térmio de error es:! E f f c c ( )( )! 4 ) [ ] ( ) ( ) ) 4) ( c) ( c). () Como coclusió práctic puede oservrse que ls sciss y los pesos de ls fórmuls de Newto-Cotes so más secillos que los de ls de Guss-Legedre (úmeros irrcioles); por este motivo, el primer método es más útil y práctico e los cálculos mules, mietrs que pr l utilició del segudo, sore todo medid que umet el vlor de, será más decudo relir los cálculos medite ordedor.

13 Tem 7: Itegrció uméric. Justificció de regl de Guss-Legedre co odos (o l elecció de sus sciss). Pltemieto del prolem: Se trt de ecotrr l regl de putos f ( x) wk f ( xk ) k de grdo poliomil, es decir, que itegre exctmete culquier poliomio de grdo o myor que. Pr ello, tto los pesos w k como ls sciss x k de los odos qued por determir ( codicioes pr itegrr exctmete poliomios co coeficietes). Solució dd: Fijremos ls sciss {x k (k =,...,)} de los odos coicidiedo co ls ríces del poliomio de Legedre de grdo. U ve eco esto, clculremos los correspodietes pesos {w k (k =,...,)} de l fórmul itegrdo los poliomios de Lgrge socidos co los odos, o medite coeficietes idetermidos. Justificció de l solució: Semos que, e geerl, l fórmul resultte itegrrá exctmete culquier poliomio de grdo que pse por los putos {x k, f (x k )}; o ostte mostrremos que e este cso especil (sciss coicidetes co ls ríces del poliomio de Legedre) el grdo poliomil de l fórmul es muy superior. De eco es igul. Se p (x) u poliomio culquier de grdo, y se x) el poliomio de Legedre de grdo. Dividiedo el primero etre el segudo: p ( x) ( x) ( x) x x p ( x) ( x) x x ( x) () dode ( ) x es el resto de l divisió (poliomio de grdo ). Itegrdo: p ( x) ( x) x... x ( x) L primer itegrl del segudo miemro se ul porque, siedo x) u poliomio de Legedre, es ortogol todos los poliomios de grdo iferior: Por tto: k ( x) x ( k,..., ) p ( x) ( x) Además, como {x k (k =,...,)} so ls ríces de x), sustituyedo e (): p ( x ) ( x ) ( k,..., ) k k Tmié emos deducido y (segudo pso de l solució) los pesos w k que itegr exctmete culquier poliomio de grdo muestredo e ls sciss {x k (k =,...,)}. E coclusió: p ( x) ( x) w ( x ) w p ( x ) k k k k k k

14 Tem 7: Itegrció uméric. que es lo que querímos demostrr: l regl de odos itegr exctmete culquier poliomio de grdo si los odos coicide co ls ríces del poliomio de Legedre. Trslció del método de Guss-Legedre. Supogmos que teemos los odos {x k } y los pesos {w k } (k =,..., ) ecesrios pr plicr l regl de Guss-Legedre co odos e []. Etoces, pr plicr el método de Guss-Legedre e u itervlo [,]: se puede usr el cmio de vrile: y l relció f ( x ) x d f ( x) f d g( ) d oteiédose l fórmul de cudrtur: g ( ) f ( x) wk f xk k () EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON Medite est técic, prtir de dos fórmuls de cudrtur del mismo orde de precisió o grdo poliomil, se otiee u mejor. Pr ello, e primer lugr, es ecesrio desrrollr el térmio de error e serie de potecis de. Por ejemplo, si se trt de u fórmul de O( 4 ), el térmio de error será de l form: E( f ) I I c c c Cocretmete, pr oteer el desrrollo e serie del térmio de error e el cso de l fórmul del trpecio, prtiedo del error como difereci del vlor excto meos el vlor proximdo: c / ET ( ) f ( x) f ( c / ) f ( c / ), c / y teiedo e cuet el desrrollo e serie de Tylor de f lrededor de c, y sustituyedo e l expresió terior f(x), f(c-/) y f(c+/), se tiee: 4

15 Tem 7: Itegrció uméric. / c-/ c c+/ f ''( c) f '''( c) f ( x) f ( c) f '( c)( x c) ( x c) ( x c)!! f ''( c) f '''( c) f ( c / ) f ( c) f '( c)! 4! 8 f ''( c) f '''( c) f ( c / ) f ( c) f '( c)! 4! iv) vi ) ET ( ) f ''( c) f ( c) f ( c) Del mismo modo se puede oteer el desrrollo e serie de potecis de pr l fórmul del puto medio : 5 7 c / iv ) vi) EM ( ) f ( x) f ( c) f ''( c) f ( c) f ( c) c / Ls dos pliccioes más itules e itegrció uméric de l extrpolció de Ricrdso so: -A dos fórmuls compuests (distito º de pliccioes de u mism fórmul simple) co dos vlores distitos del tmño de pso, por ejemplo, y /. - A dos fórmuls simple distits co el mismo orde de precisió. Por ejemplo ls fórmuls del trpecio y del puto medio. Vemos u ejemplo de cd u de ests dos pliccioes. E el primer cso se cosider l fórmul del trpecio compuest veces y veces, es decir, co mplitudes del suitervlo igules : y Llmdo I l vlor excto e I, I, los vlores proximdos, se tiee: I I c c I I c ( / ) c ( / ) Multiplicdo l ª ecució por 4 y restádole l ª coseguimos que desprec el térmio e, y se otiee: 5

16 Tem 7: Itegrció uméric. 4 I I I 4 I I c / I O( ) u fórmul que tiee u orde de precisió igul, superior l de ls dos de prtid. E el segudo cso se v cosiderr ls fórmuls del trpecio y del puto medio: I IT f c O I I M f c O 4 5 ''( ) ( ) 5 ''( ) ( ) Multiplicdo l ª ecució por y sumádole l ª, se ul los térmios e, co lo que l fórmul resultte tiee u orde de precisió de O( 5 ). Est fórmul es precismete l ª fórmul de Simpso. 5 IT I M 5 I IT I M O( ) I O( ) 6

17 Tem 7: Itegrció uméric TEMA 7. EJERCICIOS.. Oteer u fórmul de itegrció uméric de tipo iterpoltorio, sí como los correspodietes térmios de error, siedo ls fórmuls de l form: f ( x) f ( ) f ( ) f ( x) f ( ) f ( ) f ( ) f ( x) f ( 4) f ( ) f ( 4) f ( x) f ( ) f ( ) f ( ). Clculr utilido l regl de los trpecios compuest co y 4 suitervlos, y x plicdo posteriormete extrpolció de Ricrdso pr clculr u tercer proximció.. Evlur I por medio de: x ) L regl del trpecio. ) L primer regl de Simpso. c) L segud regl de Simpso. Acotr el error de tructur e cd cso. Sol: I = 7/6; I 4 = 67/64; I R = / Sol: ) I =.65, E( f ).5; ) I =.546, E( f ).467; c) I =.588, E( f ) Oteer prtir de l primer y segud regls de Simpso, medite l extrpolció de Ricrdso, u fórmul co u error meor, y plicrl l cso ( x 4 x ) 5. Utilido l regl de los trpecios y l primer regl de Simpso clculr Oteer u cot del error cometido. f ( x) ( x x 7x 5) Sol: I /5 Sol: I = 6, E( f ) 8/; I = 6/, E( f ) = 6. Evlur ( x x 7x 5) utilido l regl trpeoidl y l fórmul iert de itegrció de u puto, oteiedo prtir de ests dos u vlor mejor medite l extrpolció de Ricrdso. Sol: I = 6/ 7

18 Tem 7: Itegrció uméric. 7. Clculr l itegrl ( x x 7x 5), plicdo: ) L regl del trpecio dos veces. ) L regl del trpecio cutro veces. c) Oteer u vlor mejor prtir de los dos teriores. Sol: I =, I 4 = 8. Utilir u fórmul de cudrtur gussi pr oteer u vlor proximdo de ( x x x ) Sol: I = 4/ 9. Evlur por medio de dos fórmuls de cudrtur de Guss-Legedre co dos y x tres putos. Sol: I =.4974, I = Usr l fórmul de cudrtur de Guss-Legedre de cico putos pr clculr x Sol: I = Clculr ( x x ) utilido l fórmul de los trpecios compuest, grtido que el error de tructur cometido se meor que =... Qué vlor de serí ecesrio cosiderr pr clculr si( x) co 5 decimles correctos utilido l regl de Simpso compuest?. A prtir de los dtos de l siguiete tl: Sol: = 4, I 4 =.785 x y(x) Sol: = /4 Estimr y( x) de l form más decud. 4. Aplicr l fórmul de Guss-Legedre de dos odos pr clculr si( t) dt Sol: 6.89 Sol: I = Se dese clculr si( x). 8

19 Tem 7: Itegrció uméric. ) Utilir l primer regl de Simpso co 9 odos. ) Utilir l segud regl de Simpso co 4 odos. c) Oteer cots del error de tructur. d) Dds ls tres primers ríces x i del poliomio de Legedre de grdo 5 y sus respectivos pesos w i, completr l tl co los vlores que flt x i w i Clculr el vlor proximdo de l itegrl utilido l fórmul de cudrtur de Guss-Legedre co 5 odos. Sol: ) I =.69, E( f ).45; ) I =.454, E( f ).475; d) I = Dd l itegrl I ( 5 x), se pide: ) Determir el úmero de veces que y que compoer l regl de Simpso pr oteer el vlor de I co u error 4. ) Oteer dic itegrl co l precisió pedid. Sol: ) = ; ) I = Clculr u vlor proximdo de x usdo los dtos de l siguiete tl: x x / ) Cosiderdo l fórmul trpeoidl. ) Cosiderdo l primer regl de Simpso. c) Cosiderdo l fórmul trpeoidl compuest. d) Cosiderdo l fórmul de Simpso compuest. e) Oteer cots del error de tructur e cd cso. 8. Co los dtos de l siguiete tl Clculr 9 Sol: )., E( f ).56; ).49, E( f ) ; c).47, E( f ).56 5 ; d).48, E( f ) 8 x f (x) f ( x) ) Utilido l primer regl de Simpso compuest. )Relido dos pliccioes de l fórmul iert: 5 x4 f x f f f f iv) ( ) ( ) ( c ) x Por qué coicide los resultdos? Sol: 48/ 9

20 . 8 Tem 7: Itegrció uméric. iv 9. Siedo que f ( x) y mx f ( x), y siedo coocid l fució por los dtos de l siguiete tl: x. 8 x f (x) empler l primer regl de Simpso compuest pr estimr f (.7). Sol: f (.7). L fució f ( x) 8. 6x 74. 7x 4. x se us e el cálculo de l siguiete tl de dtos: x f (x) Evlur f ( x) utilido de form decud u comició de ls regls primer y segud de Simpso y de l regl de los trpecios pr oteer l myor precisió posile. Hllr u cot del error cometido.. Aproximr compuest. L( x) co u error., utilido l fórmul iert del puto medio Sol:.(5 pliccioes) Sol: 6.798

21 Tem 7: Itegrció uméric. TEMA 7: INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN FÓRMULAS DE CUADRATURA FÓRMULAS DE NEWTON-COTES FÓRMULAS COMPUESTAS FÓRMULAS DE CUADRATURA DE GAUSS EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON... Error! Mrcdor o defiido TEMA 7. EJERCICIOS...7