Algebra de Boole: Teoremas

Transcripción

1 Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A 1 = A Teorema 5: A 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B) = A B Teorema 8: (A B) = A + B Teorema 9: A + A B = A Teorema 10: A (A + B) = A Teorema 11: A + A B = A + B Teorema 12: A (A + B ) = A B Teorema 13: AB + AB = A Teorema 14: (A + B ) (A + B) = A Teorema 15: A + A = 1 Teorema 16: A A = 0 Algebra de Boole: Teoremas Actividad: Demuestre este teorema: X Y + X Y = X Demuestre este teorema : X + X Y = X igualdad X Y + X Y = X Y + X Y distributividad (8) = X (Y + Y ) complementariedad (5) = X (1) identidad (1D) = X igualdad X + X Y = X + X Y identidad (1D) = X 1 + X Y distributividad (8) = X (1 + Y) nulo (2) = X (1) identidad (1D) = X En esta memoria se van a reflejar una serie de ejercicios realizados en clase, tanto en el entrenador, como en el programa Workbench.

2 Cada ejercicio estará compuesto de tres partes. La primera parte será el enunciado del ejercicio. La segunda estará formada por la resolución del ejercicio, con todos los elementos que se pidan, como son tabla de verdad, funciones simplificadas, esquemas, etc. La tercera y última parte de cada ejercicio, estará formada por una breve explicación de la teoría empleada para la realización de cada ejercicio, y como se ha aplicado al mismo. Dado que los ejercicios de esta memoria se van a realizar con el programa Workbench, y éste representa las variables negadas de una función con el símbolo de comillas ( ) utilizaré el mismo símbolo durante toda la memoria para representar las variables negadas. 1. Construir mediante puertas los circuitos correspondientes a las siguientes funciones lógicas: a) (abc + a c)d b) [a+b(b +c)]d c) (b+c )[a +b (c+d )

3 La teoría empleada para la realización de este ejercicio es la de los principios básicos de la electrónica digital, es decir las puertas lógicas. Las puertas lógicas son el dispositivo básico con que se puede montar cualquier circuito. Estas puertas representan dos posibles estados (1 y 0) en los que puede haber o no haber tensión. Pueden ser de diversos tipos, representando cada una de ellas una operación lógica básica. 2. Obtener la función y tabla de la verdad de las siguientes figuras:

4 F = A'B'+A'B+AB' Tabla de Verdad A B S F = A'B+AB' Tabla de Verdad A B S

5 1 1 0 La teoría empleada para realizar este ejercicio es la basada en la obtención de una función y de su tabla de verdad a través del diseño del circuito o viceversa. En este caso se nos da un diseño de circuito determinado, y a través del mismo, hay que deducir la tabla de la verdad, teniendo en cuenta cómo es el circuito, las puertas lógicas que incluye, y las distintas variaciones a que se somete a las variables. La tabla de verdad es un cuadro formado por tantas columnas como variables tenga la función, y corresponde a la representación gráfica de una función booleana. Una vez obtenida la tabla de la verdad, habrá que obtener la Función Booleana, que es una variable binaria, cuyo valor depende de una expresión algebraica. Esta función vendrá dada por el número de puertas, y las características de éstas que haya en el diseño del circuito. Dependiendo del valor de salida que se escoja, esta función se podrá representar de dos maneras, por producto de sumas y por suma de productos siendo funciones equivalentes. En este caso se ha optado por la suma de productos, y para ello hay que escoger los 1 que hay en la salida, dando como resultado una función que representa el circuito diseñado. 3. Para realizar una primera selección de ingreso en una determinada empresa, se solicita a los aspirantes que cumplan los requisitos de alguno de los tres puntos siguientes: estar en posesión del título académico y dos años de experiencia en trabajo análogo al ofertado acreditar cinco años de experiencia y vivir en la misma ciudad ser recomendado de la dirección En todos los casos será necesario tener coche propio. Obtener la función lógica que relacione adecuadamente todas las variables, y construir un circuito que efectúe automáticamente la selección. Tabla de Verdad A B C D S

6 Tener coche = A Tener título = B Tener experiencia = C Ser recomendado = D Para ser admitido, tienen que estar activas al menos la variable A y cualquiera otra. Representación de la función por Suma de productos F = AB C D + AB CD + AB CD + ABC D + ABC D + ABCD + ABCD

7 La teoría empleada para realizar este ejercicio, está basada de nuevo en las puertas lógicas, pero con variaciones. En este problema nos dan una serie de variables reales, para que a partir de esos supuestos, se construya un circuito electrónico. El primer paso que se debe seguir, es asignar a cada uno de esos supuestos una letra (A, B, C, D) que serán con las que más adelante construyamos la función. Una vez asignada la letra a cada supuesto, habrá que realizar una Tabla de Verdad. La Tabla de Verdad es una tabla que incluye tantas variables de entrada y de salida como tengamos. Según las entradas que tengamos, obtendremos una u otra salida. En este caso tenemos cuatro variables de entradas y una única salida y hay que tener en cuenta que tiene que haber siempre una variable activa (en este caso, tener coche) mas una cualquiera de las otras para resultar admitido. Por tanto, siempre que tengamos un uno en la variable del coche (A) y un uno cualquiera en cualquiera de las otras variables, la salida será un uno. En el caso contrario en que en la variable A tengamos un cero, dará igual cualquiera de las otras variables, puesto que la salida siempre dará como resultado cero. Una vez obtenida la Tabla de Verdad, con todas sus entradas y salidas, hay que proceder a obtener la función lógica de dicha tabla. Esto se puede realizar de dos maneras, fijándose en los unos a la salida, o en los ceros. Si nos fijamos en los unos, habrá que sumar todos los productos lógicos para que esa función de cómo resultado uno, obteniendo tantos productos lógicos como unos haya. Cuando una de las variables vale uno, se representa esa variable, pero si la variable vale cero, se representará una variable negada. Si nos fijamos en los ceros, habrá que multiplicar todas las sumas lógicas para que el resultado final de la función sea 0, obteniendo tantas sumas lógicas como 0 haya. Al igual que en el caso anterior cuando la variable aparece en forma de 0, se representará esa variable, pero si la variable aparece en forma de 1, se representará negada. 4. Extraer la función en su forma canónica en producto de sumas y suma de productos, de la siguiente tabla: A B C S F = A B C + A BC + AB C + ABC

8 F = (A + B + C )(A + B + C)(A + B + C)(A +B +C ) En este ejercicio se obtiene una función a partir de una determinada tabla de la verdad. Se obtienen dos funciones distintas, una de suma de productos, obtenida a partir de los

9 unos de las salidas y otra de producto de sumas, obtenidas a partir de los ceros de las salidas. 5. Simplificar esta expresión mediante la aplicación de los postulados, propiedades y teoremas del álgebra de Boole: F = (A+B+C)(A+B+D)(A +B+C )(C+D)(B+D ) F = (A+B+C)(A+B+D)(A +B+C )(C+D)(B+D ) F = A B C + A B D + A B C + C D + B D _ F = (A C + A D + A C + D)B + C D _ F = A B + A B+ CD _ F = A B + C D F = A B + C D F= (A + B )(C+D) Para simplificar esta función, se ha utilizado el Álgebra de Boole, que se puede definir como las matemáticas de los sistemas digitales. En este sistema, cada variable se designa mediante una letra, y la complementaria de esa variable, se representa con una barra encima de ella (en este caso con una ) Cada función Booleana de sumas, multiplicaciones, etc. de variables, es una función lógica, que se puede representar con una puerta. La función básica del Álgebra de Boole es la de representar una función lógica lo mas reducida posible, para que a la hora de implementar el circuito resultante de dicha función, este sea lo más simple y barato posible.

10 Para lograr estas simplificaciones máximas, el Álgebra de Boole postula una serie de reglas, leyes y postulados para lograrlo. La primera de estas leyes, es la Ley Conmutativa, que establece que el orden que se aplica a las variables en una operación OR es indiferente. A + B = B + A La segunda de las leyes es la Ley Asociativa, que establece que al aplicar la operación OR a más de dos variables, el resultado es el mismo, independientemente de la forma en que se agrupen las variables. A + (B+C) = (A+B) +C La tercera ley es la Ley distributiva, que dice que si se aplica la operación OR a dos o más variables, y luego se aplica la operación AND al resultado de esa operación y otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de las otras dos variables y luego aplicar la operación OR a los productos resultantes. A(B + C) = AB+AC Además de estas leyes, el Álgebra de Boole tiene una serie de reglas para la simplificación de expresiones booleanas. A + 0 = A A + 1 = 1 A 0 = 0 A 1 = A A + A = A A + A = 1 A A = A A A = 0 A A = A A + AB = A + B A + AB = A A + A B = A+B

11 La última parte del Álgebra de Boole, son los Teoremas de DeMorgan, que forman una parte muy importante del Álgebra de Boole, ya que nos indican equivalencias entre distintas puertas. El primer teorema dice que el complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación AND es equivalente a aplicar la operación OR a los complementos de cada variable. XY = X + Y El segundo teorema dice que el complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación OR es equivalente a aplicar la operación AND a los complementos de cada variable. X + Y = X Y En el ejercicio realizado, se han utilizado todos los métodos del Álgebra de Boole para la simplificación de la función. Se comienza aplicando el segundo teorema de DeMorgan para negar dos veces la función. A continuación se utiliza la Ley distributiva para sacar factor común de la función y simplificarla. Y se termina utilizando los postulados para llegar al resultado final. 6. Transformar las siguientes funciones para poder implementar el circuito exclusivamente con puertas NAND a) F = ABC D + AB C F = (abc d) (ab c) F = (abc d) (ab c)

12 b) F= (A +B) (A +B +C) F = (A B) (A B C ) F = (AB ) (ABC ) Para la realización de esto ejercicio, se utilizan las Leyes de DeMorgan, incluidas en el Álgebra de Boole.

13 En el enunciado del ejercicio, indica que las funciones que se presentan, deben ser implementadas en un circuito formado con puertas NAND. Como dichas funciones están escritas con todo tipo de puertas, hay que conseguir convertir esas funciones en multiplicaciones lógicas, para así poder montar el circuito con puertas NAND de dos entradas. En el primero de los casos, la función viene dada como una suma de productos que se niega a la salida. El primer paso a dar, es convertir esta función en una multiplicación, para lo que se niega dos veces toda la función, obteniéndose dos productos, negados individualmente, y luego negados dos veces a la salida. Si se aplica a toda esta función el postulado 9 del Álgebra de Boole, esta función negada dos veces a la salida, es igual que la misma función sin negar, por lo que se eliminan las negaciones, obteniéndose un producto de productos, que ya si que se puede implementar con puertas NAND. En el segundo de los casos la función viene presentada como producto de sumas, negados independientemente. Para la conversión de esta función hacemos uso del segundo teorema de DeMorgan, que dice que el complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación OR es equivalente a aplicar la operación AND a los complementos de cada variable. Según este teorema, las dos sumas que forman la función se podrán convertir en multiplicaciones, negando una vez por separado cada variable de la misma. Como ya existen variables negadas, utilizando de nuevo el postulado 9, desaparecen esas negaciones, con lo que al final se obtiene de nuevo una función de producto de productos para que se pueda implementar con puertas NAND.