Funciones Exponencial y Logaritmo

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1 . 9th May 2007

2 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h = 0 etoces lim a =. 4 Si lim h = 0, h < 0 y lim h = 0 etoces lim a = 0. 5 Si lim h = 0, h > 0 y lim h = 0 etoces lim a o existe. 6 lim + ) = e, dode e es u úmero mayor que 2 y meor que 4. Esta semaa Ahora veremos que usado u argumeto similar al utilizado para h =, es posible probar que para x R la sucesió + ) x es covergete.

3 Defiició. La fució expoecial. Defiició La fució expoecial está defiida mediate la expresió: expx) = lim + x ). Proposició El domiio de la fució expoecial es R. Demostració Veremos que la sucesió s = ) ) + x es creciete a partir de 0 = [ x ] + y acotada superiormete. E virtud del Teorema de las Sucesioes Moótoas, la sucesió + ) x coverge a sup {s : 0 }.

4 Defiició. La sucesió s ) es creciete.. s ) es creciete La demostració hace uso de las siguietes afirmacioes que so fáciles de verificar. ) + x x) ) = = + x ) + ) x x = + x + x) + ) + x) + ) + ) + x). ) y x + ) + x) = ) < + + x + <, para + x > 0 2) Para probar que s ) es creciete a partir de 0 = [ x ] + veremos que s + s, para 0. Al reemplazar los valores de s + y de s e s + s s + s = ) + x + + ) + x = y aplicar ) se obtiee. Aplicado la desigualdad de Beroulli I) para h = x + ) + x) x +)+x) ) + + x )., que segú 2) es >, se obtiee s + s x + x ) ) + x =.

5 Defiició. La sucesió s ) es acotada superiormete.. s ) es acotada superiormete Como ya hemos dicho, basta co probar que existe M y 0 N tal que para todo 0 s M. Dado x R sea k N tal que x k <. Etoces, para todo N x k <, es decir, x, k ). Aplicado la desigualdad de Beroulli III) para u = x teemos que k + x ) ) k k x =. k x k Ya vimos que la sucesió es creciete a partir de 0 = [ x ] +. Etoces, para 0, s s k. Tomado M = k k x ) kcocluimos que para 0 s s k = + ) k ) k k. k k x

6 Defiició. Producto de expoeciales. Proposició Para todo x, y R, exp x) exp y) = exp x + y). Demostració Como + x+y = +x+y, + x = +x ) + x+y ) + x + y y + y = +y ) = se tiee que + x + y) + x) + y) ) = ) xy. + x) + y) La igualdad se obtiee mediate maipulacioes algebraicas y la covergecia que ya fue aalizada la semaa aterior. E el lado izquierdo podemos aplicar álgebra de límites para cocluir que exp x + y) exp x) exp y) =.

7 Defiició. Acotamieto y Ceros. Proposició Para todo x R, exp x) > 0. E cosecuecia la fució expoecial es acotada iferiormete y o tiee ceros. Además, x R) exp x) = expx). x, y R) expx y) = expx) expy). Demostració Sabemos que para todo x R, exp x) = exp x 2)) 2 0. Si exp a) = 0, para algú a R, etoces se obtiee la siguiete cotradicció: = exp 0) = exp a) exp a) = 0. La igualdad exp x) exp x) = exp 0) = implica exp x)) = exp x). La igualdad previa permite usar el producto de expoeciales coveietemete para obteer la coclusió: exp x) exp x y) = exp x) exp y) = exp y).

8 Defiició. Desigualdad Fudametal. Proposició La fució expoecial satisface lo siguiete. Para todo x R, Para todo x <, exp x) + x. exp x) x. Demostració La sucesió s ) es creciete a partir de 0 > x y coverge a exp x). Etoces Además, x 0 >. Etoces exp x) exp x) Como exp x) =, para x < se tiee que: exp x) + x 0 ) 0. + x 0 ) x 0 = + x. exp x) = exp x) x.

9 Defiició. Propiedades. Proposició Sea a ) a. Etoces lim exp a ) = exp a). Demostració Primero cosideremos el caso a = 0. Usado las desigualdades fudametales se obtiee el siguiete acotamieto: + a exp a ) a. Por álgebra de límites los extremos coverge a. Por el Teorema del Sadwich lim exp a ) = = exp 0). Para a 0, la multiplicació de expoeciales y lo ya visto, aplicado a a a), implica: lim exp a ) = lim exp a a) exp a)) = lim exp a a) lim exp a) = exp a). Ejemplos De lo aterior cocluimos, e especial, que para todo x R x ) lim exp =.

10 Defiició. Propiedades. Proposició Sea a ) 0, a 0, N. Etoces lim exp a ) a =. Demostració Co las desigualdades fudametales se obtiee el siguiete acotamieto: a = + a exp a ) a = a a. Para a > 0 se obtiee Para a < 0 se obtiee Etoces, para a 0 se obtiee exp a ) a a. a exp a ) a. + a exp a ) a a. Por álgebra de límites los extremos coverge a. Por el Teorema del Sadwich lim expa) a =.

11 Defiició. Crecimieto e Iyectividad. Proposició Para todo x, y R, x < y exp x) < exp y). E cosecuecia la fució expoecial es estrictamete creciete. Demostració Usado el producto de expoeciales y la desigualdad exp y x) + y x, se obtiee: exp y) = exp x) exp y x) exp x) + y x) > exp x). Cosecuecias La fució expoecial es iyectiva. Para todo x > 0, exp x) > exp 0) =. Para todo x < 0, exp x) < exp 0) =.

12 Defiició. Fució expoecial y expoetes. Propiedad Para todo x R y todo N, exp x) = exp x)) y si > 0, exp x ) = exp x). Demostració El producto de expoeciales permite probar Para todo N, se tiee que exp x) = exp x + + x) = exp x)) Para todo N, > 0, se tiee que exp x)) )) = exp x = exp x )) ) = exp x ). Cosecuecias Para todo x < 0, exp x) <. Etoces, lim exp x) = lim exp x)) = 0.

13 Defiició. Biyectividad. Proposició La fució exp : R 0, ) es sobreyectiva. Demostració Para y > 0 sea A = {x R : exp x) y} y s = sup A. ) A es o vacío: como lim exp ) = 0, sabemos que existe tal que exp ) < y. Etoces, A. 2) A tiee cota superior: como lim exp ) = 0, sabemos que existe m tal que exp m) < y. Si x > m etoces exp x) > exp m) > y, es decir, x / A. Por lo tato, m es cota superior de A. De ) y 2) cocluimos que A tiee supremo s. Veamos ahora que exp s) = y. Sea N, > 0. s + o perteece a A ya que es mayor que s. Co esto exp s + ) > y. s o es cota superior de A ya que es meor que s. Co esto existe x R co s Por la mootoía de la fució expoecial, exp s ) < y. Haciedo uso del producto de expoeciales se obtiee el siguiete acotamieto. exp s) exp Sabemos que lim exp exp s) = y. ) = exp s ) < y < exp s + ) = exp s) exp < x y exp x) y. ) ) = lim exp ) =. Aplicado el Teorema del Sadwich se cocluye que

14 Fució Logaritmo atural. Defiició de Logaritmo atural.. Defiició La fució exp : R 0, ) es iyectiva y sobreyectiva e cosecuecia biyectiva. Su fució iversa se llama fució logaritmo atural o de Nepper. l : 0, ) x R lx) = exp x). Observacioes Para todo x 0, ), exp l x)) = x. Para todo x R, l exp x)) = x. E particular, l e) = y l ) = 0. La fució l es estrictamete creciete pues es la iversa de ua fució estrictamete creciete. El úico cero de la fució l es. l o es acotada i superior i iferiormete: l 0, ) = R.

15 Fució Logaritmo atural. Suma y diferecia de logaritmos. Proposició x, y 0, ), lx) + ly) = l xy) y lx) ly) = l ) x. y Demostració Sea u = l x) y v = l y). Al aplicar el producto de expoeciales: l x) + l y) = u + v = l exp u + v)) = l exp u) exp v)) = l xy). Del mismo modo l x) l y) = u v = l exp u v)) = l ) ) exp u) x = l. exp v) y Observació Se obtiee que l ) = l ) l x) = l x). x

16 Fució Logaritmo atural. Desigualdad Fudametal. Proposició La fució logaritmo atural satisface las siguietes desigualdades. Para todo x 0, ), l x) x y x l x). Demostració La primera es directa al tomar x = exp u) y aplicar la desigualdad + u exp u). La seguda se obtiee de la primera al evaluar l ) x y recordar que l ) x x = l x).

17 Fució Logaritmo atural. Propiedades. Proposició Sea a ) a > 0 etoces lim l a ) = l a). Demostració Primero cosideremos el caso a =. Usado las desigualdades fudametales se obtiee el siguiete acotamieto: a l a ) a. Por álgebra de límites los extremos coverge a 0. Por el Teorema del Sadwich lim l a ) = 0 = l ). Para a se aplica la suma de logaritmos y lo ya visto a la sucesió a ) a, y se obtiee a ) lim l a ) = lim l a a a ) ) = lim l + l a) = l a). a Ejemplos Para todo x R, lim l + x ) = 0. ) lim l = 0

18 Fució Logaritmo atural. Propiedades. Proposició Sea a ) 0, a 0, N. Etoces lim l + a ) a =. Demostració Usado las desigualdades fudametales se obtiee el siguiete acotamieto: a + a = + a l + a ) + a = a. Para a > 0 se obtiee + a l + a ) a. Para a < 0 se obtiee Etoces, para a 0 se obtiee l + a ) a + a. + a l + a ) a a. Por álgebra de límites los extremos coverge a. Por el Teorema del Sadwich lim l+a) a =.

19 Fució Logaritmo atural. Defiició de expoete irracioal.. Defiició Sea a 0, ) y α R. Se defie a α = expα l a). Cosistecia ) Como exp l a)) = exp l a))) = a y exp la) = exp l a))) = a, la defiició extiede a R el sigificado que habiamos asigado ateriormete a a α, cuado α = ± o α = ±, N, > 0. Observació Las siguietes propiedades so cosecuecia directa de la defiició de a α. a 0, ) y α R, la α ) = α l a). 2 Para todo α, β R, a α+β = a α a β. 3 Para todo α R, a α ) = a α. 4 Para todo α, x R, expx)) α = expαx), e particular exp α) = e α. 5 Para todo α, β R, a α ) β = a αβ. Ejemplo lim l ) ) = lim l = 0

20 Fució Logaritmo atural. Fució a x. Defiició Para a > 0 se defie la fució a x por la fórmula a x = exp x l a)). Propiedades Su domiio es R. 2 Para a > 0 y a, la fució a x es estrictamete moótoa, e particular es iyectiva. Para a 0, ), l a) < 0. Etoces la fució a x es estrictamete decreciete. Para a >, l a) > 0. Etoces la fució a x es estrictamete creciete. 3 La fució a x : R 0, ) es biyectiva: para todo y 0, ), x = ly) la) satisface que ax = y.

21 Fució Logaritmo atural. Logaritmos co base a > 0, a.. Defiició Sea a 0, ), a. Se defie la fució logaritmo e base a por: log a x = l x) l a). Observació La fució log a es estrictamete creciete si a >. La fució log a es estrictamete decreciete si a 0, ). La fució log a es la iversa de la fució a x. Observació Para cualquier x ) x > 0 se tiee que log x ) = l x ) l a) l x) l a) = log a x).

22 Fució Logaritmo atural. Logaritmos co base a > 0, a.. Propiedades Suma de Logaritmos) Para todo x, y, a 0, ) y a se cumple que log a x + log a y = log a xy). Cambio de base) Para todo x, a, b 0, ) y a, b se cumple que log b x = log a x log a b. Demostració E el primer caso es suficiete co recordar la defiició de log a y usar la suma de logaritmos aturales: log a xy) = l xy) l a) l x) l y) = + l a) l a) = log a x) + log a y). E el segudo caso, usamos que: log b x) = l x) l b) = l x) l a) lb) la) = log a x) log a b).

23 Fució Logaritmo atural. Resume. Defiició Sea a ) y b ) dos sucesioes. Decimos que a ) es sigificativamete meor que b ), y lo deotamos por a ) o b ) o a = o b ), si lim a b = 0. Observació Note que ua sucesió a ) es ula si y sólo si a = o ). Resume Usado la otació o ), podemos resumir lo que sabemos de las sucesioes más comues. l α ) = o l β ) ), α < β. E particular, l α ) = o ), α < 0. l α ) = o β), para todo α R y β > 0. α = o β), para α < β. E particular, α = o ), α < 0. α = o a ), para todo α R y a >. a = o b ), para todo 0 < a < b. a = o!), para todo a R.! = o ).

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