Minimizar el error de interpolación considerando las raíces del polinomio de Chebyshev

Transcripción

1 Mmzar el error de terpolacó cosderado las raíces del polomo de Chebyshev Stefao Nas Dept. of Statstcs ad Operatos Research Uverstat Poltécca de Cataluya U polomo de terpolacó es u polomo que pasa eactamete a través de u couto dado de putos. Supogamos que lo que se quere es buscar u polomo de grado fto que aprome ua fucó dada. Lo que resulta tutvo es buscar que dcho polomo tega el msmo valor de la fucó e u couto de putos dado. Sabedo que por putos pasa u úco polomo de grado, podríamos argumetar que la úca maera de buscar ua apromacó meor del polomo a la fucó es la de escoger de formas dsttas los putos por los cuales el polomo ha de pasar. Dada ua fucó f de la cual se cooce sus valores e u úmero fto de abscsas,,..., m, se llama terpolacó polómca al proceso de hallar u polomo p m de grado meor o gual a m, cumpledo p m k = f k por cada k =,..., m. Los coefcetes a, a, a,..., a, de dcho polomo se obtee mpoedo al polomo de pasar por los putos fados.

2 y y y a a a Este sstema es compatble determado y a la matrz asocada se le suele deomar matrz de Vadermode. La compledad computacoal para vertr la matrz es de O. Por esta razó, ha sdo costrudo dferetes algortmos que aprovecha de la partcular estructura de de este sstema que reduce la compledad a O, como el método de las dferecas dvddas de Newto o el método de Lagrage. E este últmo caso, el polomo, el polomo terpolador de grado de Lagrage es u polomo de la forma } {... ; k m l f [] dode l so los llamados polomos de Lagrage, que se calcula de este modo: l [] Hagamos u eemplo de polomo terpolador de grado de Lagrage. Se quere hallar el valor de la fucó f = ep+ utlzado u polomo terpolador de Lagrage de grado que pase por los tres putos,f,.5,f.5,,f. Se usa prmero el método drecto para calcular el polomo terpolador de Lagrage. Co las codcoes dadas, los polomos de Lagrage so:.5.5 l l [4] l.5.5

3 Por cosguete, el polomo de terpolacó de grado dos resultará es sguete. / / p f l e 4e e e 4e e e [5] {...} Ua preguta que puede surgr al utlzar u polomo de terpolacó para apromar ua fucó es cuato bueo es el auste del polomo a la fucó orgara. Por esta razó cosderamos el error de terpolacó de u polomo de grado que pase por los putos de ua fucó f e las abscsas,...,. S f es ua fucó determada e,..., y veces dferecable, etoces el error de terpolacó puede calcularse como valor absoluto de la dfereca etre la fucó y el polomo. Costrumos ua fucó Φ por la cual se cumpla que f P a a a a [,] a [ f P ] a a a [6] Esta fucó se aula e + putos. Aplcado el teorema de Rolle se tee que ua fucó que toma el msmo valor + veces tee + putos que aula la dervada. A la vez, la dervada de esta fucó es tal que, teedo + putos co el msmo valor tedrá putos que aula su dervada. Por lo tato, dervado sucesvamete + veces, teemos que estrá u úco puto que aule la dervada +esma, es decr,. Así, podemos asegurar que,tee almeos ua raíz, co lo cual resulta evdete que, sedo p u polomo de grado maor que, la sguete. resultará f a! [7] Por cosguete, habedo puesto que e, se tee que Sea f:[a,b] R. S f es cotua e [a,b], dervable a,b e fa = fb etoces este u puto e [a, b] dode f =.

4 a f! [8] y e el caso de que f sea veces dferecable e el domo [, ], el error de terpolacó podrá defrse como f f P! [9] Dode es u puto que perteece a [,] por el cual es trvalmete verdadero cuado = ya que ambos lados de la epresó será.. Notemos que el resultado Corollaros Codcoes de terpolacó. Para cualquer valor de, el error es cuado =, ya que. El error es cuado los datos so meddas de u polomo f de eacto grado poque etoces la +ésma dervada es gual a. Adudcado valores absolutos e la epresó del error de terpolacó y mamzado ambos lados de la ecuacó a lo largo del tervalo [,] obteemos la cota para dcho error: ma f p f ma f [] ma!! queremos mmzar este factor Dada la ucdad del polomo de terpolacó, las úcas dos cosas que podemos mover a la hora de reducr el error de terpolacó es el grado del polomo por cosguete, el úmero de putos y la localzacó de dchos putos. Se podría creer que al crecer del grado del polomo el error de terpolacó se reduzca. E realdad, pese al ser u resultado attutvo, Carle Davd olmé Ruge observó que el error de terpolacó e u dato tervalo tede a fto cuado el grado del polomo de terpolacó tede a fto. lm ma f p [] 4

5 El métodos que lustraremos os permte proporcoar los putos por los cuales hacer pasar el polomo de terpolacó de forma tal que la dstaca máma etre el polomo terpolado y la fucó orgara sea míma. La osclacó observada por Ruge se puede mmzar usado odos de Chebyshev e lugar de equdstates. E este caso se garatza que el error mámo dsmuye al crecer el orde polómco. Esta es ua propedad que hace partcularmete teresate el utlzar las raíces del polomo de Chebyshev como putos por dode terpolar el polomo. Para mmzar el últmo factor de la cota del error proporcoada e [], Pafuty Lvovch Chebyshev demostró que los putos,..., por los cuales hacer pasar el polomo ha de ser escogdo de forma que ma [] dode, es el polomo de Chebyshev de grado +. El polomo de Chebyshev de prmera espece es el A partr de los polomos de grado y [] el polomo de Chebyshev de grado se obtee por medo de la sguete defcó recursva. [4] Co lo cual 5

6 Etre todas las eleccoes de los putos,...,, elegrlos de forma que [7] se respete, garatza que el polomo así obtedo es el úco que tega la propedad segú la cual ma ma ma ma [5] Por ede, se puede demostrar que el valor absoluto de la dfereca etre la fucó y el polomo terpolado por las raíces del polomo de Chebyshev resulta acotado de la sguete forma: ma!,] [ f P f [6] Abao mostramos la varacó de dcha cota e el caso de f = s apromado e [, ]. Como se ota, al aumetar del grado del polomo la cota del error dsmuye moótoamete.

7 Ua terpretacó geométrca de los odos de Chebyshev es aquella segú la cual estos se coloca e u segmeto de logtud gual al dámetro de u círculo, cuya crcufereca repartmos e partes guales. Proyectado a lo largo del dcho segmeto el puto medo de cada partcó de la semcrcofereca obteemos putos que cocde co las raíces del polomo de Chebyshev. La razó por la cual la apromacó de ua fucó f por u polomo que terpole putos escogdos de esta forma mmza el efecto Ruge es que la desdad de putos resulta crecete desde el cetro asta las etremdades. Para calcular dchas races utlza la detdad trgoometrca del polomo de Chebyshev. arccos cosh arccosh cos Este coseo se aula cuado la epresó al teror es u múltplo de Π y por lo tato las raíces del polomo de Chebyshev e [,] so. cos ;. E el caso de que se qusera defr el polomo de Chebyshev e u tervalo cualquera [a, b], las races resultara trasformadas de la sguete forma. 7

8 a b b a cos ;,..., La utlzacó de los odos de Chebyshev os permte també utlzar u método recursvo para la obtecó de los coefcetes. f c dode c so c k f k k = k f k c k f k k Esta formula permta calcular los coefcetes del polomo de terpolacó co u coste computacoal del orde de O operacoes. El sguete eemplo muestra ua aplcacó de la apromacó de ua fucó por polomo terpolados e los odos del polomo de Chebyshev. 8 Cosderamos la fucó: f y terpolamos dos polomos de gual grado a 4 54 los putos de dcha fucó. El prmer polomo lo terpolamos e putos equespacados y el segudo e las raíces del polomo de Chebyshev. Utlzamos dos meddas de dstaca para evaluar la bodad de la apromacó: b d f, p f p a d Dode calculamos el área de la dfereca etre la fucó y el polomo de terpolacó al cuadrado. Y: d f, p ma f p dode hallamos el valor de la máma dstaca. Lo que resulta teresate e esta apromacó es que, metras la dstaca máma etre la fucó y el polomo resulta sempre meor cuado se utlza las raíces del polomo de Chebyshev, lo msmo o ocurre co la orma L. 8

9 Como se ota, la orma L etre la fucó y el polomo de grado 5 resulta 79 cuado se utlza putos uformemete dstrbudos y 75, cuado se utlza las raíces del polomo de Chebychev. Putos equdstates = 5 L = 79 M ma = 4.66 Nodos de Chebyshev = 5 L = 75 M ma = 8. Para la terpolacó co u polomo de grado 5, a smple vsta o se puede valorar cuales so los putos co los que se terpola meor, de hecho, este ua aprecacó de máma dstaca e el polomo hallado por el método de Chebyshev, pero s cosultamos las meddas de error aclaramos que o es más que ua lusó óptca. Nodos de Chebyshev Putos equdstates 9

10 = 8 L = M ma = 5.78 = 8 L = 7 M ma = 4.67 Cuado aumetamos el grado del polomo, observamos que a pesar de que ambos métodos parece austar be, el hallado a partr de los odos de Chebyshev es óptmo ya que podemos dstgur la catdad de error sobre todo e los etremos, y lo corroboramos cosultado las meddas de error. Putos equdstates = 6 L = 44 M ma = Nodos de Chebyshev = 6 L =.46 M ma =. Por últmo, aumetamos el grado de polomo a 6 y e este caso, aprecamos claramete e el prmer gráfco ua mafestacó del feómeo de Ruge, del que ya hablamos aterormete. Lo que emerge claramete es que el método de Chebyshev resulta óptmo para la mmzacó de la mayor dstaca estete etre la fucó que se desea apromar y uestro polomo de Chebyshev Mma. S embargo, esto o garatza de gua forma la mmzacó del otras dstacas, como se observó e caso de la orma L. U coveete cosderable de dcho método es que s queremos añadr más odos, se tedría que estmar de uevo los coefcetes de los polomos de Chebyshev.

11 Codgo MatLab %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % S Chebyshev % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% = 5 % grado del polomo = -: /- :'; % seleccoamos los putos equdstates a partr de los cuales % hallaremos el polomo de terpolacó f 8*./+54*.^4+.^; % defmos la fucó que queremos austar medate el polomo y = fevalf,; % calculamos los valores de la fucó f e los putos defdos % aterormete p = polyft,y,-; % hallamos los coefcetes del polomo de terpolacó t = -:.:; % defmos el domo poly = polyvalp,t; % calculamos los valores y del polomo de terpolacó e plott,ft,'b',t,poly,'r',,f,'ok' %%%%%%% Norm M Ma %%%%%% % hallamos la máma dstaca f 8*/+54*^4+^; %fucó que queremos apromar medate g g p*[^4 ^ ^ ]'; %polomo de terpolacó dst = ; ed for = -:.: dst = ma dst, absf - g; dst %%%%%%% Norm L %%%%%%%%%% % Calculamos el área de la dfereca etre la % fucó y el polomo de terpolacó al cuadrado syms

12 L = tf - g^, -, roudl %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Co Chebyshev % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% = 5; % grado del polomo = cos*:'-*p/*; % calculamos los odos de Chebyshev f 8*./+54*.^4+.^; % defmos la fucó que queremos austar medate el polomo y = fevalf,; % calculamos el valor de la fucó f e p = polyft,y,-; % hallamos los coefcetes del polomo de terpolacó a partr de % los odos de Chebyshev t = -:.:; %defmos el domo poly = polyvalp,t; % calculamos el valor y del polomo de terpolacó e plott,ft,'b',t,poly,'r',,f,'ok' %%%%%%% Norm M Ma %%%%%% f 8*/+54*^4+^; %fucó que queremos apromar medate g g p*[^4 ^ ^ ]'; %polomo de terpolacó dst = ; for = -:.: ed dst = [dst, absf - g]; dst % hallamos la máma dstaca %%%%%%% Norm L %%%%%%%%%% syms L = tf - g^, -, roudl

13 % Calculamos el área de la dfereca etre la fucó y el polomo % de terpolacó al cuadrado fucto [c,] = chebpolftfame, %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Alteratvamete, també podemos calcular el polomo de terpolacó % medate los polomos de Chebyshev. % Calcula los coefcetes c para =,,, del polomo de % terpolacó: pt=c*_t+...c*_{-}t dode _ so los % polomos de % Chebyshev de grado % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% = cos*:'-*p/*; % odos de Chebyshev y = fevalfame,; = [zeros, oes,]; c = [sumy/ zeros,-]; a = ; for k = : = [:, a*.*:,-:,]; % polomos de Chebyshev ck = sum :,.* y*/; % coefcetes para los polomos de Chebyshev a = ; ed fucto u = chebpolvalc,t % esta fucó calcula los valores de la combacó leal de los % polomos de % Chebyshev e todo el domo de t = legthc; u = c*oesszet; f > up = u; u = c- + *t*c; for = -:-: up = up; up = u; u = c + *t.*up - up; ed u = u - t.*up; ed % y e la vetaa de comado de MatLab escrbmos: =5 % grado del polomo f 8*/+54*^4+^; % declaramos uestra fucó [c,] = chebpolftf,;

14 % calculamos los coefcetes y los polomos de Chebyshev t = -:.:; % defmos el domo e las abcsas plott,ft,'b',t,chebpolvalc,t,'r',,f,'ok' % grafcamos la fucó e azul y el polomo de terpolacó e roo 4