E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación RESUMEN TEMA SUCESIONES

Transcripción

1 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I DEFINICIONES BÁSICAS Existe muchos feómeos que o se comport de mer cotiu, sio que ecesit u determido tiempo pr producirse. Por ejemplo, el crecimieto de u poblció se produce itervlos regulres y los pgos u bco se reliz u vez l mes. E este tem se itroduce técics mtemátics que permite estudir feómeos que se produce itervlos regulres de tiempo e el que el cocepto de cotiuidd o tiee setido. Qué so? U cojuto de objetos ordedos medite los úmeros turles. Si est colecció es de úmeros se dirá que l sucesió es uméric. E este tem estudiremos ls sucesioes de úmeros reles. Cd uo de los elemetos de u sucesió se deomi térmio. Notció: A los térmios de u sucesió se les desig del siguiete modo: (se lee sub uo pr el primer térmio, sub dos pr el segudo, sub tres pr el tercero,...) Defiició: Podemos cosiderr u sucesió como u fució que sig cd úmero turl u úmero rel iterpretdo que E geerl, el trsformdo de u úmero se desig por y se llm térmio eésimo (o tmbié -ésimo) de l sucesió. L sucesió se represet por ó ó Dos sucesioes { } y { } b so igules si = b pr todo Î. U sucesió dmite u represetció e l rect rel y e el plo: Pág.

2 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Sucesioes moótos Defiicioes: A) U sucesió ( ) se deomi moóto creciete si verific: 2 3 esto es si se cumple + " Î Si verific < + " Î, se llm estrictmete creciete. B) Aálogmete, u sucesió ( ) se deomi moóto decreciete si se cumple ³ " Î + Si verific > + " Î, se llm estrictmete decreciete. C) U sucesió se deomi moóto si es moóto creciete o moóto decreciete. Applet Lbortorio Sucesioes Pág.2

3 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Ejemplos : L sucesió -, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9... o es moóto. (-) L sucesió de térmio geerl = tmpoco es moóto. L sucesió de térmio geerl estrictmete creciete. = es moóto creciete y tmbié L sucesió, -,,,,, 2, 2... es moóto creciete, pero o es estrictmete creciete. 2 L sucesió de térmio geerl =- es moóto decreciete y es tmbié estrictmete decreciete. L sucesió,,,,,,,,, es moóto decreciete, si embrgo o es estrictmete decreciete. Applet Lbortorio Sucesioes Not práctic: E lguos csos, pr probr que u sucesió es moóto creciete result útil probr que - ³ " Î y pr sucesioes de térmios positivos tmbié + se puede demostrr probdo que se cumple: + ³ " Î Aálogmete, pr ls sucesioes moótos decrecietes se probrá que - " Î, o bie, si es de térmios positivos, que verific + + " Î Teiedo e cuet que u sucesió es u plicció de los úmeros turles e los reles, pr cierts sucesioes, se puede utilizr técics de cálculo diferecil pr estudir l mootoí. Bstrá cosiderr l fució resultdo de cmbir por f f ' x > (respectivmete x e el térmio geerl de l sucesió. Si = ( ) y ( ) '( ) f x < ) pr x > o etoces es creciete (respectivmete) pr x > o. Pág.3

4 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Sucesioes cotds - Decimos que u úmero rel k es cot superior de l sucesió ( ) si verific k " Î - Se deomi supremo l meor de ls cots superiores. Si el supremo es u térmio de l sucesió se deomi máximo. - Aálogmete, dicho úmero k será cot iferior de l sucesió ( ) si verific k " Î - Llmmos ífimo l myor de ls cots iferiores. Si el ífimo es u térmio de l sucesió se deomi míimo. - U sucesió ( ) decimos que está cotd superiormete si tiee lgu cot superior. De form álog, diremos que l sucesió está cotd iferiormete si tiee lgu cot iferior. U sucesió ( ) decimos que es cotd si está cotd superior e iferiormete. Applet Lbortorio Sucesioes Pág.4

5 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Decimos que el límite de u sucesió ( ) es L, y lo escribimos sí lim = L o tmbié L - L se t pequeño como quermos, si más que si es posible coseguir que sigrle vlores t grdes como se ecesrio. Es decir, lim = L " e > existe No Î tl que - L < e " > N L defiició terior sigific que si queremos que los térmios de l sucesió se leje de L u distci meor que e, lo podemos coseguir pr todos los térmios posteriores u cierto úmero turl N. Cuto más pequeño se e más grde hbrá que tomr el vlor de N. L defiició terior se lee límite cudo tiede ifiito de se puede escribir igul L. Tmbié pues sólo puede teder ifiito. lim = L Ls sucesioes que tiee límite se deomi covergetes. Applet Lbortorio Sucesioes Pág.5

6 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Sucesioes divergetes L sucesió ( ) tiede ifiito ( ) si culquier que se el úmero rel k fijdo, por grde que este se, podemos coseguir que los térmios de l sucesió supere dicho vlor si más que tomr vlores de myores que u úmero turl N. Simbólicmete esto puede escribirse sí lim k N tl que k N = " Î $ Î > " > Applet Lbortorio Sucesioes L sucesió ( ) tiede meos ifiito (- ) si culquier que se el úmero rel k fijdo, por grde que este se, podemos coseguir que los térmios de l sucesió se meores que k, si más que tomr vlores de myores que u úmero turl N. Simbólicmete esto puede escribirse sí lim k N tl que k N =- " Î $ Î <- " > Pág.6

7 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Uicidd del límite: Si l sucesió ( ) tiee límite, fiito o o, este es úico. Demostrció: Se ( ) u sucesió covergete y supogmos que tiee dos límites L y L 2, siedo L < L 2. A prtir de u cierto vlor, todos los térmios de l sucesió debe perteecer, simultáemete, los etoros ( L - e, L + e) y ( L2 - e, L2 + e) L2 - L lo cul es imposible e cuto tomemos vlores e. 2 Sucesioes osciltes Existe otrs sucesioes que o tiee límite, pero tmpoco tiede ifiito i meos ifiito. Vemos lguos csos Ejemplos: L sucesió cuyos primeros térmios so los siguietes,, 3,, 5,, 7, Est sucesió o es covergete, pero tmpoco tiede i -. Los térmios impres se hce ifiitmete grdes medid que crece. Si embrgo, los térmios pres tiede, pr suficietemete grde. Se dice que est sucesió o tiee límite o bie que su crácter es oscilte. Ejemplos: L sucesió de térmio geerl = (-), cuyos primeros térmios so: -, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,... Los térmios de est sucesió tmpoco se cerc u úmero cocreto. Tiede los térmios pres y tiede - los térmios impres. Por tto, tmpoco tiee límite. Como coclusió, ls sucesioes de los dos ejemplos teriores se deomi osciltes. Resume: Ls sucesioes se clsific segú l existeci o o de límite e los siguietes tipos: Pág.7

8 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Covergetes tiede u úmero fiito L No covergetes Divergetes tiede tiede - Osciltes Propieddes de los límites: Si lim =, y lim siguietes propieddes: () lim = (2) lim ( l ) = l (3) lim ( b ) b (5) lim ( ) = b (4) lim = si b ¹ b b b = siempre que ¹. b = co bî, se cumple ls Idetermicioes: - Teorem (Acotció): Tod sucesió ( ) covergete es cotd. Demostrció: Pr demostrr que u sucesió está cotd, teemos que demostrr que está cotd superior e iferiormete. Si l sucesió ( ) es covergete, tommos e =, etoces todos los térmios de l sucesió perteece, prtir de uo de ellos, l etoro (L- e, L+ e ); e cosecueci. Cosidermos el vlor más pequeño de los térmios de l sucesió que o está e ese itervlo y de L- e Si llmmos m ese vlor todos los térmios de l sucesió será myores que m. Cosidermos M el vlor más grde de los térmios de l sucesió que o está e el itervlo (L- e, L+ e ) y el vlor L- e, es fácil ver que todos los térmios de l sucesió so meores que M. Pág.8

9 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I E coclusió, l sucesió ( ) está cotd, y que hemos ecotrdo u cot iferior (m) y u cot superior (M) de dich sucesió. Observció: El recíproco del teorem terior o es cierto: l sucesió, 2,, 2,, 2,... es cotd y, si embrgo, o es covergete. Teorem (Weierstrss): Tod sucesió moóto y cotd es covergete. Tod sucesió moóto y o cotd es divergete. Covergete Acotd Divergete No cotd (No so ciertos los recíprocos) Covergete Acotd y Moóto Divergete No cotd y Moóto (No so ciertos los recíprocos) Número e El úmero e es u úmero irrciol de gr importci e mtemátics superiores. æ ö Podemos defiirlo como el límite de l sucesió + ç è ø. Puede probrse que est sucesió es moóto y cotd por lo que plicdo el teorem de Weierstrss se cocluye que es covergete. El vlor l que coverge es el úmero e. Se trt de u úmero irrciol cuys diez primers cifrs decimles so: CÁLCULO DE LÍMITES Propieddes de los límites de sucesioes reles Si lim () lim =, y lim = co bî, se cumple ls siguietes propieddes: = (2) lim ( l ) = l Pág.9

10 E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I (3) lim ( b ) b (5) lim ( ) = b (4) lim = si b ¹ b b b = siempre que ¹. b Idetermicioes - Límites de expresioes rcioles Si se trt de u sucesió cociete etre expresioes poliómics, sí p p- p p = q q- q-2 b + b + b bq se resuelve dividiedo umerdor y deomidor por k, siedo k el grdo del poliomio de meor grdo. E resume, se cumple que: Si p>q, lim = (depede de los sigos de y b ) Si p=q, lim = b Si p < q, lim = Límites de expresioes irrcioles Se resuelve multiplicdo y dividiedo por l expresió rdicl cojugd. Límites de l form,, Pr clculr este tipo de límites se puede tomr logritmos, de tl form que: log lim log lim b b b lim = e = e Observció: E el cso prticulr de que l idetermició se del tipo se cumple que lim = y lim b = luego, ( - ) b lim b log lim b = = lim e e Pág.