TRABAJO Y ENERGIA. 5.1 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE.

Transcripción

1 TRABAJO Y ENERGIA. El poblema undamental de la Mecánca es descb como se moveán los cuepos s se conocen las uezas aplcadas sobe él. La oma de hacelo es aplcando la segunda Ley de Newton, peo s la ueza no es constante, es dec la aceleacón no es constante, no es ácl detemna la velocdad del cuepo n tampoco su poscón, po lo que no se estaía esolvendo el poblema. Los conceptos de tabajo y enegía se undamentan en las Leyes de Newton, po lo que no se equee nngún pncpo ísco nuevo. Con el uso de estas dos magntudes íscas, se tene un método altenatvo paa descb el movmento, espacalmente útl cuando la ueza no es constante, ya que en estas condcones la aceleacón no es constante y no se pueden usa las ecuacones de la cnemátca anteomente estudadas. En este caso se debe usa el poceso matemátco de ntegacón paa esolve la segunda Ley de Newton. Ejemplos de uezas vaables son aquellas que vaían con la poscón, comunes en la natualeza, como la ueza gavtaconal o las uezas elástcas. 5. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE. S la ueza F que actúa sobe una patícula es constante (en magntud y deccón) el movmento se ealza en línea ecta en la deccón de la ueza. S la patícula se desplaza una dstanca x po eecto de la ueza F (gua 5.), entonces se dce que la ueza ha ealzado tabajo W sobe la patícula de masa m, que en este caso patcula se dene como: W F x Fgua 5. Fueza hozontal constante que ealza un desplazamento x.

2 S la ueza constante no actúa en la deccón del movmento, el tabajo que se ealza es debdo a la componente x de la ueza en la deccón paalela al movmento, como se ve en la gua 5.a. La componente y de la ueza, pependcula al desplazamento, no ealza tabajo sobe el cuepo. Fgua 5.a Fueza constante que oma un ángulo α con el desplazamento x. S α es el ángulo meddo desde el desplazamento x haca la ueza F, el valo del tabajo W es ahoa: W ( F cosα) x De acuedo a la ecuacón anteo, se pueden obtene los sguentes conclusones: a) s α 0º, es dec, s la ueza, como en la gua 5., o una componente de la ueza, es paalela al movmento, W (F cos 0) x F x; b) s α 90º, es dec, s la ueza o una componente de la ueza es pependcula al movmento, W (F cos90) x 0, no se ealza tabajo; c) s la ueza aplcada sobe el cuepo no lo mueve, no ealza tabajo ya que el desplazamento es ceo; d) s 0 < α < 90º, es dec, s la ueza tene una componente en la msma deccón del desplazamento, el tabajo es postvo; e) s 90º < α < 80º, es dec, s la ueza tene una componente opuesta a la deccón del desplazamento, el tabajo es negatvo. De estas conclusones se deduce que el tabajo, paa una ueza constante, se puede expesa de la sguente oma:

3 W F El tabajo es una magntud ísca escala, obtendo del poducto escala de los vectoes ueza y poscón. De la expesón anteo, po la dencón de poducto escala, queda clao que el tabajo puede se postvo, negatvo o ceo. Su undad de medda en el SI es N m que se llama Joule, símbolo J. Otas uezas actúan sobe el cuepo de masa m (peso, oce, nomal, etc.), po lo que la ecuacón anteo se eee sólo al tabajo de la ueza F en patcula; las otas uezas tambén pueden ealza tabajo. En la gua 5. las uezas peso y nomal no ealzan tabajo ya que son pependculaes al desplazamento y la ueza de oce ealza tabajo negatvo, ya que sempe se opone al desplazamento. El tabajo total sobe la patícula es la suma escala de los tabajos ealzados po cada una de las uezas. Ejemplo 5.: Con una ueza de 50 N que oma un ángulo de 60º con la hozontal se empuja una caja de 50 kg, en una supece áspea hozontal (gua 5.a). La caja se mueve una dstanca de 5m con apdez constante. Calcula: a) el tabajo ealzado po cada ueza, b) el coecente de oce. Solucón: Las uezas que actúan sobe la caja son F, nomal, oce y peso, el dagama de cuepo lbe se muesta en la gua 5.b. Fgua 5.b. Ejemplo 5. a) La dencón de tabajo es W F, que se aplca a cada ueza

4 Paa F: W F (F cosα) x 50 (cos60) 5 65 J Paa N: W N (N cos90) x 0 Paa mg: W P (mg cos70) x 0 Paa F R : W R (F R cos80) x, Como no se conoce el valo de la ueza de oce, se debe calcula, del DCL y aplcando la pmea ley de Newton, ya que la caja se mueve con apdez constante, se obtene: Eje x: F cosα - F R 0 () Eje y: F senα + N - mg 0 () De () F R F cosα 50 cos60 5 N, eemplazando en el tabajo, W R 5 cos J b) Po dencón, F R µ N, despejando N de () se tene N mg - F senα, entonces: F R µ ( mg Fsenα ) µ F R mg Fsenα µ sen TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE. S una ueza vaable F está movendo a un objeto a lo lago del eje x desde una poscón ncal a ota nal, ya no se puede usa la expesón anteo paa calcula el tabajo ealzado po la ueza. En este caso se puede hace que el

5 cuepo expemente pequeños desplazamentos dx, entonces la componente F x de la ueza en la deccón del desplazamento se puede consdea apoxmadamente constante en ese ntevalo dx y se puede calcula un tabajo dw en ese pequeño desplazamento como: dw F x dx S se calcula el tabajo total en el desplazamento desde la poscón ncal a la nal, este es gual a la suma de todos los pequeños tabajos dw, esto es: W dw W x x Fxdx Matemátcamente, el valo de la ntegal es numécamente gual al áea bajo la cuva de F x vesus x (gua 5.3). S actúan más de una ueza sobe el cuepo, el tabajo esultante es el ealzado po la componente de la ueza esultante en deccón del desplazamento, entonces en témnos del poducto escala en tes dmensones, el tabajo total es: W TOTAL F d (5.) Fgua 5.3

6 Ejemplo 5.: Calcula tabajo ealzado po un esote. Un sstema ísco común en el que la ueza vaía con la poscón, es el de un cuepo conectado a un esote. S el esote, oentado en deccón del eje x, se deoma desde su conguacón ncal, es dec se esta o se compme, po eecto de alguna ueza extena sobe el esote, nstantáneamente actúa una ueza F poducda po el esote conta el objeto que ejece la ueza extena, cuya magntud es: F - k x donde x es la magntud del desplazamento del esote desde su poscón no deomada en x 0 y k una constante postva, llamada constante de ueza del esote, que es una medda de la gdez (dueza) del esote. Esta ecuacón se llama Ley de Hooke, y es válda paa pequeños desplazamentos, ya que s el esote se esta demasado, puede deomase y no ecupea su oma ognal. El sgno negatvo ndca que la deccón de esta ueza es sempe opuesta al desplazamento, como se lusta en la gua 5.4, donde F epesenta la ueza poducda po el esote. Fgua

7 S el cuepo se desplaza desde una poscón ncal a la nal, el tabajo ealzado po el esote es: W x x ( kx) dx kx kx Po ejemplo, paa un esote de k 00 N/m, que se esta 0 cm ( x ), el tabajo que ealza la ueza del esote paa ecupea su poscón ncal no deomada (x 0) es 0.5 J. 5.3 ENERGÍA CINÉTICA. Cuando se hace tabajo conta el oce, se obseva que en la supece de los cuepos en contacto se poduce un aumento de tempeatua. Es poque se ha poducdo una tansomacón desde movmento a calo, es dec que se ha poducdo una tanseenca de enegía de movmento a enegía calóca. En otas tansomacones se poduce enegía en oma de luz, sondo, eléctca, nuclea, etc. En las tansomacones se mden cambos de enegía cuando se ealza tabajo, apaecen las uezas que ealzan tabajo, po lo tanto el tabajo es una medda de las tanseencas de enegía. El concepto de enegía se puede genealza paa nclu dstntas omas de enegía conocdas como cnétca, potencal, calóca, electomagnétca, etc. De esta oma, la mecánca de los cuepos en movmento se elacona con otos enómenos natuales que no son mecáncos po ntemedo del concepto de enegía. El concepto de enegía nvade toda la cenca y es una de las deas uncadoas de la Físca. Cuando una ueza actúa sobe un cuepo, le poduce una aceleacón duante su desplazamento. El tabajo ealzado po la ueza paa move al cuepo es: W TOTAL F d Po la segunda Ley de Newton se tene:

8 dv dv d F ma m m mv dv, dt d dt d eemplazando en el tabajo total, se obtene: W TOTAL dv mv d m d v v 0 vdv mv mv 0 La cantdad ½mv, se llama enegía cnétca, E c, es enegía que se obtene po el movmento, es sempe postva poque la apdez está al cuadado. Ec mv (5.) Po lo tanto, el tabajo ealzado po la ueza esultante sobe una patícula es gual al cambo de enegía cnétca, enuncado que se conoce como el Teoema del Tabajo y la Enegía. Cuando la apdez es constante, no hay vaacón de enegía cnétca y el tabajo de la ueza neta es ceo. La undad de medda de la enegía cnétca es el Joule, J. 5.4 POTENCIA. Paa nes páctcos nteesa tambén conoce la apdez con la cual se ealza tabajo. Esta nomacón la entega la potenca, que se dene como la apdez de tanseenca de enegía. S se aplca una ueza extena a un cuepo y se ealza tabajo dw en un ntevalo de tempo dt, la potenca nstantánea P (cudado de no conund con el peso de un cuepo) se dene como:

9 dw P dt La undad de medda de la potenca en el SI es J/s, que se llama Watt, símbolo W (cudado de no conund con el tabajo). Como dw F d, se puede escb la potenca como: F d P F v (5.3) dt Se puede den una nueva undad de enegía en témnos de la undad de potenca, llamada klowatt-hoa. Un klowatt-hoa (kwh) es la enegía utlzada duante una hoa con una potenca constante de kw. El valo de un kwh es: kwh 000 W 3600 s 3.6 x 0 6 J. El kwh es undad de enegía, no de potenca. Po ejemplo, paa encende una ampolleta de 00 W de potenca se equeen entegale 3.6 x 0 5 J de enegía duante una hoa, equvalente a 0. kwh. Notemos que esta es una undad de medda que nos ndca que la enegía es una magntud ísca que, aunque abstacta, tene valo comecal, se puede vende y compa, ya que po ejemplo, todos los meses pagamos po una detemnada cantdad de klowatt-hoa o enegía eléctca paa nuestos hogaes, en cambo no se pueden compa 50km/h de apdez, peo s compamos enegía en oma de gasolna paa hace que un vehículo pueda movese. Ejemplo 5.3: Un mueble de 40 kg que se encuenta ncalmente el eposo, se empuja con una ueza de 30 N, desplazándolo en línea ecta una dstanca de 5 m a lo lago de un pso hozontal de coecente de oce 0.3 (gua 5.). Calcula: a) el tabajo de la ueza aplcada, b) el tabajo del oce, c) la vaacón de enegía cnétca, d) la apdez nal del mueble, e) la potenca nal de la ueza aplcada.

10 Solucón: El dagama de cuepo lbe paa el mueble de masa m de la gua 5. se muesta en la gua 5.5. a) W F F cos 0º x Fx W F (30N)(5m) 650J b) F R µ N µ mg WR FR FR (cos80) x µ mgx W R J Fgua 5.5 Poblema 5.3 c) W Total E c W F +W N +W R +W P E c, peo W N W P 0, ya que las uezas nomal y peso son pependculaes al desplazamento, entonces: E c W F +W R J d) Paa calcula la apdez nal, usamos el esultado anteo E C 0 mv mv mv v E m C v E m C. 6 m s e) Usando la dencón de potenca: P P F v F cos 0º v Fv ( watt)