Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia

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1 Scientia Et Technica ISSN: Colombia VALENCIA ANGULO, EDGAR ALIRIO; ESCUDERO, CARLOS ARTURO; POVEDA, YURI ALEXANDER ALGUNOS RESULTADOS INTERESANTES DE LA TEORÍA DE LA MEDIDA Scientia Et Technica, vol XVII, núm 47, abril, 2011, pp Pereira, Colombia Disponible en: Cómo citar el artículo Número completo Más información del artículo Página de la revista en redalycorg Sistema de Información Científica Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

2 Scientia et Technica Año XVII, No 47, Abril 2011 ISSN ALGUNOS RESULTADOS INTERESANTES DE LA TEORÍA DE LA MEDIDA Some interesting results of the measurement theory RESUMEN En este artículo se hace una presentación un poco distinta de algunos resultados de la teoría de la medida De la misma manera se demuestran un resultado conocido e interesante de la teoría de la medida sobre sucesiones monótonas de conjuntos definidos en una σ- álgebra PALABRAS CLAVES: Medida, espacio de medida y ABSTRACT álgebras In this paper a slightly different presentation of some results of measure theory In the same way, showing a well-known and interesting result of measure theory on monotone sequences of sets defined on a σ-algebra KEYWORDS: measure, measure space and algebras EDGAR ALIRIO VALENCIA ANGULO Profesor Auxiliar, Magíster en Ciencias Matemáticas Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas evalencia@utpeduco CARLOS ARTURO ESCUDERO Profesor Asociado, PhD en Ciencias Matemáticas Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas carlos10@utpeduco YURI ALEXANDER POVEDA Profesor Asociado, Matemático, PhD en Ciencias Matemáticas Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas yapoveda@utpeduco 1 INTRODUCCIÓN El concepto de la medida tiene una historia de más de 5000 años, y surge de la necesidad de tratar el manejo de conceptos como: longitudes, áreas y volúmenes, fundamentalmente la gran necesidad de su cálculo ver el libro En principio las longitudes las daban en comparación con un segmento unidad, las áreas con un cuadrado unidad y los cubos con un cubo unidad, de esta manera se podrían medir figuras simples como polígonos y poliedros y se demostraron teoremas como el de Pitágoras y se calcularon volúmenes de superficies como el cono, la esfera y el cilindro Estos tres ejemplos particulares de medida son los que han servido como guía para sacar a la luz el concepto que detrás de ellas se escondía Así se mantuvieron las cosas hasta que en 1883 G Cantor dio la primera definición formal del concepto de Fecha de Recepción: 25 de Enero de 2011 Fecha de Aceptación: 28 de Enero de 2011 medida de un conjunto acotado propiedades y estudio sus En este artículo presentamos y demostramos de manera un poco novedosa algunos resultados conocidos de la teoría de la medida 2 MEDIDA En esta sección recordaremos el concepto de medida de un subconjunto de como lo hace Ash en y cohn en Pero antes de dar la definición de medida, definamos que es una -algebra Definición 1 Llamaremos - álgebra en a una colección de subconjuntos de que satisface las siguientes propiedades:

3 191 Scientia et Technica Año XVII, No 47, Abril de Si, entonces 3 Si, entonces concepto, siguiendo a Weir y a Shiryaev y respectivamente Definición 2 Dado un espacio medible Una medida sobre es una función no negativa Si la propiedad 3 se satisface para uniones finitas, se dice que es una álgebra De esta definición se sigue de forma inmediata que una - álgebra es cerrada para intersecciones numerables y una álgebra para intersecciones finitas Se llamará espacio medible al par donde es un conjunto cualquiera y es una álgebrade y llamaremos conjuntos medibles a los elementos de Que satisface las siguientes propiedades: 1 para todo 2 3 Es numerablemente aditiva, es decir, si dado, con para Proposición 1 Sea (números racionales) y el anillo generado por los intervalos de la forma, donde Demuestre que y cuya unión esta en, entonces es una - álgebra Demostración Por hipótesis sabemos que Demostremos que Sea, es decir, entonces es finito o numerable, pero observemos que Se dirá que la medida que la medida es aditiva si la condición 3 solo es válida para colecciones finitas de conjuntos disjuntos Se dirá que una medida es -finita si existe una sucesión de conjuntos tal que Se llamará espacio de medida a la tripla es la medida sobre la -álgebra de y donde Donde Sea, entonces es una sucesión de Proposición 2 Sea si tiene elementos y si es un conjunto infinito Demostremos que es una medida en y además es -finita, pero conjuntos en, luego es decir ( es igual a restringida a ) no es -finita Uno de los conceptos fundamentales en la teoría de la medida, es la medida de un conjunto Presentaremos este

4 Scientia et Technica Año XVII, No 47, Abril de Demostración es positiva En efecto, claramente por definición es numerablemente aditiva: sea, una familia de conjuntos tal que para y cuya unión esta en demostremos que Ahora demostremos que es -finita en Como es numerable, entonces, es una sucesión en tal que Supongamos que es finito, entonces es finito para todo y y para todo Sea Demostremos que no es no es -finita Como es el anillo generado por los intervalos de la forma, donde Si, entonces existe una familia finita y disjunta de intervalos de la forma, sea esta familia tal que entonces = Donde del conjunto se define como el número de elementos Supongamos que es infinito e ( ), entonces suceden dos casos: Caso1 Supongamos que es una sucesión de conjuntos donde cada conjunto números es finito para todo, es decir, para todo, los son números enteros positivos, y como la suma numerable de números positivos es infinito, es decir, por consiguiente, entonces, Caso2 Sea infinito para algún, entonces,, luego Ahora, como, como, entonces para todo Luego no existe ninguna sucesión en tal que no es -finita para todo y por consiguiente 3 ALGUNOS RESULTADOS INTERESANTES EN LA TEORIA DE LA MEDIDA Antes de presentar estos resultados, definamos algunos conceptos sobre sucesiones de conjuntos que utilizaremos en esta sección Definición 3 Una sucesión de conjuntos es no decreciente si para todo Decimos que una sucesión de conjuntos es no creciente si para todo Si es una sucesión de conjuntos no decreciente su limite es el conjunto Si es no creciente, su

5 193 Scientia et Technica Año XVII, No 47, Abril de 2011 limite es el conjunto escribiremos respectivamente En uno u otro caso, Definimos además es una sucesión decreciente y Proposición 3 Sea si es par y si es impar, calcule y Solución Observemos que Luego Proposición 4 Sea una es -algebra y una medida con valores en los reales Demuestre que si es una sucesión de conjuntos en y, entonces Demostración Sea una sucesión en tal que, entones como, (1) Por lo tanto para todo, luego Observemos ahora que Sea y que entonces observemos que Entonces para todo, es decir es una sucesión no decreciente, Luego por (1) Sea Observemos que para todo En efecto Ahora por (1) y como es una medida, entonces

6 Scientia et Technica Año XVII, No 47, Abril de (2) Finalmente se concluye que Ahora como, entonces para todo, luego para todo Por consiguiente, 4 CONCLUSIONES Por (2) tenemos que Ahora, sea Observemos que La conclusión más importante del trabajo es que se pueden usar conceptos y propiedades de sucesiones monótonas de conjuntos de una -algebra para demostrar la que si es una sucesión de conjuntos monótona en y, entonces Entonces para todo, es decir Es una sucesión no decreciente, 5 BIBLIOGRAFÍA [1] R B Ash, Analysis and probability Ac Press, 1972 Luego y por consiguiente [2] D L Cohn, Measure theory Cambridge Birkhauser Boston, 1980 Ahora como entonces para todo, luego [3] M Degroot Probabilidad y estadística, Segunda edición, Addison-Wesley Iberoamericana, S A 1988 [4] P Ibarrola, L Pardo y V Quesada Teoría de la probabilidad, Editorial Síntesis S A, 1997 para todo Esto implica que [5] Paul Meyer Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas Addinson Wesley Iberoamericana, S A 1970 [6] M Muñoz, L Blanco Introducción a la teoría avanzada de la probabilidad Universidad Nacional de Colombia, Primera edición 2002

7 195 Scientia et Technica Año XVII, No 47, Abril de 2011 [7] Vicente Quesada y Alfonso García Lecciones de Calculo de Probabilidad Días de Santos 1988 [8] A N Shiryaev Probability Second Edition Academic Press, 1975 [9] A J Weir, General integration and measure Vol II Cambridge Univ Press 1974 [10] D Williams Probability Theory with Martingales Cambridge University Press, 1997