2. APLICAR A LAS SERIES PRUEBAS DE RAICES UNITARIAS 2 3. CALCULO DE VECTORES AUTOREGRESIVOS 6

Transcripción

1 MATERIAL DE APOYO/SERIES DE TIEMPO INDICE 1. GRAFICAR DATOS 1 2. APLICAR A LAS SERIES PRUEBAS DE RAICES UNITARIAS 2 3. CALCULO DE VECTORES AUTOREGRESIVOS 6 4. CORRECCIÓN DE LA VIOLACIÓN DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO LAS VARIABLES COINTEGRAN? PRUEBAS DE COINTEGRACIÓN APLICACIÓN DEL MODELO CORRECTOR DE ERRORES (MCE) MODELO GENERAL A LO ESPECÌFICO EL MODELO CORRECTOR DE ERRORES FINAL 38 BIBLIOGRAFIA 40

2 MODELO DE CORRECCIÓN DE ERRORES Y COINTEGRACIÓN EN E-VIEWS Este es un ejemplo de un mecanismo corrector de errores realizado en E-views. Para este caso, plantearemos un modelo de consumo, el cuál podemos expresar de la siguiente manera: cp = y + i Donde: cp= Consumo privado y= Ingreso real i= Inflación Nota: Las series están expresadas en el mismo año base (1993), tienen periodicidad trimestral y el periodo es de 1980:1 a 2005:4. Antes de modelar, transformaremos las series en logaritmos de y, i y cp por conveniencia. 10. GRAFICAR DATOS Lo primero que se debe reportar en un trabajo (después de la introducción, el índice y el marco teórico-histórico) son los gráficos de las series, tanto en niveles como en logaritmos, así como el significado de cada variable y el período tomado. Nota: Las transformaciones de las variables a logaritmos y los gráficos pueden hacerlas desde Excel. 1.4E+09 Consumo Privado 1.3E E E E E E E E CP Logaritmo del Consumo Privado LCP 1

3 2.0E+09 Ingreso 21.4 Logaritmo del Ingreso 1.8E E E E E E Y LY 4.0E+08 Inflación 19.8 Logaritmo de Inflación 3.5E E E E E E I LI Después de los gráficos, lo que se reporta son los resultados sintetizados de las pruebas de raíces unitarias. De preferencia, se realiza un cuadro personalizado como en el ejemplo (Cuadro 1 y Cuadro 2) el cual contenga la información más relevante. 11. APLICAR A LAS SERIES PRUEBAS DE RAICES UNITARIAS Tendrá que ser un cuadro por prueba (Dickey-Fuller Aumentada y Phillips-Perron) para cada variable (para este caso: lcp, li y ly): Cuadro 1. Dickey- Fuller 2

4 Variable Modelo t-statistic 5% Prob Constante lcp C y T None ly Constante C y T None Constante li C y T None Cuadro 2. Philips- Perron Variable Modelo t-statistic 5% Prob Constante lcp C y T None Constante ly C y T None Constante li C y T None Recuerde que para realizar las pruebas de raíces unitarias debe: 1) Seleccionar y abrir la ventana de la variable de nuestro workfile 2) Seleccionar de la barra de botones: View / Unit Root Test y realizar las pruebas de raíces unitarias. 3) Desplegará una ventana de diálogo, la cual mostrará las opciones para aplicar las pruebas. El primer campo tiene un combo de opciones de distintas pruebas en este ejercicio trabajaremos con la Dickey-Fuller Aumentada y la Phillips-Perron. Para la opción 3

5 de Lag Lenght utilizaremos el criterio que viene por default (Schwarz), con 12 rezagos. Para la prueba Dickey-Fuller los cálculos se presentan de la siguiente manera: (Ejemplo de la variable LCP) Modelos en niveles (levels): Cuadro 3. Constante (intercept) Null Hypothesis: LCP has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 9 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. a) Cuadro 4. Constante y tendencia (trend and intercept) Null Hypothesis: LCP has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 9 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. b) Cuadro 5. Sin constante y sin tendencia (none) Null Hypothesis: LCP has a unit root Exogenous: None Lag Length: 9 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. En primeras diferencias (1st difference): 4

6 c) Cuadro 6. Constante (intercept) Null Hypothesis: D(LCP) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 8 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. d) Cuadro 7. Constante y tendencia (trend and intercept) Null Hypothesis: D(LCP) has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 8 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. e) Cuadro 8. Sin constante y sin tendencia (none) Null Hypothesis: D(LCP) has a unit root Exogenous: None Lag Length: 8 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Este mismo proceso habrá que realizarlo para cada variable. Recordemos que la H 0 es que existe raíz unitaria en nuestra serie y H 1 es que la serie es estacionaria. Por tanto, para aprobar H 1 la probabilidad debe ser menor a 0.05 (5%) o en su defecto, en términos absolutos al valor crítico del 5% (si no pasa al 5% podemos flexibilizarnos al 10%). Para aprobar H 0, la probabilidad debe ser mayor a CALCULO DE VECTORES AUTOREGRESIVOS 5

7 El siguiente paso a seguir consiste en construir el modelo VAR. Es necesario reiterar que tenemos que las variables a utilizar deben ser de orden de integración 1, es decir I(1). La forma de demostrar el orden de integración, como lo vimos anteriormente, es a través de las pruebas de raíces unitarias. El VAR es un modelo que implica un sistema de ecuaciones. Todas las variables son endógenas en el sistema y son explicadas por los rezagos de las mismas, por tanto, es un modelo dinámico pero ateórico. Para especificar el VAR en el programa, es necesario seleccionar del menú principal: Quick/ Estimate VAR... Entonces, se abrirá la siguiente ventana de diálogo: En la opción Endogenous Variables pondremos las variables que queremos utilizar para estimar (lcp, ly y li). En la ventana siguiente (Lag Intervals for...) se declaran el número de rezagos que emplearemos en el modelo. Para esta primer etapa, dejaremos el número de rezagos que aparece por default. También para la opción 6

8 de la siguiente ventana (Exogenous Variables) se dejará la opción que aparece (c: constante), oprima el botón Aceptar. Antes de especificar el número de rezagos a emplear, utilizaremos los criterios de decisión para el número de rezagos óptimo propuesto por el programa. Para esto, requerimos de seleccionar View / Lag Structure / Lag Lenght Criteria... en la ventana abierta de la especificación del VAR. Se despliega una nueva ventana que pide el número de rezagos a incluir en los criterios. En un modelo con series trimestrales es recomendable colocar 8, para datos mensuales 16. Para este caso, pondremos 8. VAR Lag Order Selection Criteria Endogenous variables: LCP LY LI Exogenous variables: C Date: 10/16/07 Time: 10:52 Sample: 1980:1 2005:4 Included observations: 96 Lag LogL LR FPE AIC SC HQ NA 4.09E E E E E * * * 1.24E-10* * E E E * indicates lag order selected by the criterion LR: sequential modified LR test statistic (each test at 5% level) FPE: Final prediction error AIC: Akaike information criterion SC: Schwarz information criterion HQ: Hannan-Quinn information criterion Los asteriscos indican cuál es el número de rezagos óptimo para el modelo. La 7

9 mayoría de los criterios señalan que el número de rezagos óptimo son 5 (Sólo el SC muestra que 4 es el número óptimo). Importante: Cabe aclarar que el número de rezagos óptimo que arrojan los criterios, no necesariamente son del todo exactos, únicamente nos dan un punto de referencia, es decir, puede que el número de rezagos óptimo se encuentre entre 3 y 6 rezagos. En función a los resultados obtenidos, se reestimará el modelo con 5 rezagos. Vector Autoregression Estimates Date: 10/16/07 Time: 11:00 Sample(adjusted): 1981:2 2005:4 Included observations: 99 after adjusting endpoints Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ] LCP LY LI LCP(-1) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LCP(-2) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LCP(-3) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LCP(-4) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LCP(-5) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LY(-1) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LY(-2) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LY(-3) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 8

10 LY(-4) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LY(-5) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LI(-1) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LI(-2) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LI(-3) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LI(-4) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] LI(-5) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] C ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids S.E. equation F-statistic Log likelihood Akaike AIC Schwarz SC Mean dependent S.D. dependent Determinant Residual 7.93E-11 Covariance Log Likelihood (d.f. adjusted) Akaike Information Criteria Schwarz Criteria Donde las ecuaciones quedan de la siguiente manera: VAR Model - Substituted Coefficients: 9

11 =============================== LCP = *LCP(-1) *LCP(-2) *LCP(-3) *LCP(-4) *LCP(-5) *LY(-1) *LY(-2) *LY(-3) *LY(-4) *LY(-5) *LI(-1) *LI(-2) *LI(-3) *LI(-4) *LI(-5) LY = *LCP(-1) *LCP(-2) *LCP(-3) *LCP(-4) *LCP(-5) *LY(-1) *LY(-2) *LY(-3) *LY(-4) *LY(-5) *LI(-1) *LI(-2) *LI(-3) *LI(-4) *LI(-5) LI = *LCP(-1) *LCP(-2) *LCP(-3) *LCP(-4) *LCP(-5) *LY(-1) *LY(-2) *LY(-3) *LY(-4) *LY(-5) *LI(-1) *LI(-2) *LI(-3) *LI(-4) *LI(-5) No es fundamental reportar los resultados obtenidos por el modelo VAR, ya que los coeficientes no se pueden interpretar en relación con la teoría económica de fondo. La finalidad de presentarlo en este ejemplo es la de esclarecer los pasos a seguir en la metodología. A continuación se requiere aplicar las pruebas de diagnóstico a los errores del modelo. La primera prueba a realizar es una prueba de normalidad. En este caso, el programa maneja la prueba Jarque-Bera. La hipótesis nula (Ho) es que existe normalidad en el modelo. Obviamente, la hipótesis alternativa indica lo contrario. Para aceptar la hipótesis nula, es necesario que la probabilidad sea mayor a 0.05 (5%). Para aplicar la prueba en el programa, seleccionamos en la ventana del modelo la opción: View / Residual Test / Normality Test... 10

12 Se desplegará una ventana de diálogo que pedirá cual método de ortogonalización se desea aplicar la prueba. Para nuestros propósitos seleccionaremos la opción de Cholesky propuesta por Lütkepol. VAR Residual Normality Tests Orthogonalization: Cholesky (Lutkepohl) H0: residuals are multivariate normal Date: 10/16/07 Time: 11:08 Sample: 1980:1 2005:4 Included observations: 99 Component Skewness Chi-sq df Prob Joint Component Kurtosis Chi-sq df Prob Joint Component Jarque-Bera df Prob Joint En primera instancia, los primeros cuadros que reporta la prueba son las pruebas de Skewness (Simetría) y Kurtosis (Curtosis). La Jarque-Bera es una prueba que considera las otras dos, por tal motivo, la lectura de la prueba de normalidad se realiza en el último cuadro reportado. Los resultados remarcados en amarillo indica la probabilidad del estadístico de la prueba por ecuación. En la columna Component se hallan las ecuaciones del modelo. Para este ejemplo: 1 representa 11

13 la ecuación de lcp, 2 la ecuación de ly y 3 la de li. Joint es el resultado de la prueba en su conjunto, la cual está marcada en color verde. Como se puede observar en el cuadro anterior, el modelo en la prueba conjunta tiene problemas, ya que la probabilidad es menor a Para poder solucionar el problema, es necesario revisar las pruebas individuales ecuación por ecuación. En este modelo, encontramos que tenemos problemas en las ecuaciones 1 y 3 (cp e i respectivamente). El orden de 1 a 3 representa el orden con el que se introdujeron las variables. Antes de solucionar el problema de normalidad hay que realizar las otras pruebas. La siguiente prueba a realizar será para detectar problemas de Autocorrelación. Las pruebas que maneja el paquete E-views para la autocorrelación son la Portmanteu y la prueba LM. Sin embargo, la prueba Portmanteu sólo sirve para un número de rezagos extenso, por tal motivo, no la registraremos para este trabajo. La prueba a utilizar será la prueba LM (Lagrange Multiplier) para autocorrelación. Para realizarla en el programa hay que seleccionar View / Residual Test / Autocorrelation LM Test... de la ventana del modelo, se abre una ventana de diálogo que pide el número de rezagos a incluir, el cuál será el número de rezagos utilizados en el modelo (en este ejemplo 5). VAR Residual Serial Correlation LM Tests H0: no serial correlation at lag order h Date: 10/16/07 Time: 11:25 Sample: 1980:1 2005:4 Included observations: 99 Lags LM-Stat Prob

14 Probs from chi-square with 9 df. Para analizar el resultado de esta prueba habrá que leer la probabilidad del estadístico LM de los cinco rezagos. Importante: Recuerde que la hipótesis nula (Ho) es No Autocorrelación y H1 es Existe Autocorrelación, por tanto, la probabilidad para aceptar Ho deberá ser mayor a 0.05 ó a En este caso la probabilidad es , lo cual indica que no tenemos problemas de autocorrelación. A continuación, se aplicará una prueba para heteroscedasticidad: La prueba de White para términos no cruzados. Para realizar la prueba en el programa hay que seleccionar View / Residual Test / White Heteroskedasticity en la ventana del modelo. VAR Residual Heteroskedasticity Tests: No Cross Terms (only levels and squares) Date: 10/16/07 Time: 11:29 Sample: 1980:1 2005:4 Included observations: 99 Joint test: Chi-sq df Prob Individual components: Dependent R-squared F(30,68) Prob. Chi-sq(30) Prob. res1*res res2*res res3*res res2*res res3*res res3*res

15 Para este caso sólo se observa la probabilidad de la prueba conjunta (la cual está marcada con color verde en este ejemplo). Ho en esta prueba indica que la varianza de los errores es homoscedástica y H1 indica que la varianza es heteroscedástica. Por tanto, para aceptar Ho se requiere que la probabilidad sea mayor a 0.05 y en este caso no es así. Esto implica que tenemos problemas de heteroscedasticidad en el modelo. Encontramos, en síntesis, que el modelo presenta problemas de normalidad y de heteroscedasticidad. El problema de normalidad se podría arreglar con variables dummy, y el problema de heteroscedasticidad es posible corregirla mediante dos remedios utilizados frecuentemente: Uno de ellos es la transformación logarítmica de las variables y el otro en deflactar todas las variables por alguna medida de <<tamaño>>. Importante: - En dado caso que existan problemas de autocorrelación, la solución sería introduciendo rezagos al modelo. - Cuando agregamos variables dummy al modelo probablemente se corrija la normalidad de alguna de las ecuaciones. 4. CORRECCIÓN DE LA VIOLACIÓN DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO Primero, se intentará corregir la normalidad. Para ello deberá acudir al cuadro en donde se reporta la prueba, recordemos que los problemas se encuentran en las ecuaciones de lcp y li. 14

16 Para ello requeriremos ver el comportamiento de los errores en el tiempo de dicha ecuación y será a través de los gráficos de los errores al seleccionar la opción Resids ó View / Residuals / Graph de la ventana del modelo..06 LCP Residuals.06 LY Residuals LI Residuals Para generar los errores y tenerlos como series en nuestro workfile, se necesita seleccionar Procs / Make Residuals desde la ventana de nuestro VAR. Estos se abrirán en una ventana de grupo, la cual podemos cerrar porque se generaron como objetos series en el workfile. El nombre que recibirán los errores por default serán resid01, resid02 y resid03 los cuales representan los errores de las ecuaciones LCP, LY e LI, respectivamente. El orden depende de la manera en que hayamos colocado las variables en el VAR. 15

17 Importante: Para graficar los errores de manera independiente y copiarlos a WORD hay que seguir una serie de pasos: 1) Abrir el objeto serie del error o residual que deseamos graficar. 2) Seleccionar View / Graph / Line. 3) Una vez que el gráfico se encuentra en la ventana seleccionar Object / View Options / Save Metafile to disk... lo cual desplegará una nueva ventana de diálogo que pedirá una ubicación donde guardar el gráfico y con qué formato desea guardarlo. Habrá que dejar el formato que aparece por default y deshabilitar la opción Use color con el fin de guardar el gráfico en blanco y negro, lo cual nos dará un mejor manejo y mayor facilidad. Haga clic en el botón Aceptar para completar el proceso. Continuando con el análisis de los gráficos observe que en el primer gráfico, que corresponde a los errores de la ecuación LCP, podemos observar un pulso en el año 1995, pero como no sabemos exactamente en que trimestre se da este pulso 16

18 tenemos que acudir a la serie resid01 de nuestro workfile y encontrar en que trimestre del año 1995 se da esta situación RESID01 Para regresar a la serie después del gráfico, hay que seleccionar la opción SpreadSheet del menú de nuestra serie. 1994q q q q q q q q En esta serie observamos que el impulso se extiende en dos periodos, por tanto, lo recomendable es generar una variable dummy con dos números 1. En el periodo 1995Q1 y 1995Q2. Para crear una variable dummy en Eviews deberá escribir en la ventana de comando lo siguiente: genr d95=0, 17

19 Este proceso generará una serie de ceros en todos los periodos. Para poder agregar los números 1, tenemos que abrir la serie y seleccionar edit. Después buscaremos las fechas donde identificamos el impulso para sobrescribir sobre los número 0 los números 1. Por último, volvemos a seleccionar edit y cerramos la serie. Ahora nuestra variable dummy está fabricada. 1994Q Q Q Q Q Q Q Q Q Para revisar los efectos de esta dummy en nuestro modelo, seleccionar Estimate de la ventana de nuestro modelo VAR, y en la ventana que despliega donde ya habíamos trabajado anteriormente, agregamos la variable dummy en el campo Exogenous Variable a lado de la constante (atención: NO HAY QUE BORRAR LA CONSTANTE PARA INTRODUCIR LA VARIABLE DUMMY). Haga clic en el botón Aceptar y se realizará un nuevo modelo VAR con la variable D95 incluida en el sistema. Nota: No es necesario reportar la salida del VAR como ya lo he mencionado con anterioridad. 18

20 Para verificar si hubo alguna corrección en la normalidad de la ecuación LCP necesitamos aplicar la prueba de normalidad una vez más: Component Jarque-Bera df Prob Joint Observe que la normalidad de dicha ecuación mejoró. Ahora pasa la prueba, ya que la probabilidad es mayor a En caso de que la probabilidad de la normalidad de las otras ecuaciones fuera menor a 0.05 se debería generar otra dummy que sirva a nuestros fines. Sin embargo para nuestro caso no es necesario. Comparemos los gráficos anteriores, con los gráficos siguientes que incluye la dummy donde observamos que modificó el año

21 .06 LCP Residuals.04 LY Residuals LI Residuals Para efectos de completar las pruebas de diagnóstico, tenemos que realizar las pruebas restantes: Autocorrelación: VAR Residual Serial Correlation LM Tests H0: no serial correlation at lag order h Date: 10/31/07 Time: 13:37 Sample: 1980:1 2005:4 Included observations: 99 Lags LM-Stat Prob Probs from chi-square with 9 df. Heteroscedasticidad: 20

22 VAR Residual Heteroskedasticity Tests: No Cross Terms (only levels and squares) Date: 10/31/07 Time: 13:39 Sample: 1980:1 2005:4 Included observations: 99 Joint test: Chi-sq df Prob La prueba de autocorrelación nos muestra la aceptación de la hipótesis nula, puesto que es mayor a 0.05, mientras que la de heteroscedasticidad es menor a 0.05, tenemos ahora un VAR que no pasa todas las pruebas de diagnóstico. Sin embargo, lo mejor es buscar otro modelo que pase las pruebas para tener más opciones. Nota: Es necesario hacer hincapié en que las variables dummy que agreguemos a nuestro modelo tienen que estar justificadas históricamente. Es decir, se necesita expresar las posibles causas que provocaron que la serie rompiera su ritmo de desarrollo en el tiempo. Por ejemplo, la variable dummy del 95 puede ser justificada por la crisis del 95 en México la cual provocó cambios en el movimiento de la mayoría de las variables macroeconómicas. Ahora especificaré el modelo con 7 rezagos para ver los efectos en mis pruebas. Normalidad Component Jarque-Bera df Prob Joint Autocorrelación Lags LM-Stat Prob 21

23 Probs from chi-square with 9 df. Heteroscedasticidad Joint test: Chi-sq df Prob Este modelo reporta resultados más contundentes en las pruebas de diagnóstico. Nota: Este proceso se tiene que seguir con menos o más rezagos, para ver el comportamiento de los errores a través de las pruebas de diagnóstico, hasta tener más opciones y poder elegir el mejor de ellos. Hasta esta fase del desarrollo de nuestra metodología: Modelo Corrector de Errores, no podemos definir si es un buen modelo o no, ya que falta cumplir con otras condiciones antes de definir al mejor de todos. Mientras tanto, nos quedaremos con este modelo, esperando que cumpla con el resto de las condiciones. Si no es así, tendré que regresar a esta fase combinando otras dummy y reespecificando la cantidad de rezagos. 1. LAS VARIABLES COINTEGRAN? Para el caso de cointegración, nuestras variables deben de ser de orden de integración 1 ó 2, es decir: I (d). Siguiendo la metodología de Engel y Granger (1987). Como podemos observar, en el cuadro las pruebas de raíces unitarias 22

24 sintetizado. En este caso, se realizó la prueba Dickey-Fuller para las tres variables. Cuadro 9. Dickey- Fuller en primeras diferencias: Variable Modelo t-statistic 5% Prob Constante Lcp C y T None Constante Ly C y T None Constante li C y T None Podemos inferir, a partir de los resultados no pasa las pruebas en ninguno de los modelos en niveles. Sin embargo, pasa únicamente las pruebas en todos los modelos en primeras diferencias, por lo tanto LCP es I(1) (orden de integración 1). Además tenemos que comparar el resultado obtenido respecto al resultado obtenido por otra prueba (Phillips- Perron). Importante: 4) Se usará una tercera prueba (KPSS) para que el resultado obtenido permita la toma de una decisión de mayor contundencia. 5) Para la prueba KPSS, la Ho es que no existe raíz unitaria (la serie es estacionaria), por tanto, H1 es que existe raíz unitaria. Esto implica que el t-statistic tiene que ser menor en términos absolutos que el valor crítico al 5% (o al 10% en su defecto).( Entiendo que esta explicación se aplica en la prueba KPSS? Ó está hablando de los resultados del cuadro anterior? 6) La prueba KPSS, en este programa, no reporta la probabilidad. 23

25 2. PRUEBAS DE COINTEGRACIÓN Para habilitar la prueba de cointegración de Johansen, se requiere seleccionar en nuestra ventana del modelo View / Cointegration Test. Esto desplegará otra ventana de diálogo, la cuál me presenta 6 opciones: Las opciones que presenta son: Ecuación de Cointegración (CE) Vector Autorregresivo (VAR) Asume no tendencia determinística en los datos No Intercepto o tendencia CE No intercepto o tendencia Intercepto (no tendencia) en CE No intercepto en el VAR Permite tendencia determinística lineal en los datos Intercepto no tendencia CE Intercepto no tendencia Intercepto y tendencia en CE No tendencia en el VAR Permite tendencia determinística cuadrática en los datos Intercepto y tendencia en CE Tendencia lineal en el VAR Resumen Resumen de los 5 conjuntos de supuestos 24

26 Se aplicará en primer lugar la 6ª opción para tener una mayor certeza de cuál de las otras opciones será la más adecuada. Para poder aplicar todas las opciones, deberá especificar el número de rezagos del modelo (1 7) y deberá eliminar en la ventanilla de las variables exógenas la variable dummy (d95). Arrojará el siguiente resultado: Date: 10/31/07 Time: 14:07 Sample: 1980:1 2005:4 Included observations: 96 Series: LCP LY LI Lags interval: 1 to 7 Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig Log Likelihood by Rank (rows) and Model (columns) Akaike Information Criteria by Rank (rows) and Model (columns) * Schwarz Criteria by Rank (rows) and Model (columns) * *

27 Esta opción me permite observar, de manera general si alguna de las opciones anteriores presenta vectores de cointegración al 5%. En esta tabla se puede ver claramente que si existen vectores de cointegración en alguna de las opciones. Para facilitar la búsqueda del modelo, se recomienda realizar la prueba de cointegración con varios rezagos, comenzando con un rezago y utilizando la 6ª opción. 1 rezago Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig rezagos Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig rezagos Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig rezagos Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig

28 5 rezagos Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig rezagos Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig rezagos Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig Concluimos a través de las tablas presentadas el modelo presenta cointegración según las pruebas. Para el modelo con 7 rezagos tenemos que pasa las pruebas de normalidad, autocorrelación y heteroscedasticidad sin problemas (al 5%). Por tanto, es un modelo que, de antemano, sabemos que pasa la prueba de cointegración: 2ª OPCIÓN Date: 10/17/07 Time: 12:14 Sample(adjusted): 1982:1 2005:4 Included observations: 96 after adjusting endpoints Trend assumption: No deterministic trend (restricted constant) Series: LCP LY LI Lags interval (in first differences): 1 to 7 Unrestricted Cointegration Rank Test 27

29 Hypothesized Trace 5 Percent 1 Percent No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Critical Value None ** At most At most *(**) denotes rejection of the hypothesis at the 5%(1%) level Trace test indicates 1 cointegrating equation(s) at both 5% and 1% levels Hypothesized Max-Eigen 5 Percent 1 Percent No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Critical Value None ** At most At most *(**) denotes rejection of the hypothesis at the 5%(1%) level Max-eigenvalue test indicates 1 cointegrating equation(s) at both 5% and 1% levels Unrestricted Cointegrating Coefficients (normalized by b'*s11*b=i): LCP LY LI C Unrestricted Adjustment Coefficients (alpha): D(LCP) D(LY) E-05 D(LI) Cointegrating Equation(s): Log likelihood Normalized cointegrating coefficients (std.err. in parentheses) LCP LY LI C ( ) ( ) ( ) Adjustment coefficients (std.err. in parentheses) D(LCP) ( ) D(LY) ( ) D(LI) ( ) 28

30 2 Cointegrating Equation(s): Log likelihood Normalized cointegrating coefficients (std.err. in parentheses) LCP LY LI C ( ) ( ) ( ) ( ) Adjustment coefficients (std.err. in parentheses) D(LCP) ( ) ( ) D(LY) ( ) ( ) D(LI) ( ) ( ) Podemos observar a través del cuadro que existe un vector de cointegración al 5%. Sin embargo, aún falta comprobar que los signos de dicho vector son los que esperamos según la teoría. En el mismo reporte, debajo de la información obtenida, tenemos a los coeficientes normalizados de cointegración, los cuáles nos darán los valores del vector de cointegración, que es información de largo plazo: LCP LY LI C Tenemos que esto está realmente expresado de la siguiente manera: LCP * LY * LI = 0 Lo cual, después de despejar, obtenemos los verdaderos signos: LCP = * LY * LI

31 Los signos del vector son los esperados según la teoría. El ingreso y la inflación tienen un impacto positivo sobre el consumo. Sin embargo, la variable que tiene una mayor influencia sobre el consumo es el ingreso Encontramos que entre las variables existe una relación de largo plazo esperada. Es decir, el comportamiento de las variables es similar a lo largo del tiempo. 7. APLICACIÓN DEL MODELO CORRECTOR DE ERRORES (MCE). A continuación, representaremos el modelo corrector de errores. Para ello se requiere que las variables sean estacionarias. Como las variables utilizadas son de orden de integración 1, para que sean estacionarias, es necesario aplicarles primeras diferencias. Para aplicarles las primeras diferencias a las variables, tenemos que aplicar la siguiente orden en la ventana de comandos: Genr dlcp = d(lcp) Genr dly = d(ly) Genr dli = d(li) Estas nuevas variables aparecerán en el workfile. 30

32 Con estas variables generaremos un nuevo modelo lineal simple, el número de rezagos para este modelo no depende del modelo VAR hecho con anterioridad. Es decir, este es un modelo independiente. Para este modelo podríamos utilizar nuevos componentes (variables dummy, tendencia, componentes estacionales, etc.). Por tanto, este modelo lo especificaré con cinco rezagos. Para el mecanismo corrector de errores (MCE) es necesario introducir el vector de cointegración obtenido con un rezago. Para poder introducir el vector en el modelo es necesario crear una variable que llamaré V, la cual contendrá al vector. La variable se genera de la siguiente manera. En la barra de comandos escribiremos: Genr v = lcp * ly * li Una vez generado el vector, lo introducimos en el modelo especificado. Quedaría de la siguiente manera: ls dlcp dlcp(-1) dlcp(-2) dlcp(-3) dlcp(-4) dlcp(-5) dly dly(-1) dly(-2) dly(-3) dly(-4) dly(-5) dli dli(-1) dli(-2) dli(-3) dli(-4) dli(-5) v(-1) Dependent Variable: DLCP Method: Least Squares Date: 10/17/07 Time: 12:38 Sample(adjusted): 1981:3 2005:4 Included observations: 98 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DLCP(-1) DLCP(-2) DLCP(-3) DLCP(-4) DLCP(-5) DLY DLY(-1) DLY(-2) DLY(-3) DLY(-4) DLY(-5)

33 DLI DLI(-1) DLI(-2) DLI(-3) DLI(-4) DLI(-5) V(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat MODELO GENERAL A LO ESPECÍFICO Lo que esperamos de este modelo es que el mecanismo corrector de errores, implica que nuestra variable v (la que incluye el vector) sea significativa (su probabilidad sea menor a 0.05) y el valor de su coeficiente sea negativo y menor que la unidad. El proceso es ir eliminando de la variable menos significativa a la más significativa hasta que se cumpla lo anterior, excepto el vector (v(-1)). También el modelo debe de aprobar las pruebas de diagnóstico (normalidad, autocorrelación y heteroscedasticidad). Para este caso la variable menos significativa es la que se encuentra en color verde agua (ecuación anterior). La variable, entonces, a eliminar sería el quinto rezago de dly. Entonces el modelo quedaría ahora: Ls dlcp dlcp(-1) dlcp(-2) dlcp(-3) dlcp(-4) dlcp(-5) dly dly(-1) dly(-2) dly(-3) dly(-4) dp dp(-1) dp(-2) dp(-3) dp(-4) dp(-5) vc(-1) Dependent Variable: DLCP Method: Least Squares Date: 10/18/07 Time: 08:39 Sample(adjusted): 1981:3 2005:4 Included observations: 98 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. 32

34 DLCP(-1) DLCP(-2) DLCP(-3) DLCP(-4) DLCP(-5) DLY DLY(-1) DLY(-2) DLY(-3) DLY(-4) DLI DLI(-1) DLI(-2) DLI(-3) DLI(-4) DLI(-5) V(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Como podemos observar, la variable v(-1) sigue siendo no significativa y su coeficiente mayor a cero. Por lo tanto, se tienen que eliminar las variables que no sean significativas en el sistema. Continuamos este proceso hasta que todas las variables sean significativas (o por lo menos la mayoría) asimismo el coeficiente v(-1) sea mayor a -1 y menor a 0. Dependent Variable: DLCP Method: Least Squares Date: 10/18/07 Time: 09:12 Sample(adjusted): 1981:2 2005:4 Included observations: 99 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DLCP(-1) DLCP(-2) DLCP(-3) DLCP(-4) DLY DLY(-2) DLY(-4) DLI DLI(-1) V(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion

35 Log likelihood Durbin-Watson stat La continuación del proceso condujo a este último modelo, el cuál presenta únicamente que la variable v(-1) es significativa al 5%, puesto que es menor a 0.05 (es más, se aproxima demasiado a ser menor a 0.05), asimismo las demás variables son significativas. Este cuadro si se tendrá que reportar, ya que expresa que existe cointegración en nuestras variables. A continuación aplicaremos las pruebas de diagnóstico al modelo: Normalidad: Series: Residuals Sample 1981:2 2005:4 Observations 99 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Autocorrelación: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Heteroscedasticidad: White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Como podemos observar en las pruebas, la prueba de normalidad pasa sin problemas al 5%, la prueba de heteroscedasticidad también pasa sin problemas. 34

36 En el caso de la prueba de autocorrelación, la prueba pasa también aunque no tan holgadamente como en los otros dos casos. Para esta prueba la probabilidad es mayor a 0.01 y es aceptable el resultado. Podemos concluir que lo que tenemos aquí es un buen modelo que va acorde a la teoría y entrega buenos resultados. Por ultimo, quiero hacer una síntesis de lo que tiene que estar reportado en el trabajo dentro del contexto técnico: Dfuller 1. Las variables a utilizar en el modelo, su periodicidad, su interpretación y su gráfico correspondiente, así como un pequeño análisis del comportamiento dinámico de la variable. También debemos incluir las variable dummy creadas. 2. Las pruebas de raíces unitarias: Dickey-Fuller aumentada y Phillips-Perron (en dado caso de una contradicción entre las pruebas se utilizará la prueba KPSS). Los resultados obtenidos a través de las pruebas se reportará en un cuadro que sintetice la información (como ya lo he indicado anteriormente) para cada prueba y cada una de las variables: Variable Modelo t-statistic 5% Prob Constante lcp C y T None Constante ly C y T None Constante li C y T 35

37 None 3. Los criterios para el número de rezagos óptimo: VAR Lag Order Selection Criteria Endogenous variables: LCP LY LI Exogenous variables: C Date: 10/16/07 Time: 10:52 Sample: 1980:1 2005:4 Included observations: 96 Lag LogL LR FPE AIC SC HQ NA 4.09E E E E E * * * 1.24E-10* * E E E * indicates lag order selected by the criterion LR: sequential modified LR test statistic (each test at 5% level) FPE: Final prediction error AIC: Akaike information criterion SC: Schwarz information criterion HQ: Hannan-Quinn information criterion VAR Lag Order Selection Criteria Endogenous variables: LCP LY P Exogenous variables: C Sample: 1980Q1 2005Q4 Included observations: 96 Lag LogL LR FPE AIC SC HQ NA e e e e * * 1.35e-07* * * e e e El modelo VAR final, es decir, el modelo con el cual nos quedamos al final. En este punto colocaremos también los gráficos de los errores que justifican 36

38 la introducción de las variables dummy utilizadas en el modelo, así como la justificación teórica-histórica. 5. Las pruebas de diagnóstico o de los residuales en un cuadro resumen para el modelo VAR final. 6. La prueba de cointegración de Johansen. Se presentara la séptima opción que elegimos. Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Cointegrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig Date: 10/17/07 Time: 12:14 Sample(adjusted): 1982:1 2005:4 Included observations: 96 after adjusting endpoints Trend assumption: No deterministic trend (restricted constant) Series: LCP LY LI Lags interval (in first differences): 1 to 7 Unrestricted Cointegration Rank Test Hypothesized Trace 5 Percent 1 Percent No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Critical Value None ** At most At most *(**) denotes rejection of the hypothesis at the 5%(1%) level Trace test indicates 1 cointegrating equation(s) at both 5% and 1% levels Hypothesized Max-Eigen 5 Percent 1 Percent No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Critical Value None ** At most At most *(**) denotes rejection of the hypothesis at the 5%(1%) level 37

39 Max-eigenvalue test indicates 1 cointegrating equation(s) at both 5% and 1% levels 7. El vector normalizado que arroja la prueba de cointegración LCP LY LI C ( ) ( ) ( ) LCP = * LY * LI El modelo corrector de errores final Dependent Variable: DLCP Method: Least Squares Date: 10/18/07 Time: 09:12 Sample(adjusted): 1981:2 2005:4 Included observations: 99 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DLCP(-1) DLCP(-2) DLCP(-3) DLCP(-4) DLY DLY(-2) DLY(-4) DLI DLI(-1) V(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Las pruebas de diagnostico realizadas al modelo corrector PRUEBA SUPUESTO ESTADISTICO PROBABILIDAD JARQUE-BERA NORMALIDAD LM TEST NO AUTOCORRELACIÓN WHITE (NCT) HOMOSCEDASTICIDAD

40 NOTA: Se deben incluir el sistema de ecuaciones del modelo VAR y el modelo corrector en su forma de ecuaciones. El reporte final puede estar incluido dentro del trabajo conforme el análisis va desarrollándose o en un apéndice al final del trabajo, sin embargo en la segunda opción el análisis deberá estar incluido en el desarrollo del trabajo y no al final junto con el apéndice, además deberán señalarse en el desarrollo del trabajo a manera de nota la referencia a cada cuadro o gráfico del apéndice. Bibliografía: Maddala G.S., Econometría, Ed. McGraw Hill, ed.1985, pp.271 Engel R.F y Granger, CWJ Co-integration and error correction: representation, estimation and testing, Ed. ed. 1987, pp