Segunda definición.- Se llama sucesión de números reales a una aplicación del conjunto N* = N {0} en el conjunto de los números reales

Transcripción

1 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. LÍMITE DE SUCESIONES. INTRODUCCIÓN.- Relció - Relció es tod propiedd que comuic los elemetos de dos cojutos o bie comuic etre sí los elemetos de u mismo cojuto. E geerl u relció se represetrá por l letr R. Ls relcioes que permite comprr elemetos dos dos recibe el ombre de RELACIONES BINARIAS. Propieddes de ls relcioes biris.- Cosideremos u cojuto A y defiimos u relció R etre los elemetos de dicho cojuto. Ls propieddes más importtes que puede teer R so:. Propiedd reflexiv: R b. Propiedd simétric. Si Rb br c. Propiedd tisimétric: Si Rb y br = b d. Propiedd trsitiv: Si Rb y brc Rc e. Propiedd coex: Rb ó br Correspodeci etre dos cojutos.- Diremos que se h estblecido u correspodeci etre dos cojutos A y B cudo hemos fijdo u relció etre los elemetos de A y B. El cojuto A se llm cojuto iicil. Si Є A elemeto orige El cojuto B se llm cojuto fil. Si b Є B elemeto imge. El subcojuto de A formdo por todos los elemetos que tiee imge e B se llm Cojuto origil. El subcojuto de B formdo por tods ls imágees se llm Cojuto imge. APLICACIÓN.- Se deomi plicció tod correspodeci complet y uívoc estblecid etre dos cojutos. Clses de pliccioes: Aplicció iyectiv: Elemetos distitos de A tiee imágees distits Aplicció supryectiv o sobreyectiv: Todo elemeto de B es como míimo imge de u elemeto de A. Aplicció biyectiv: L que es iyectiv y supryectiv.. DEFINICIONES DE SUCESIÓN INDEFINIDA.- Primer defiició.- Se llm sucesió idefiid de úmeros reles u secueci orded de úmeros deomidos térmios de l sucesió que se desig por:.. dode el subídice idic el lugr ocupdo por el térmio e l sucesió y que cumple ls siguietes codicioes:.- Hy u primer elemeto..- No hy último elemeto..- Se h ddo u regl que permite determir u elemeto cudo se d como dto el lugr que ocup. Se llm térmio geerl de u sucesió l expresió de su térmio -ésimo e fució de Segud defiició.- Se llm sucesió de úmeros reles u plicció del cojuto N* = N {0} e el cojuto de los úmeros reles

2 L imge de u elemeto Є N* l represetremos por u letr fectd del subídice por ejemplo que se llm térmio geerl de l sucesió. L sucesió de térmio geerl se represet por:.. o más secillmete por ( ); sigific que es l imge de l imge de etc f: N* R Defie l sucesió: =. SUCESIONES MONÓTONAS.- {......} Se dice que l sucesió { } de úmeros reles es u sucesió creciete cudo pr todo N * se verific que: l es decir cd térmio de l sucesió es meor o igul que el térmio que le sigue. Por tto e u sucesió creciete se tiee: { } creciete l 6.. L sucesió {} es estrictmete creciete cudo pr todo N* se cumple l relció < l es decir: { } estrictmete creciete < < < < < < ) L sucesió { } = { } que defie l úmero rel es u sucesió creciete pero o es estrictmete creciete y que el térmio 60 o es myor que 6. b) L sucesió {b} = - = { }es estrictmete creciete y que cd térmio es meor que el siguiete. c) L sucesió {c } = {} = {... } es estrictmete creciete. Culquier sucesió estrictmete creciete es creciete pero el recíproco o es cierto. Se dice que l sucesió { } es u sucesió decreciete cudo pr todo N* se verific que: es decir cd térmio de l sucesió es myor o igul que el térmio que le sigue. Por tto e u sucesió decreciete se tiee: { }es decreciete 6.. L sucesió { }es estrictmete decreciete cudo pr todo N* se cumple l relció: > es decir: { } estrictmete decreciete > > > > >...> Ejemplo: L sucesió {} = =... es estrictmete decreciete. Se llm sucesioes moótos tods ls teriores y ls sucesioes costtes

3 Estudi l mootoí de ls sucesioes: = ;. SUCESIONES ACOTADAS.- { } { b } = U sucesió {} está cotd superiormete si existe u úmero rel M igul o myor que todos los elemetos de l sucesió: {} está cotd superiormete M R / M ; N * Aálogmete: U sucesió {b} está cotd iferiormete si existe u úmero rel m igul o meor que todos los elemetos de l sucesió: {b} cotd iteriormete m R / m b ; N * U sucesió está cotd cudo lo está superior e iteriormete. L sucesió ( ) = todo N*. está cotd y que todo térmio es meor que es decir < pr L sucesió ( -) de los úmeros impres o está cotd superiormete puesto que por grde que se k < k E u digrm crtesio l sucesió está cotd superiormete cudo su gráfic está por debjo de l gráfic de l sucesió costte (k) = (k k k...). Así e l figur prece l gráfic de l sucesió superiormete. (-) = = 0... que está cotd L sucesió ( ) = ( -) está cotd iferiormete y que culquier térmio es myor que -.

4 L sucesió (b ) dd por b = (-) o está cotd iferiormete puesto que existe térmios de l sucesió que so meores que culquier úmero k ddo (-l)". = ( ) Extremo superior o SUPREMO es l meor de ls cots superiores. Si este extremo superior perteece l sucesió se llm MÁXIMO.. { } = --/ -/ -/... Cots superiores: 0 Extremo superior: 0 Máximo: No posee b. {b } = / / /... Cots superiores: Supremo: Máximo c. {c }= { } = { ¼/./6/...} Cots superiores: Cots iferiores: 0 - d. {d } = { }= {6...} Cots superiores: No posee Cots iferiores: - Ífimo: ; Míimo: Extremo iferior o ÍNFIMO es l myor de ls cots iferiores. Si este extremo perteece l sucesió se deomi MÍNIMO.. { }= { / / /...} Cots iferiores: 0 - Ífimo: 0; Míimo: No posee. b. {b } = { -} Cots iferiores: - - ; Ífimo: -; Míimo: - c. {c } = (-). Sucesió o cotd iferiormete. OPERACIONES CON SUCESIONES.- (Ver libro) 6. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.-. Límite fiito.- Se dice que u sucesió idefiid de úmeros reles tiee por límite L o tiede L y se expres sí: = L si prtir de u térmio suficietemete x vzdo de l mism él y todos los que le sigue se difereci de l e u u ctidd meor que ε siedo ε u úmero rel positivo y t pequeño como quermos. x = L - L < ε L sucesioes de límite fiito se deomi Covergetes..- Tiee límite fiito l sucesió de térmio geerl =?. Si = = = 0' ; = = 0'; = = 0'9; = = 0'

5 = = 0'999;... 00= = 0'999;...000= = 0'9999;...; = = 0'999; = = 0'9999; Esto hce pesr que = 0' 6 Vemos prtir de qué térmio: l se hce t pequeñ como se quier. Elijmos ε = ' 0' 0'6 < 0'000;... < 0'000;... < 0'000 > 9'90 = = elegimos є = 0 00 y sle >..- Comprobr que : = ; elegimos є =0 0 y sle > 6. Límites ifiitos: ) U sucesió idefiid de úmeros reles tiee por límite y se idic sí: = si fijdo u úmero rel positivo K t grde como quermos y elegido u térmio suficietemete vzdo de l sucesió se verific que él y todos los que le sigue so myores que K = > K Ejemplo: = > K ; si K=000 > 000 > 00 b) U sucesió idefiid de úmeros reles tiee por límite - y se idic sí = si fijdo u úmero rel egtivo K t pequeño como quermos y elegido u térmio suficietemete vzdo de l sucesió se verific que él y todos los que le sigue so meores myores que K = < K Ls sucesioes co límite más o meos ifiito se deomi Divergetes. c) U sucesió que o es covergete i divergete. se deomi oscilte. d) Uicidd del límite: Si u sucesió tiee límite éste es úico.

6 EJERCICIOS. Clcul los cico primeros térmios de ls sucesioes cuyos térmios geerles so:.- = b.- b 9 = c.- 6 = d.- c = 0 d e.- e = ( ) f.- = ( ) f. Clcul los térmios y 0 de ls siguietes sucesioes expresds por su térmio geerl: ) c 6 { } = b) { b } = ( ) ){ c } = ( ). Averigu l expresió del térmio geerl de ls siguietes sucesioes:.-... ; b ; c.-... ; 6 9 d.-... ; g ; 0 6 e.-... ; 6 h.-... ; f.-... ; i.-... ; j Deduce rzodmete si cd u de ls siguietes sucesioes so crecietes o decrecietes:.- { } = ; b.- { } = ; c.- { } = ; d.- { } = ;. Hll el extremo superior el extremo iferior el máximo y el míimo. Si lo tiee de ls sucesioes siguietes:.-... ; b.-... ; c.-... ; d- {... }; e.-... ; f.-... ; 6 0 h.- ; 9 i.- ; 6. Comprueb que l sucesió de térmio geerl tiee límite. Desde qué térmio e delte los térmios de l sucesió difiere de dos e meos de u cetésim?.. Prueb que el límite de l sucesió de térmio geerl es. Desde qué térmio e delte los térmios de l sucesió difiere de e meos de u milésim?. 6

7 . Clcul los siguietes límites: :