Aproximación Polinomial de Funciones.

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1 Aproximación Polinomial de Funciones José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de Guanajuato, F I M E E 1 Introducción En estas notas se presentan los fundamentos de los polinomios como un espacio vectorial y algunos de los métodos mas conocidos de interpolación de funciones mediante polinomios 2 Polinomios Como Espacios Vectoriales En esta sección se mostrará como el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n constituye un espacio vectorial Definición Considere el conjunto de polinomios de coeficientes reales de una variable real, x, de grado menor o igual que n P n (n) ={P (x) =a n x n + a n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a n,a n 1,,a 2,a 1,a 0 R} (1) Además, si a n 0, el polinomio P (n) se dice que es de grado n Teorema Considere el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n de variable real x, P n (x), junto con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar real P (x),q(x) P n (x) y λ R P (x)+q(x) = (a n x n + a n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 )+(b n x n + b n b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ) (a n + b n ) x n +(a n 1 + b n 1 ) + +(a 2 + b 2 ) x 2 +(a 1 + b 1 ) x +(a 0 + b 0 ) (2) λp(x) = λ (a n x n + a n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) (λa n ) x n +(λa n 1 ) + +(λa 2 ) x 2 +(λa 1 ) x +(λa 0 ) (3) El conjunto, P n (x) junto con las operaciones de suma y multiplicación constituye un espacio vectorial Por lo tanto, todos los conceptos y propiedades de los espacios vectoriales tales como: Independencia lineal, combinación lineal, subespacios, suma de subespacios, transformaciones lineales, etc pueden aplicarse a los polinomios de P n (x) Además, puede probarse que la dimensión de este espacio vectorial es n + 1 Una de las posibles bases, no necesariamente la mas adecuada para aproximación polinomial es {1,x,x 2,,,x n } Nota Es importante notar que todos elementos de P n (x) son funciones reales de una variable real x Estas funciones tienen la ventaja que la función no necesita un número infinito de datos para determinar su comportamiento Por ejemplo, para el polinomio P (x) =a n x n + a n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, unicamente necesitamos almacenar el conjunto de valores {a n,a n 1,,a 2,a 1,a 0 } y podemos determinar cuando vale P (x) para cualquier valor de x R 1

2 3 Interpolación Polinomial: Método Intuitivo En esta sección, se presenta el método intuitivo de aproximación polinomial Secciones posteriores mostrarán métodos mucho mas elaborados y con una fuerte fundamentación teórica para llevar a cabo la aproximación o interpolación polinomial Definición del Problema Suponga que se conocen los valores de una función f(x), para un conjunto de puntos o red dados por G = {x i },, 1, 2,,n el único requisito es que x i x j i, j =0, 1, 2,,n y i j Es decir se conocen los valores {f(x 0 ),f(x 1 ),f(x 2 ),,f(x n )} y se desea determinar un polinomio P (x) que satisfaga la condición P (x i )=f(x i ) i =0, 1, 2,,n (4) El primer paso consiste en determinar el grado del polinomio P (x) Puesto que P (x) puede expresarse como P (x) =a n x n + a n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, (5) es evidente que un polinomio de grado n tiene n + 1 parametros por determinar, de manera que si se desea que el polinomio satisfaga las condiciones dadas por la ecuación (4), entonces el polinomio debe ser de grado n Además, el polinomio P (x) debe satisfacer las siguientes condiciones P (x 0 ) = a n x n 0 + a n a 2 x a 1 x 0 + a 0 = f(x 0 ) P (x 1 ) = a n x n 1 + a n a 2 x a 1 x 1 + a 0 = f(x 1 ) = = P ( ) = a n x n n 1 + a n 1 n a 2 x 2 n 1 + a 1 + a 0 = f( ) P (x n ) = a n x n n + a n 1 n + + a 2 x 2 n + a 1 x n + a 0 = f(x n ) Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como x n 0 x n 1 x n n 1 x n n 0 x 2 0 x x 2 1 x 1 1 n 1 x 2 n 1 1 n x 2 n x n 1 a n a n 1 a 2 a 1 a 0 = f(x 0 ) f(x 1 ) f( ) f(x n ) Si la matriz de coeficientes tiene rango n, la solución del sistema de ecuaciones es única 4 Ejemplo 1 Considere una función f(x) y una red oconjuntodepuntos{x 0 =1,x 1 =3,x 2 =7,x 3 =9} tal que f(x 0 )=f(1) = 0, f(x 1 )=f(3) = 15, f(x 2 )=f(7) = 40, f(x 3 )=f(9) = 20 (7) De acuerdo al procedimiento indicado en la sección anterior, es necesario resolver el sistema de ecuaciones x 3 0 x 2 0 x 0 1 a 3 f(x 0 ) x 3 1 x 2 1 x 1 1 a 2 x 3 2 x 2 2 x 2 1 a 1 = f(x 1 ) f(x 2 ) (8) x 3 3 x 2 3 x 3 1 a 0 f(x 3 ) (6) 2

3 En forma numérica, el sistema de ecauciones está dadopor a a a 1 a La solución del sistema de ecuaciones está dado por a = [ Por lo tanto, el polinomio está dadopor 65 = (9) ] T (10) P (x) = 5 16 x3 155 x x (11) 5 Interpolación o Aproximación de Lagrange En esta sección, se mostraráelmétodo de aproximación o interpolación de Lagrange para aproximar una función arbitraria mediante un polinomio Definicion El problema de aproximación polinomial Dada una función f(x) de una variable real x y dado un conjunto finito de puntos {x 0,x 1,x 2,,x n },conn 1, y tal que x i x j i, j =0, 1, 2,,n, i j Considere ahora los valores f(x 0 ), f(x 1 ), f(x 2 ),, f(x n ) de la función f(x) Determine el polinomio P (x) P n (x) que satisface las condiciones P (x 0 )=f(x 0 ) P (x 1 )=f(x 1 ) P (x 2 )=f(x 2 ) P (x n )=f(x n ) (12) Afín de encontrar la solución de este problema, se necesita el siguiente resultado Teorema I Suponga que n 1 Entonces existen polinomios L k (x) P n (x), k =0, 1, 2,,n tales que Además, el polinomio L k (x i )= { 1 i = k 0 i k P (x) = } i, k =0, 1, 2,,n (13) n L i (x) f(x i ) (14) satisface las condiciones, (12), i =0, 1,,n, simplemente determine las condiciones P (x i ) = = = k L i (x i ) f(x i ) k [L 0 (x i ) f(x i )+ + L i 1 (x i ) f(x i 1 )+L i (x i ) f(x i )+L i+1 (x i ) f(x i+1 )+ + L n (x n ) f(x n )] k [(0) f(x i )+ +(0)f(x i 1 )+(1)f(x i )+(0)f(x i+1 )+ +(0)f(x n )] = f(x i ) (15) 3

4 Prueba: Para todo k, talque0 k n, L k (x) necesita tener n ceros dados por x i, donde i =0, 1,,n, con i k Porlotanto L k (x) =C k n,i k (x x i ), (16) donde C k Res una constante que se determina por la condición de que L k (x) =1,parax = x k Por lo tanto, C k = L k (x k ) n,i k (x k x i ) = 1 n,i k (x k x i ) (17) Sustituyendo la ecuación (17) en la ecuación (16), se tiene que L k (x) = n,i k x x i x k x i (18) Aun cuando la prueba anterior es unicamente válida para n 1, el resultado es también válido para n =0 En este caso se buscaria un polinomio P 0 (x) tal que para x = x 0, su valor sea f(x 0 ) Puesto que los polinomios de grado 0 son constantes, la solución inmediata es P 0 (x) =f(x 0 ) Teorema de Interpolación de Lagrange Suponga que n 1, y sea {x 0,x 1,x 2,,x n } un conjunto de números reales, tales que x i x j i, j =1, 2,,n, i j Sean f(x 0 ), f(x 1 ), f(x 2 ),, f(x n )unconjuntodenúmeros reales Entonces, existe un único polinomio P (x) P n (x) talque P (x i )=f(x i ) i =0, 1,,n Prueba: La existencia del polinomio es inmediata a partir del Teorema I, el polinomio está dadopor n n n P (x) = L i (x) f(x i )= x x i f(x i ) (19) x k x i,i k Para probar la unicidad del polinomio, suponga que existen dos polinomios P (x),q(x) P n (x) que satisfacen las condiciones Entonces, P (x) Q(x) P n (x); es decir, la resta de los polinomios también pertenece al espacio de polinomios P n (x) Sin embargo, el polinomio P (x) Q(x) tienen + 1 raices distintas pues P (x i ) Q(x i )=f(x i ) f(x i )=0, i =0, 1, 2,,n Sin embargo, ningún polinomio de grado n tiene n + 1 raices distintas a menos que P (x) Q(x) =0, x R Por lo tanto, De manera que los polinomios son iguales P (x) =Q(x) x R 4

5 6 Ejemplo 1, Revisitado Considere una función f(x) y una red oconjuntodepuntos{x 0 =1,x 1 =3,x 2 =7,x 3 =9} tal que f(x 0 )=f(1) = 0, f(x 1 )=f(3) = 15, f(x 2 )=f(7) = 40, f(x 3 )=f(9) = 20 (20) Siguiendo el procedimiento indicado en la sección anterior, se tiene que los polinomios L k (x) están dados por Primer polinomio L 1 (x) = 1 96 (x 3) (x 7) (x 9) Segundo polinomio Tercer polinomio L 2 (x) = 1 (x 1) (x 7) (x 9) L 3 (x) = 1 (x 1) (x 3) (x 9) Cuarto polinomio L 4 (x) = 1 (x 1) (x 3) (x 7) 96 Puede probarse que, para cada L i (x),i=1, 2, 3, 4, se satisface que L i (x k )=0 k i, and L i (x i )=1 Finalmente, el polinomio P (x) P 3 (x) que satisface las condiciones de interpolación indicadas por la ecuación (20), está dadopor P (x) = 5 16 x3 155 x x (21) No debe estrañar que este polinomio resulte igual al encontrado en la sección 4, pues el polinomio satisface las mismas condiciones requeridas en esa sección, además, la teoría desarrollada en la sección anterior indica que el polinomio es único De nueva cuenta puede probarse que, La gráfica del polinomio se muestra en la figura 1 P (x i )=f(x i ) i =1, 2, 3, 4 5

6 x Figure 1: Grafica de la Función Polinomial 6