George Boole. Álgebra Booleana. Álgebra de Conmutación. Circuitos Digitales EC1723

Transcripción

1 George oole Circuitos Digitales EC723 Matemático británico (85-864). utodidacta y sin título universitario, en 849 fue nombrado Profesor de Matemáticas en el Queen's College en Irlanda. En su libro Laws of Thought (847) dió forma matemática a la lógica de ristóteles. Departamento de Electrónica y Circuitos Prof. Juan. Claudio Regidor! Su lógica simbólica le llevó a crear una familia de álgebras conocidas en conjunto como Álgebra de oole o Álgebra booleana.!2 Álgebra ooleana Álgebra de Conmutación El Álgebra bi-evaluada que define una operación de suma y otra de producto es la base de los circuitos lógicos digitales. En 939, Claude Shannon aplicó el álgebra booleana al diseño de circuitos de conmutación. Los símbolos 0 y se usan para representar los dos valores del álgebra, pero no tienen un significado numérico. Puede usarse otro par cualquiera, como F y T, o dos valores diferentes de tensión o corriente. Álgebra definida para un conjunto de dos símbolos ({falso, verdadero}, {F, T}, {0, },...), con una operación de suma y una operación de producto. Reglas de la suma (+): = = + 0 = + = Reglas del producto ( ): 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 =!3!4

2 Álgebra de Conmutación Compuertas Lógicas La operación de suma booleana se conoce en lógica como o inclusivo, abreviado o (se acostumbra usar el equivalente en inglés or). Su símbolo es. La operación de producto booleano se conoce en lógica como y (se acostumbra usar el equivalente en inglés and). Su símbolo es. Eiste también la operación de complemento o negación (not). Su símbolo es. La implementación electrónica de una función del álgebra de conmutación es llamada compuerta. lgunos símbolos circuitales: Compuerta ND de dos entradas Compuerta OR de dos entradas Compuerta NOT o inversor ' + ( + C) ( C)!5!6 Compuertas Lógicas Tabla de verdad lgunos símbolos circuitales (cont.): Compuerta NND de dos entradas (and negado) ( )' Es una representación de una función lógica que enumera el valor de la función para cada una de las combinaciones de valores de sus operandos. Compuerta NOR de dos entradas (or inclusivo negado) (+)' y y F0 F0 F0 F0 T F0 y + y y ( y) y y Compuerta XOR de dos entradas (or eclusivo) T F0 F0 T T T and or inclusivo and negado or eclusivo!7!8

3 Conjuntos Conjuntos La teoría de conjuntos es un ejemplo de álgebra booleana, si se hacen las identificaciones: 0: conjunto vacío, Φ : conjunto universal, U Suma: unión de conjuntos, Producto: intersección de conjuntos, Complemento con respecto al conjunto universal U La operación ( + C) puede representarse con un diagrama de Venn: ( + C) es la unión de los conjuntos y C, en amarillo C!9!0 Conjuntos Precedencia de Operadores La operación ( + C) puede representarse con un diagrama de Venn: ( C) ( + C) es la unión de los conjuntos y C, en amarillo La intersección de C con se ve en anaranjado. C l igual que en el álgebra tradicional, se establece por convención una precedencia de operadores: el producto se realiza antes que la suma; el complemento tiene la mayor precedencia. Se puede alterar el orden de las operaciones por medio de paréntesis. Ejemplos: y + z = ( y) + ( z) u (v + t) u v + t u v (y + z ) = ( ) u (v ) (y + (z ))!!2

4 Postulados del Álgebra de Conmutación. Eistencia de sólo dos valores = 0 si = si 0 2. Complemento = 0 = = = 0 Principio de Dualidad Toda identidad booleana se mantiene si se hacen simultáneamente los intercambios Ejemplos: = 0 + = 4.. = = = 0 = = 0 + =!3!4 Teoremas (i) Teoremas (ii). Elemento identidad + 0 = = Se puede demostrar por inducción perfecta o por conjuntos: Φ = ; U = 2. Elemento nulo + = 0 = 0 3. Idempotencia + = = En conjuntos: = ; = 4. Involución o doble complemento ( ) = Por inducción perfecta: si = 0, (0 ) = () = 0 = En conjuntos: U = U; Φ = Φ si =, ( ) = (0) = =!5!6

5 Teoremas (iii) Teoremas (iv) 5. Complementos + = = 0 Por inducción perfecta: = 0 + = 0 0 = 0. = 0 + = + 0 = =. 0 = 0 U = U; = Φ 6. Conmutatividad + y = y + y = y. 7. sociatividad + (y + z) = ( + y) + z (y z) = ( y) z!7!8 Teoremas (v) Teoremas (v) 8. Distributividad (y + z) = y + z + (y z) = ( + y) ( + z) 8. Distributividad (y + z) = y + z + (y z) = ( + y) ( + z) (y z) ( y) ( z) (y z) ( y) ( z) y y z y z z!9!20

6 Teoremas (vii) Teoremas (viii) 9. bsorción + y = ( + y) = Demostración: 0. Combinación y + y = ( + y) ( + y ) = Demostración: + y = + y ( + y) = ( + 0) ( + y) y + y = (y + y ) ( + y) ( + y ) = +(y y ) = ( + y) = + (0 y) = () = = +(0) = = = = + 0 =!2!22 Teoremas (i) Teoremas (). Consenso 2. y + z + y z = y + z ( + y) ( + z) (y + z) = ( + y) ( + z) Demostración: y + z + y z = y + z + y z ( + ) = y + z + y z + y z = y + z + y = + y ( + y) = y Demostración: + y = ( + ) ( + y) ( + y) = + y = () ( + y) = 0 + y = + y = y!23!24

7 Leyes de De Morgan Leyes de De Morgan ( y) = + y ( + y) = y ugustus de Morgan, matemático inglés (806-7). Encontró la epresión matemática para las leyes que llevan su nombre, aunque eran conocidas desde la Edad Media. Demostración: Si ( y) es el complemento de ( + y ) entonces debe cumplirse: ( y) ( + y ) = 0 y ( y) + ( + y ) = ( y) ( + y ) = y + y y = 0 y + 0 = 0 ( y) + ( + y ) = + y + y = + y + y =!25!26 Las leyes de De Morgan pueden etenderse a n variables: Ejemplo: Leyes de De Morgan ( 2 n ) = n ( n ) = 2 n [ + + (C D E)] = (C D E) = (C + D + E ) Teorema de De Morgan generalizado [F(, 2,, n, +, )] = F(, 2,, n,, +) Ejemplo: F(, y, z) = y + z ( + y) [F(, y, z)] = ( + y ) (z + y ) Hallar el complemento de + D ( + C + E ) {( ) + [ D ( + C + E )]} = ( + ) ( + D + C E)!27!28

8 Leyes de De Morgan Teoremas de Epansión de Shannon ( ) = + ( )' = ( )' ( + ) = Ejemplo: (+)' = (+)' [( + + C+ D) ( C) ( + C + D)] = [( + C+ D) ( + C + D)] + [( C) ( + C + D)]!29!30 nálisis de circuitos combinatorios Podemos hallar el valor de la salida para cada una de las combinaciones de variables de entrada: y z y z y z F Minimización de funciones Definiciones: Literal: una variable o su complemento. Ej.: y,, rs Término de producto: un literal simple o el producto de varios literales. Ej.: y,, w z Término de suma: un literal simple o la suma de varios literales. Ej.: y, +, w + + z Epresión de suma de productos: es la suma de varios términos de producto. Ej.: b + a c + b c d Epresión de producto de sumas: es el producto de varios términos de suma. Ej.: (a + b) (a + c) d!38!39

9 Minimización de funciones Minimización de funciones Una función lógica, en general, no tiene una epresión algebraica única. Varias epresiones (o circuitos) pueden producir la misma tabla de verdad y son equivalentes. y + z ( + y) = z + y = ( + z) ( + y) Nuestro objetivo es lograr una epresión con el menor número posible de literales y términos, a fin de reducir el costo del circuito necesario. Para ello podemos usar los teoremas conocidos. Simplificar F (,, C) = + C + C + C + C = + (C + C) (distributividad) = + (complementos) Simplificar F 2 (,, C) = ( + + C) ( + + C ) ( + + C) ( + + C ) = ( + ) + C C (distributividad) = + (complementos)!40!4 Minimización de funciones Minimización de funciones Simplificar F 3 (, y) = (+y) (+y ) ( +y) ( +y ) (+y) (+y ) ( +y) ( +y ) = ( + y + y + y y ) ( + y + y + y y ) (distributividad) = ( + y + y + y y ) ( + y + y + y y ) (idempotencia) = ( + y + y) ( + y + y) (complemento) = (absorción) = 0 (complemento) Simplificar F 4(,, C) = (+) (+ C )+ + C + C (+) (+ C )+ + C + C = + C + + C + + C + C (distributividad) = + C + + C (absorción) = + + C + C (teorema 2) = + + C + C (teorema 2) = + + C (teorema 2)!42!43

10 Minimización de funciones Suma de Productos Simplificar F 5 (,,C,D) = [(+C +D ) ( +C +D ) ( +C+D )] [(+C +D ) ( +C +D ) ( +C+D )] = (+C +D ) +( +C +D ) +( +C+D ) (de Morgan) = C D + C D + C D (de Morgan) = C D + C D (combinación) = D (C+ C ) (distributividad) = D.(C + ) (teorema 2) = D + C D (distributividad) Una suma de productos puede implementarse con compuertas ND cuyas salidas se unen en una compuerta OR. Se le llama lógica de dos niveles. (,,C,D) = '.D +.C' ' D C' ND ND OR!44!45 Suma de Productos Producto de Sumas Mediante el teorema de De Morgan puede representarse con un solo tipo de compuertas: ' D C' ' D C' ND ND NND NND OR NND ' D C' ND ND ' D C' NOT NOT NND NND NOT NOT ' = ' NND OR El producto de sumas puede implementarse con compuertas OR cuyas salidas se unen en una compuerta ND. Es otra forma de lógica de dos niveles. (,,C,D) = (+) (C+D ) C D' C D' ' = '!46!47