Sucesiones de Números Reales

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1 Apédice A Sucesioes de Números Reles A.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u correspodeci A que soci, cd úmero turl, u úmero rel A ( ) El cojuto de los úmeros turles, cotiee ifiitos elemetos e u cierto orde, por lo que medite est correspodeci oteemos cojutos ordedos de ifiitos úmeros reles. { } A( ),,, A los úmeros turles que idic l posició de cd elemeto, se les llm ídices y los úmeros reles, térmios de l sucesió. A l expresió que os idic el vlor de cd térmio e fució de su ídice se le llm térmio geerl. Ejemplo: Clculmos los primeros térmios de l sucesió de térmio geerl Los tres primeros térmios será:

2 2 3 3 ; ; E lgus sucesioes los térmios se cerc pultimete u cierto úmero rel, del que lleg estr t próximos como se quier. Dicho úmero, que defiiremos cotiució, recie el omre de límite de l sucesió. A.2. Límite de u sucesió. Sucesioes covergetes U sucesió de úmeros reles { } tiee por límite el úmero rel, cudo pr todo úmero rel positivo ε existe u úmero turl, tl que pr todo m se verific que < ε. Escriiremos m ε > / < ε m Diremos tmié que l sucesió tiede hci. No import que hy térmios myores o meores que el límite, lo que dee ocurrir es que prtir de u ídice m ls diferecis etre los térmios sucesivos y el límite se meores que culquier vlor previmete fijdo ε. U propiedd importte que se deduce de l defiició que cmos de dr es l siguiete: si u sucesió tiee límite este es úico. A ls sucesioes co límite se les llm covergetes. Ejemplo: Compromos que tiee límite l sucesió de térmio geerl Efectivmete + m + m + m m m m < ε m > m ε Pr que se cumpl l codició de límite st tomr >. ε m

3 3 L sucesió de úmeros reles ( ) tiee límite ifiito si pr culquier vlor que fijemos A se puede coseguir que todos los térmios prtir de uo ddo se myores que A, si más que dr vlores t grdes como se ecesrio. Escriiremos A> / > A m Diremos tmié que l sucesió tiede ifiito. A.3. Sucesioes moótos y cotds A.3.. Sucesioes moótos. U sucesió { } es moóto creciete cudo cd térmio es myor o igul que el terior, es decir + m De l mism form, u sucesió será moóto decreciete cudo cd térmio es meor o igul que el terior, es decir + U sucesió { } es estrictmete creciete si es moóto creciete y todos sus térmios so distitos, es decir < + Es estrictmete decreciete cudo es moóto decreciete y todos sus térmios so distitos, es decir > + A.3.2. Sucesioes cotds. U sucesió { } está cotd superiormete si todos los térmios so meores o igules que u úmero rel k, es decir k

4 4 A k se le llm cot superior de l sucesió. Culquier úmero rel myor que k es tmié cot superior de l sucesió. U sucesió { } está cotd iferiormete si todos los térmios so myores o igules que u úmero rel h, es decir h A h se le llm cot iferior de l sucesió. Culquier úmero rel meor que h es tmié cot iferior de l sucesió. Se dice que u sucesió está cotd si tiee cot superior e iferior. Ejemplos: ) Sucesió moóto creciete: 2 + ) Sucesió moóto decreciete: { },,,... + c) Sucesió cotd superiormete { }, ,, { }, 5, 9,... L sucesió está cotd superiormete pues es u cot superior. d) Sucesió cotd iferiormete 2 { } 2, 4, 6,... L sucesió está cotd iferiormete pues 2 es u cot iferior. A.3.3. U sucesió moóto y cotd: el úmero e. U ejemplo de prticulr iterés lo costituye l sucesió de térmio geerl

5 5 Sus primeros térmios so + 9 2,, 4 64, , , 325 Est sucesió es estrictmete creciete y está cotd superiormete. Tiee como límite u úmero irrciol, coocido como e, cuys primers cifrs so e El úmero e es l se de los logritmos eperios. A.4. Opercioes co límites. Cálculo de límites A.4.. Opercioes. Si y so dos sucesioes que tiee límite fiito ; se verific que: ) El límite de l sum es l sum de los límites: ( + ) + ) El límite de l sucesió opuest es el opuesto del límite de l sucesió: ( ) c) El límite de l difereci es l difereci de los límites: ( ) d) Producto por k: El límite de k es el producto de k por el límite de : ( k ) k

6 6 e) El límite del producto es el producto de los límites: ( ) f) El límite de l ivers es el iverso del límite (siempre que éste o se ulo):, g) El límite del cociete es el cociete de los límites (siempre que el del deomidor o se ulo):, h) El límite de l poteci de expoete es l poteci del límite, siempre que éste se positivo: ( ), > i) El límite del vlor soluto es el vlor soluto del límite Ejemplo: Hllr el siedo que 2 + y Clculmos primero los límites de y Como y 7, plicdo ls propieddes de los límites, se tiee que. 7

7 7 A.4.2. Idetermicioes. E el clculo de ites de sucesioes so frecuetes ls idetermicioes, es decir que l expresió tome u form idetermid de uo de los tipos siguietes. Form de ctur e lguos csos prticulres: ) Cociete de poliomios: Suele dr lugr u idetermició del tipo. E este cso l idetermició desprece dividiedo umerdor y deomidor por l poteci máxim de que hy e el deomidor. ) Rdicles: L difereci de rdicles puede dr lugr u idetermició del tipo. E este cso, pr resolverl hy que multiplicr y dividir por l expresió rdicl cojugd. A.5. Progresió ritmétic y geométric A.5.. Progresió ritmétic. U progresió ritmétic es u sucesió de úmeros reles e l que cd térmio se otiee sumdo u úmero fijo l terior. A dicho úmero se le llm difereci de l progresió ritmétic y se desig co l letr d. Pr clculr u térmio culquier de l progresió ritmétic utilizmos el térmio geerl + ( ) d y sustituyedo por el ídice del térmio que queremos determir oteemos el vlor de ese térmio. L rest de dos térmios de u mism progresió ritmétic es igul l rest de sus ídices multiplicdo por l difereci d. Por l tto coociedo dos térmios de u progresió ritmétic coocemos tmié l difereci d. q d q p p

8 8 L sum de los k primeros térmios de u progresió ritmétic coicide co el producto del úmero k de térmios por l semisum del primero y el último. ( + k ) Sk k 2 Ejemplo: Ls eddes de 6 hermos form u progresió ritmétic de difereci 2 ños. Si el meor de ellos tiee u ño, clculr l sum de sus eddes. L edd del myor será y l sum de ls eddes de los seis A.5.2. Progresió geométric. 6 + (6 )2 ( + ) ( + ) 6 S U progresió geométric es u sucesió de úmeros reles e l que cd térmio se otiee multiplicdo por u úmero fijo l terior. A dicho úmero se le llm rzó y se desig por l letr r. El termio geerl de u progresió geométric es r y su rzó ddos dos térmios coocidos de l progresió será: r q p q p Ejemplo: Cosideremos l siguiete situció: Los ciclists A y B se prepr pr u competició. El ciclist A comiez co metros, y todos los dís greg metros más, e tto que el B empiez co metros y cd dí duplic lo hecho el dí terior. Cuátos metros recorre cd uo el décimo dí?

9 9 El ciclist A umet el recorrido segú u progresió ritmétic, es decir + ( ) d + ( ) E cmio el B umet su recorrido segú u progresió geométric, por lo tto r 2 52 L sum de los k primeros térmios de u progresió geométric se clcul medite l formul siguiete: S k k r r y rzó de l progresió geométric. k so los térmios primero y último, respectivmete, y r es l Si lo que queremos es determir el límite de l sum de los térmios de u progresió geométric decreciete ( < r < ) cudo el úmero de térmios tiede ifiito estudimos r S r Teiedo e cuet l expresió de y que que < r <, result r y por tto el límite de S ps ser S r r

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