Sucesiones de Números Reales

Transcripción

1 Apédice A Sucesioes de Números Reles A.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u correspodeci A que soci, cd úmero turl, u úmero rel A ( ) El cojuto de los úmeros turles, cotiee ifiitos elemetos e u cierto orde, por lo que medite est correspodeci obteemos cojutos ordedos de ifiitos úmeros reles. { } A( ),,,... A los úmeros turles que idic l posició de cd elemeto, se les llm ídices y los úmeros reles, térmios de l sucesió. A l epresió que os idic el vlor de cd térmio e fució de su ídice se le llm térmio geerl. Ejemplo: Clculmos los primeros térmios de l sucesió de térmio geerl 4 Los tres primeros térmios será:

2 ; ; E lgus sucesioes los térmios se cerc pultimete u cierto úmero rel, del que lleg estr t próimos como se quier. Dicho úmero, que defiiremos cotiució, recibe el ombre de límite de l sucesió. A.. Límite de u sucesió. Sucesioes covergetes U sucesió de úmeros reles { } tiee por límite el úmero rel, cudo pr todo úmero rel positivo ε eiste u úmero turl, tl que pr todo m se verific que < ε. Escribiremos m lim ε > 0 / < ε m Diremos tmbié que l sucesió tiede hci. No import que hy térmios myores o meores que el límite, lo que debe ocurrir es que prtir de u ídice m ls diferecis etre los térmios sucesivos y el límite se meores que culquier vlor previmete fijdo ε. U propiedd importte que se deduce de l defiició que cbmos de dr es l siguiete: si u sucesió tiee límite este es úico. A ls sucesioes co límite se les llm covergetes. Ejemplo: Comprobmos que tiee límite l sucesió de térmio geerl Efectivmete m m m m m m < ε m > m ε Pr que se cumpl l codició de límite bst tomr >. ε m

3 L sucesió de úmeros reles ( ) tiee límite ifiito si pr culquier vlor que fijemos A se puede coseguir que todos los térmios prtir de uo ddo se myores que A, si más que dr vlores t grdes como se ecesrio. Escribiremos lim A> 0 / > A m Diremos tmbié que l sucesió tiede ifiito. A.. Sucesioes moótos y cotds A... Sucesioes moótos. U sucesió { } es moóto creciete cudo cd térmio es myor o igul que el terior, es decir m De l mism form, u sucesió será moóto decreciete cudo cd térmio es meor o igul que el terior, es decir U sucesió { } es estrictmete creciete si es moóto creciete y todos sus térmios so distitos, es decir < Es estrictmete decreciete cudo es moóto decreciete y todos sus térmios so distitos, es decir > A... Sucesioes cotds. U sucesió { } está cotd superiormete si todos los térmios so meores o igules que u úmero rel k, es decir k

4 4 A k se le llm cot superior de l sucesió. Culquier úmero rel myor que k es tmbié cot superior de l sucesió. U sucesió { } está cotd iferiormete si todos los térmios so myores o igules que u úmero rel h, es decir h A h se le llm cot iferior de l sucesió. Culquier úmero rel meor que h es tmbié cot iferior de l sucesió. Se dice que u sucesió está cotd si tiee cot superior e iferior. Ejemplos: ) Sucesió moóto creciete: b) Sucesió moóto decreciete: 4 { },,,... c) Sucesió cotd superiormete { },... 4,, 4 { }, 5, 9,... L sucesió está cotd superiormete pues es u cot superior. d) Sucesió cotd iferiormete { }, 4, 6,... L sucesió está cotd iferiormete pues es u cot iferior. A... U sucesió moóto y cotd: el úmero e. U ejemplo de prticulr iterés lo costituye l sucesió de térmio geerl

5 5 Sus primeros térmios so 9,, 4 64, 7 65, , 5 Est sucesió es estrictmete creciete y está cotd superiormete. Tiee como límite u úmero irrciol, coocido como e, cuys primers cifrs so e El úmero e es l bse de los logritmos eperios. A.4. Opercioes co límites. Cálculo de límites A.4.. Opercioes. Si y b so dos sucesioes que tiee límite fiito lim ; lim b b se verific que: ) El límite de l sum es l sum de los límites: lim ( b ) b b) El límite de l sucesió opuest es el opuesto del límite de l sucesió: lim ( ) c) El límite de l difereci es l difereci de los límites: lim ( b ) b d) Producto por k: El límite de k es el producto de k por el límite de : lim ( k ) k lim

6 6 e) El límite del producto es el producto de los límites: lim ( b ) b f) El límite de l ivers es el iverso del límite (siempre que éste o se ulo): lim, b 0 b b g) El límite del cociete es el cociete de los límites (siempre que el del deomidor o se ulo): lim b b, b 0 h) El límite de l poteci de epoete b es l poteci b del límite, siempre que éste se positivo: b b ( ), 0 lim > i) El límite del vlor bsoluto es el vlor bsoluto del límite lim Ejemplo: Hllr el lim sbiedo que b y 5 b 7. Clculmos primero los límites de y b lim lim lim 7 7 lim Como lim y lim b 7, plicdo ls propieddes de los límites, se tiee que lim. b 7

7 7 A.4.. Idetermicioes. E el clculo de limites de sucesioes so frecuetes ls idetermicioes, es decir que l epresió tome u form idetermid de uo de los tipos siguietes Form de ctur e lguos csos prticulres: ) Cociete de poliomios: Suele dr lugr u idetermició del tipo. E este cso l idetermició desprece dividiedo umerdor y deomidor por l poteci máim de que hy e el deomidor. b) Rdicles: L difereci de rdicles puede dr lugr u idetermició del tipo. E este cso, pr resolverl hy que multiplicr y dividir por l epresió rdicl cojugd. A.5. Progresió ritmétic y geométric A.5.. Progresió ritmétic. U progresió ritmétic es u sucesió de úmeros reles e l que cd térmio se obtiee sumdo u úmero fijo l terior. A dicho úmero se le llm difereci de l progresió ritmétic y se desig co l letr d. Pr clculr u térmio culquier de l progresió ritmétic utilizmos el térmio geerl ( ) d y sustituyedo por el ídice del térmio que queremos determir obteemos el vlor de ese térmio. L rest de dos térmios de u mism progresió ritmétic es igul l rest de sus ídices multiplicdo por l difereci d. Por l tto coociedo dos térmios de u progresió ritmétic coocemos tmbié l difereci d. q d q p p

8 8 L sum de los k primeros térmios de u progresió ritmétic coicide co el producto del úmero k de térmios por l semisum del primero y el último. ( k ) Sk k Ejemplo: Ls eddes de 6 hermos form u progresió ritmétic de difereci ños. Si el meor de ellos tiee u ño, clculr l sum de sus eddes. L edd del myor será y l sum de ls eddes de los seis A.5.. Progresió geométric. 6 (6 ) ( ) ( ) 6 S U progresió geométric es u sucesió de úmeros reles e l que cd térmio se obtiee multiplicdo por u úmero fijo l terior. A dicho úmero se le llm rzó y se desig por l letr r. El termio geerl de u progresió geométric es r y su rzó ddos dos térmios coocidos de l progresió será: r q p q p Ejemplo: Cosideremos l siguiete situció: Los ciclists A y B se prepr pr u competició. El ciclist A comiez co 000 metros, y todos los dís greg 000 metros más, e tto que el B empiez co 00 metros y cd dí duplic lo hecho el dí terior. Cuátos metros recorre cd uo el décimo dí?

9 9 El ciclist A umet el recorrido segú u progresió ritmétic, es decir ( ) d 000 (0 ) E cmbio el B umet su recorrido segú u progresió geométric, por lo tto b 0 b r L sum de los k primeros térmios de u progresió geométric se clcul medite l formul siguiete: S k k r r y rzó de l progresió geométric. k so los térmios primero y último, respectivmete, y r es l Si lo que queremos es determir el límite de l sum de los térmios de u progresió geométric decreciete ( 0 < r < ) cudo el úmero de térmios tiede ifiito estudimos r lim S lim r Teiedo e cuet l epresió de y que que 0 < r <, result lim lim r 0 y por tto el límite de S ps ser lim S r r

10 Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es, pues 5 cotd? lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es, pues L sucesió tiee cot iferior y superior, por lo que está cotd.. Hllr el térmio geerl, el límite (si lo tiee) y clsificr l siguiete sucesió: 4, 5 7, 9 0,... 7 E el umerdor vemos que l difereci d etre dos térmios es, por tto se trt de u progresió ritmétic de l form

11 ( ). Como 4, el térmio geerl del umerdor será 4. Siguiedo el mismo rzomieto pr el deomidor obteemos b 4. Etoces l sucesió cosiderd tiee como térmio geerl: c 4 Su límite será: / 0 lim lim 4 4 / L sucesió es covergete de límite 4.. Hllr, pr l sucesió, 5, 4 7, ) El térmio que ocup el lugr ; b) su límite y c) el térmio de l sucesió prtir del cul l difereci co el límite es, e vlor bsoluto, meor que /00. ) El térmio geerl es será:, por tto el que ocup el lugr () () b) Pr clculr el límite dividimos primero los dos sumdos del umerdor etre el deomidor lim lim 0 c) Impoemos l codició:

12 < < < 00 > 00 > 50 < 00 Por tto prtir de 50, l difereci co el límite es meor que / Clcul L lim lim lim lim lim 5. Hllr el y lim sbiedo que b 5 b. Clculmos primero los límites de y b. E mbos csos teemos u idetermició del tipo por lo que dividiedo umerdor y deomidor por l poteci máim de que hy e el deomidor se simplific l epresió. lim lim lim lim lim lim 5 Como lim y lim b 5, plicdo ls propieddes de los límites se tiee que lim. b 5 6. Clcul L lim.

13 4 Teemos u cociete de poliomios elevdo otro, cd uo de los cules produce u idetermició del tipo. Clculmos por seprdo los límites de l bse y del epoete: lim lim lim lim lim lim Por ls propieddes de los límites, L será igul Clcul ( ) L lim. Aprece u idetermició del tipo. Multiplicmos y dividimos por l epresió rdicl cojugd: ( ) ( ) 0 lim lim lim lim L 8. Clcul ( ) - L lim. Como e e ejercicio terior, multiplicmos y dividimos por el cojugdo: ( ) ( ) ( ) L lim lim lim lim

14 5 Hemos obteido u epresió idetermid del tipo. Dividimos umerdor y deomidor etre y tommos límites: 0 L lim Hllr el límite de l sucesió cuyo térmio geerl es. Detro del corchete os qued u epresió de l form que tiede l úmero e cudo m. Por tto m m, lim lim lim e 0. Sbiedo que l difereci e u progresió ritmétic es y el térmio vigésimo vle 8, hll el primer térmio y l sum de los 0 primeros. Despejdo e l fórmul del térmio geerl co 0 obteemos: 0 9d 8 9 ( ) 9 L sum de los 0 primeros será: 0 S 0 0 (9 8)0 0. U r quiere cruzr u chrco de metros. L r es cpz de sltr metro e el primer slto, pero se v csdo por lo que cd slto es más pequeño que el terior, segú l relció L L r, siedo r <. Si e el

15 6 curto slto vz /8, verigu l rzó y si l r coseguirá llegr l otr orill. Despejmos l rzó de l fórmul del térmio geerl r r r Pr obteer l distci máim que l r es cpz de recorrer sltdo, clculmos l sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric decreciete, de rzó r / : lim S r Por tto l r o cosigue cruzr el chrco, pues ecesitrí u tiempo ifiito.

16 7 Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil). Hll el térmio geerl de ls siguietes sucesioes ),,, b), 5, 0, 7, 6, 7... c),, 5, 7, 9. Determi si ls siguietes sucesioes está cotds. ) b) b 5 c) c 6. E l sucesió de térmio geerl, hll u térmio prtir del cul los siguietes diste de meos de u milésim. 4. Defiimos l sucesió cuyo térmio geerl tiee l siguiete epresió: si es impr si es pr Es u sucesió moóto? Coverge? 5. Dds ls sucesioes cuyos térmios geerles so, b y c, clculr los siguietes límites: ) lim ( ) b b) lim ( ) c c) lim ( c ) d) lim ( b ) c e) lim ( ) b f) lim ( b c )

17 8 6. Clcul los siguietes límites: ) lim d) lim 5 b) lim c) 7 75 lim e) lim ( ) f) lim ( 7 ) 7. Demuestr que l sucesió 4 7 tiee por límite Comprueb que ls sucesioes de térmio geerl ( ) y b ( ) crece de límite. 9. Hll el límite de ls siguietes sucesioes cudo tiede ifiito. ) b) b 7 0. E u progresió ritmétic el primer térmio es 7, el último es 5 y l sum 48. Clcul l difereci y el úmero de térmios de l progresió.. Hll los águlos de u triágulo rectágulo sbiedo que está e progresió ritmétic.. Clcul l difereci de u progresió ritmétic e l que el tercer térmio es 4 y l sum de los ocho primeros es 4.. Clcul l rzó de u progresió geométric si se cooce y 4. 4

18 9 4. Hll el primer térmio y l rzó de u progresió geométric, sbiedo que el tercer térmio es y el seto es Hll l sum de los térmios de l progresió ilimitd siguiete.,,, 9,... 7

19 0 Solucioes los ejercicios propuestos. 5 ) c) ( ) ( ) b). ) Sí; por ejemplo etre y. b) Sí; por ejemplo etre 0 y /5. c) Sí; por ejemplo ete / y 4/9.. A prtir de 50, iclusive. 4. No. No ) b) c) d) e) f) 0 ) b) / c) d) e) 0 f) 7. Pr culquier ε > 0 bst co tomr 8. ) { } 0,,0,,0... b) { } 0,,0,, ε >. 49ε 9. ) e b) 7 e 0., d.. o o o α 0, β 60, γ 90.. d 4 /.. r / ; r /. 5. S /.

20 Apédice B Algus fucioes elemetles B.. Fució poteci -ésim U fució poteci -ésim es u fució de l form f ( ) dode l bse es u vrible y el epoete u úmero turl. Es l form más secill de ls fucioes poliómics f ( )... 0 Ls fucioes poteci -ésim está defiids pr todo úmero rel, por lo que su domiio es. So cotius e todo su domiio. El recorrido de ls fucioes poteci -ésim será: -El itervlo [ 0, ) si es pr. -Todo si es impr. E u fució poliómic f ( )... 0 el térmio de myor grdo es el que determi su comportmieto e el ifiito. Esto se debe que, si > m, l fució crece más rápido que l m fució, pr >. Su comportmieto e el ifiito depede de si es pr o impr y del sigo de : pr lim lim ± ± f ( ) f ( ) si si > 0 < 0

21 < > ± ± ± 0 si ) ( lim 0 si ) ( lim impr f f Se represet cotiució dos ejemplos de fució poteci -ésim. Fig. B.. Fució y Fig. B.. Fució y B.. Biomio de Newto Es l poteci -ésim de l sum de dos úmeros reles. Su epresió desrrolld es l siguiete: i i b b i b b b ) ( Los coeficietes m se deomi úmeros combitorios y se clcul del siguiete modo: )! (!! m m m Ejemplo: 5 ) (4 ) ( )! (6! 6! 6. Clculdo de l mism form los demás coeficietes, obteemos: ) ( b b b b b b b b b b b b b

22 Propieddes de los úmeros combitorios I., 0 II. m m III. m m Ests tres propieddes se reflej e el triágulo de Trtgli o de Pscl, formdo por los úmeros combitorios. Vemos que se cumple:. Los etremos de cd fil vle (propiedd I).. El triágulo es simétrico (propiedd II).. Cd úmero es sum del que tiee ecim y el que está l izquierd de este (propiedd III). B. Fució epoecil. Fució logrítmic U fució epoecil es u fució de l form f ( ), dode l bse es u úmero rel positivo y el epoete es u vrible. E tods ls fucioes epoeciles se verific f ( 0), pues 0 pr culquier, por lo que tods ps por el puto (0,). El domiio de l fució epoecil es todo y su recorrido es el 0,. Ls fucioes epoeciles so cotius e todo. itervlo ( ) El crecimieto y decrecimieto de ls fucioes epoeciles depede del vlor de : Si > l fució epoecil es creciete e todo. Si 0 < < l fució epoecil es decreciete e todo. El comportmieto e el ifiito tmbié depede del vlor de l bse: > lim 0, lim < lim, lim 0 U fució epoecil de especil importci es y e.

23 4 Represetmos dos ejemplos de fució epoecil, de bses myor y meor que respectivmete. Fig. B.. Fució y Fig. B.4. Fució y ( ) Trs hber visto ls crcterístics priciples de ls fucioes poteci - ésim y epoecil, recordmos ls opercioes priciples reltivs este tipo de fucioes. ) El producto de potecis de l mism bse es igul l bse elevd l sum de epoetes. m m b) El cociete de potecis de l mism bse es igul l bse elevd l difereci de epoetes. m m c) El producto de potecis de igul epoete es igul l producto de ls bses elevdo l epoete. b ( b) d) El cociete de potecis de igul epoete es igul l cociete de ls bses elevdo l epoete. b b e) L poteci de u poteci es igul l bse elevd l producto de epoetes. m m ( )

24 5 Ls ríces se puede cosiderr potecis de epoete frcciorio. Aplicádoles ls misms regls obteemos: ) L ríz del producto de dos úmeros es igul l producto de ls ríces de los úmeros. b b b) L ríz del cociete de dos úmeros es igul l cociete de ls ríces de los úmeros. b b c) Pr clculr l ríz de l ríz de u úmero se multiplic los ídices. m m El logritmo e bse de u úmero es el epoete l que hy que y elevr l bse pr obteer dicho úmero; es decir : log y. U fució logrítmic es u fució de l form f ( ) log, dode es u úmero rel positivo y distito de. E tod fució logrítmic se verific f ( ) 0, pues l ser 0 etoces log 0, pr culquier. Así pues, tods ps por el puto (,0). L epresió y log es equivlete y, por lo que l fució logrítmic es l ivers de l fució epoecil. Por ello sus represetcioes gráfics so simétrics co respecto l rect y. El domiio de l fució logrítmic f ( ) log es ( 0, ) y su recorrido es todo. Ls fucioes logrítmics so cotius e ( 0, ). El crecimieto y decrecimieto de ls fucioes logrítmics depede, como e ls epoeciles, del vlor de. Si >, f ( ) log es creciete e ( 0, ). Además l fució será positiv pr los vlores de myores que, y egtiv pr los vlores de meores que. Si 0 < <, f ( ) log es decreciete e ( 0, ). L fució será egtiv pr los vlores de myores que, y positiv pr los vlores de meores que.

25 6 Su comportmieto e el ifiito tmbié depede de. > lim log < lim log Represetmos cotiució dos ejemplos de fució logrítmic, el logritmo eperio o turl y el logritmo e u bse meor que. Fig. B.5. Fució y l Fig. B.6. Fució y log Como hemos hecho e ls fucioes poteci -ésim y epoecil, recordmos ls opercioes priciples reltivs los logritmos. ) El logritmo de u producto de dos úmeros es l sum de los logritmos de los úmeros. log ( y) log log y b) El logritmo de u cociete de dos úmeros es l difereci de los logritmos de los úmeros. log log log y y c) El logritmo de u poteci de es el producto del epoete por el logritmo de. log log d) El logritmo de u ríz de es el logritmo de dividido etre el ídice. log log log

26 7 B.. Fucioes trigoométrics y sus iverss Ls fucioes trigoométrics so periódics de período π, lo cul sigific que sus vlores se repite cudo l vrible se icremet e π, es decir f( π ) f( ), Ls fucioes trigoométrics básics so seo, coseo, tgete y sus iverss rco seo, rco coseo y rco tgete. Fució seo, y se. Crcterístics priciples: -Su domiio es. -Su recorrido es el itervlo [, ]. -Es cotiu e todo su domiio. -Es periódic de período π. -No eiste el límite de se cudo tiede ±. -Es u fució impr: se( ) se. -Represetció: Fig. B.7. Fució y se Fució coseo, y cos. Crcterístics priciples: -Su domiio es. -Su recorrido es el itervlo [, ]. -Es cotiu e todo su domiio. -Es periódic de período π. -No eiste el límite de cos cudo tiede ±. -Es u fució pr: cos ( ) cos. -Represetció: Fig. B.8. Fució y cos

27 8 Fució tgete, y t. Crcterístics priciples: -Su domiio es. -Su recorrido es. π -Es cotiu e todo su domiio, ecepto e los putos πk : k Z. -Es periódic de período π. π -Ls rects kπ, k so sítots verticles. -Es u fució impr: t( ) t. -Represetció: Fig. B.9. Fució y t Ls fucioes seo, coseo, tgete o so iyectivs, es decir tiee l mism imge pr distitos vlores de l vrible. Pr que eist sus fucioes iverss, ls defiimos sólo e ciertos itervlos. Fució rco seo, y rcse. Crcterístics priciples: -Su domiio es el itervlo [, ]. π -Su recorrido es el itervlo, π. -Es cotiu e todo su domiio. -Es creciete e todo su domiio. -Represetció: Fig. B.0. Fució y rcse Fució rco coseo, -Su domiio es el itervlo [ ] -Su recorrido es el itervlo [ 0,π ]. y rccos. Crcterístics priciples:,.

28 9 -Es cotiu e todo su domiio. -Es decreciete e todo su domiio. -Represetció: Fig. B.. Fució y rccos Fució rco tgete, y rct( ). Crcterístics priciples: -Su domiio es. π π -Su recorrido es el itervlo,. -Es cotiu e todo su domiio. -Es creciete e todo su domiio. π π - lim rct y lim rct. -Represetció: Fig. B.. Fució y rct Eiste diverss relcioes etre ls fucioes trigoométrics seo, coseo y tgete. Etre ls más utilizds se ecuetr: ) se cos b. b) se( ± b) se cos b± cos se b. Cso prticulr: se se cos. c) cos( ± b) cos cos b se se b. Cso prticulr: cos cos se.

29 0 d) e) g) se ( ± b) t ± t b t( ± b). cos ( ± b) t t b t Cso prticulr: t. t cos se. cos cos. π h) se cos. π i) cos se. B.4. Fucioes hiperbólics Ls fucioes hiperbólics se defie prtir de ( ) e. f e e Seo hiperbólico seh. -Su domiio es. -Su recorrido es. -Es cotiu e todo su domiio. -Es simétric respecto l orige. -Es creciete e todo su domiio. - lim seh y lim seh. -Es u fució impr: seh( ) seh( ). -Represetció: Fig. B.. Fució y seh

30 e e Coseo hiperbólico cosh. -Su domiio es. -Su recorrido es el itervlo [, ). -Es cotiu e todo su domiio. -Es simétric respecto OY co u míimo e el orige. - lim cosh lim cosh. -Es u fució pr: cosh( ) cos h( ). -Represetció: Fig. B.4. Fució y cosh seh e e Tgete hiperbólic th. cosh e e -Su domiio es. -Su recorrido es el itervlo (,). -Es cotiu e todo su domiio. -Es simétric respecto l orige. -Es creciete e todo su domiio. - lim th y lim th. -Es u fució impr: th( ) th( ). -Represetció: Fig. B.5. Fució y t h Como ocurre e ls trigoométrics, eiste diverss relcioes etre ls fucioes hiperbólics. Etre ls más utilizds se ecuetr: ) cosh seh.

31 b) seh( ± b) seh cosh b± cosh seh b. Cso prticulr: seh seh cosh. c) cosh( ± b) cosh cosh b± seh seh b. Cso prticulr: cosh cosh seh. d) seh ( ± b) th ± th b th( ± b). cosh ( ± b) ± th th b th Cso prticulr: th. th

32 Apédice B Algus fucioes elemetles Ejercicios resueltos. Escribe el térmio e 5 que prece l desrrollr 9 ( ). 9 ( ) es l sum de todos los térmios de l form i i i 9 9 co i etre 0 y 9; 5 prece pr i4, y el correspodiete térmio es Clcul l sum de todos los úmeros combitorios i Sbemos que i i b b i b b b ) ( Si b quedrá

33 0 0 ( ) i Luego l sum de los úmeros combitorios vle. Hll el domiio de l fució y se.. Como sbemos que u ríz cudrd sólo está defiid si el rdicdo es myor o igul 0, etoces y se estrá defiid si y se 0 se 0 Puesto que se, l fució dd está defiid pr todo úmero rel. 4. Hll el domiio de l fució y l( 6) Como los logritmos sólo está defiidos pr vlores positivos de l vrible, y l( 6) está defiid si y sólo si 6 > 0 Es decir, pr (, 4) ( 4, ). > 4 ó < 4 5. Hllr cos α, secα, cosecα y cotα si α rcse ( ). α rcse ( ) se / ; etoces cos se sec cos 5 cosec se 5

34 cos cot se 5 6. Resolver 6. Se trt de u ecució epoecil. Epresmos el segudo miembro como poteci de e igulmos los epoetes Epres el logritmo log ( ) ( ) como u sum o rest de logritmos. ( ) ( ) log log log( ) log( ) log( ) [ ( ) ] log( ) 8. Clculr l L lim. 9. Clculr Cudo su logritmo eperio tmbié lo hce, por lo prece u idetermició del tipo que se puede elimir directmete plicdo l regl de L Hopitl. Pr ello derivmos el umerdor y deomidor, ( l ) ' L lim lim lim 0 ' se lim π cos ( ) Tto el umerdor como el deomidor se ul e π por lo 0 que prece u idetermició del tipo que se puede elimir 0 plicdo l regl de L Hopitl.

35 4 ( ) ( ) se cos se cos ) se ( 0 cos lim ' cos ' se lim π π π π π π L 0. Demostrr ls siguietes relcioes: ) e cosh seh. e e e e e cosh seh b) seh cosh ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ) ( cosh cosh 4 4 ) ( seh seh e e e e e e e e e e e e e e e e Etoces 4 4 seh cosh e e e e

36 5 Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil). Si clculr los úmeros combitorios, ecuetr los que hce que se cumpl. 9 9 y ) 4 y y 4 b) 6. Ecuetr y b pr que l gráfic de l fució f ( ) b pse por los putos (, ) y (, ).. Clcul los siguietes límites: ) lim ( ) 5 b) lim 4. Ecuetr el recorrido de ls siguietes fucioes: ) f ( ) 4 b) g ( ) 5. Clcul los siguietes límites: e ) lim b) lim log c) lim log 6. Hll el domiio de ls siguietes fucioes: ) b) f ( ) l g( ) log e

37 Resolver Resolver ( ) 9. Resolver l( 4) l( 5) l Resolver log ( 44) 0.. Usdo ls propieddes de los logritmos, simplific ls siguietes epresioes. 4 ) l(4t ) l b) l t l( t ) c) l( 9) l. Hll el domiio de ls siguietes fucioes: ) cosec se b) cot t π. Sbiedo que α, π tα y cosecα. y que rcsec( 5) α, hll seα, cosα, se 4. Clculr lim Ddo seh 4 hll los vlores del coseo y l tgete hiperbólics.

38 7 Solucioes los ejercicios propuestos. ) 4 y 0 b) 5 y. b. ) b) 5 / 4. ) [ 4, ) b) [ 0, ) 5. ) b) l 4 c) l 6. ) ( 0, ) b) (, ) 7. / 8. / 9. / ) lt b) l( t ) c) l( ). Ambs eiste e todo ecepto el cojuto de putos e que se ul el se, que es { kπ, k } 5. se α cosα tα cosecα / cosh ; th 5

39 Apédice C Números Reles y Complejos C.. Los úmeros reles Supoemos coocido el cojuto de los úmeros reles. Vmos defiir y estudir e lguos coceptos como relcioes de orde, itervlos, cots y vlor bsoluto. C... Relcioes de orde. Se el cojuto de los úmeros reles. Decimos que etre los elemetos de u subcojuto suyo S eiste u relció de orde si y sólo si se cumple ls siguietes propieddes: ) Refleiv:, S b) Atisimétric: b, b b,, b S c) Trsitiv: b, b c c,, b, c S Coocemos distitos subcojutos de, por ejemplo los úmeros turles, los eteros, los rcioles y los reles. E todos ellos está defiid l relció de orde. E : < < <... E : < < 0 < < <... i i E : i j i j j j

40 Propieddes de l relció de orde e. ) Es comptible co l sum pues se cumple b c b c, c S es decir, si e u desiguldd summos el mismo úmero los dos miembros, l desiguldd o vrí. b) Es comptible co el producto pues se cumple c > 0, b c b c es decir, si e u desiguldd multiplicmos por el mismo úmero positivo los dos miembros, l desiguldd o vrí. c) Otrs propieddes: C... Itervlos. b, c d c b d 0 0 b b c< 0, b c b c Los itervlos so subcojutos de l rect rel. Los hy de tres tipos: - Itervlo bierto: ( b, ) r / < r< b } - Itervlo cerrdo: [ b, ] { r / r b} { - Itervlo semibierto (o semicerrdo): puede serlo por l derech o por l izquierd [ b, ) { r / r< b} ( b, ] { r / < r b}

41 Ejemplo: (, ] idic el cojuto de todos los úmeros reles meores o igules que. A su vez, (, ) es el cojuto de todos los úmeros reles myores que. C... Cots. Supremo e ífimo. Máimo y míimo. Decimos que M es cot superior del cojuto D si M pr todo del cojuto. A l meor de ls cots superiores de D se l deomi supremo. Si el supremo perteece l cojuto se le llm máimo o último elemeto. Aálogmete, decimos que m es cot iferior del cojuto D si m pr todo del cojuto. A l myor de ls cots iferiores de D se l deomi ífimo. Si el ífimo perteece l cojuto se le llm míimo o primer elemeto. u cot iferior es y el ífimo es, que o perteece l itervlo, l ser éste bierto, por lo que o eiste míimo. El 7 es l meor de ls cots superiores, es decir el supremo. Como perteece l itervlo, es tmbié el máimo. Ejemplo: E el itervlo (,7] C..4 Vlor bsoluto y prte eter. El vlor bsoluto de u úmero es el vlor que tiee prescidiedo del sigo. Coicide co el úmero si es positivo y co su opuesto si es egtivo. Por tto si 0 si < 0 Propieddes: ) 0 b) c) b b d) b b L prte eter de u úmero, es el vlor del myor etero meor o igul. Se represet por E() o bie por []. L prte eter de cumple: E ( ) p Z / p < p

42 4 C.. Los úmeros complejos Como hemos hecho e, supoemos coocido el cojuto de los úmeros complejos y vmos estudir lguos spectos de estos úmeros, sí como ls opercioes básics etre ellos. C.. Uidd imgiri. Form biómic de u úmero complejo. Represetció e el plo. Pr dr solució l ecució 0 se defie l uidd imgiri i. U úmero complejo, escrito e form biómic, es u epresió de l form bi, dode y b so úmeros reles. El úmero es l prte rel del úmero complejo. A b le llmmos prte imgiri. Escribimos Re( z) z bi Im( z) b Si 0, el úmero z es imgirio puro. Si b 0, z es u úmero rel. Ejemplo: el úmero complejo π i tiee como prte rel y como prte imgiri π. π i es u úmero imgirio puro. Pr represetr los úmeros complejos e uos ejes de coordeds se represet e el eje de bsciss l prte rel y e el de ordeds l imgiri. Al puto A de coordeds (, b) se le llm fijo del úmero complejo bi. Así cd complejo le hcemos correspoder u puto e el plo y recíprocmete. C.. Cojugdo de u úmero complejo. Módulo. Argumeto. Se el úmero complejo z bi, cuyo fijo es el puto A, de b,, del plo. Se llm cojugdo de z l úmero complejo z que tiee l mism prte rel y l prte imgiri cmbid de sigo coordeds ( ) Se llm módulo de z l úmero rel z bi z bi z b

43 5 Es fácil ver que el módulo de u complejo coicide co el de su cojugdo. ( ) z b b z Se llm rgumeto de z l águlo que form el semieje positivo de bsciss co l rect que ue el orige de coordeds O co el fijo A de z. El rgumeto de z cumple b cosα ; se α, z z π < α π E l siguiete figur se represet u complejo y su cojugdo, sí como ls prtes rel e imgiri de cd uo, sus módulos y su rgumetos. Eje imgirio b z z O α α z Eje rel -b z C.. Opercioes co úmeros complejos ) Sum (difereci): se sum (rest) prtes reles etre sí y prtes imgiris etre sí ( bi) ± (c di) ± c (b ± d)i b) Producto: se reliz plicdo l propiedd distributiv del producto respecto de l sum y teiedo e cuet que i ( bi)(c di) c bd i d i bci c bd (d bc)i

44 6 c) Divisió: se obtiee multiplicdo umerdor y deomidor por el cojugdo del deomidor bi c di ( bi)( c di) ( c di)( c di) c bd c d ( bc d ) i c bd c d bc d c d i d) Poteci: se clcul desrrolldo l poteci del biomio ( bi) y teiedo e cuet ls potecis del úmero i. i i i i 4 i i i i ( ) i i i ( i) i i Observmos que los vlores de ls potecis de i se repite de cutro e cutro. Así, pr clculr potecis de i dividiremos el epoete etre 4 y clculremos l poteci del úmero i que tiee por epoete el resto de l divisió. ( i) Ejemplo: Clculr. i E primer lugr desrrollmos el umerdor: ( i) i i i 8 i 6( ) i i Ahor multiplicmos umerdor y deomidor por el cojugdo de éste: ( i) i i i ( i)( i) ( i)( i) i ( ) i i 9 i 9 i Pr potecis de orde más elevdo podemos utilizr los coeficietes del biomio de Newto. C..4 Teorem fudmetl del álgebr. El teorem fudmetl del álgebr estblece que culquier poliomio de 0 coeficietes reles y grdo, P ( )... 0, posee ríces complejs. Se cumple tmbié que si u úmero complejo es ríz del poliomio, etoces su cojugdo tmbié lo es.

45 7 Ejemplo: Clculr ls ríces del poliomio P ( ) Es lgu de ells rel? Segú el teorem, cd ríz complej v compñd de su cojugd por lo que el úmero de ríces complejs de u poliomio es siempre pr. El poliomio que estmos cosiderdo es de grdo, por lo que tiee ríces. Como debe teer u úmero pr de ríces complejs, l meos tedrá u rel. Probdo co ±, ±..., obteemos que es ríz de P () y dividiedo result P( ) Hlldo hor ls ríces del cociete 0 ± ± i Etoces ls ríces del poliomio so, i, i.

46 Apédice C Números Reles y Complejos Ejercicios resueltos. Hll los úmeros reles que cumple l codició. Si 0 : 0. No eiste solució. Si < 0 :.. Hll todos los úmeros r tles que r < 4. ) Si r 0 : r 0 r 5 r r 0 r < 4 r, r < 4 r < 5 b) Si < 0 r : r ( r ) terior, obteemos. Procediedo como e el prtdo r,. Los úmeros que stisfce l codició estrá e lguo de los dos 5 itervlos, luego perteecerá su uió. Solució: r,.. Resolver l iecució >.

47 ) > 0 ( > ). Al multiplicr mbos miembros por ( ), positivo, se mtiee el setido de l desiguldd. Etoces < > ( ) > 0 y 0 < 0 ( ) < 0 > 0 y < 0 L primer opció o tiee solució. L segud d como resultdo (0,) que cumple l hipótesis hech, >. b) < 0 ( < ). Al multiplicr mbos miembros, por ( ) egtivo, cmbi el setido de l desiguldd. Etoces, > 0 ( ) < > 0 ( ) > 0 0 y 0 > 0 y < De l primer opció result (, ) y de l segud (, 0). Los vlores de que cumple lgu de ls opcioes perteecerá l uió de los itervlos, luego (, 0) (, ). Además debe cumplirse l hipótesis <. Luego os qued (, ). E cosecueci, los vlores de que cumple l iecució estrá e el itervlo (, ) (0, ). 4. Clculr: ( i) ( 8 5i) 8 i 5i i ( 4i)( 5 i) 5 i 0i 4i 5 4 9i 9 9i ( i)( i) 4 9i 4 9 < 0 0i i ( 0 0i)( i) ( i)( i) 60 0i 90i 0i 9 i 90 70i 0 9 7i i 654 i 4 56 i

48 5. Clcul de modo que i i se: ) rel; b) imgirio puro. Clculmos el cociete ( )( ) ( )( ) i i i i i i i i i ) Pr que se u úmero rel l prte imgiri de ser ul. Por tto 0 b) Pr que se imgirio puro l prte rel h de ser ul. Por tto 0 6. Clcul e y pr que ( ) ( ) i i y i 4 7. ( ) ( ) i y i y i ) ( El complejo terior debe ser igul i 4 7 por lo que iguldo prtes reles y prtes imgiris, result: y y 7. Resuelve l siguiete ecució 0 5. i ± ± ± ± 8. Hll, pr el complejo i 4 4, módulo, cojugdo e iverso. Módulo: r Cojugdo: i 4 4 Iverso: ( )( ) i i i i i i

49 4 9. Clcul e y de mer que ( i)( yi) ( i ). Desrrollmos el producto de complejos i yi y yi i y ( y ) ( )( ) i Igulmos cotiució prtes reles e imgiris etre sí y resolvemos el sistem de ecucioes. y y y y y y ± y y Pr cd uo de los vlores de y obtedremos u solució. Si y. Si y Resuelve l ecució ± ± i Se. Etoces ( bi) b bi bi. b 0 ) b bi i b De b 0 result ± b. Si b, l segud codició se covierte e que o tiee setido pues es u úmero rel. L otr opció es b, de dode dos de ls cutro solucioes será b ± i ±.. Etoces b) Qued por resolver b bi i, pr lo cul podemos repetir el proceso del prtdo ). Pero por el Teorem Fudmetl del Álgebr sbemos que eiste e totl cutro solucioes. Como ls dos y clculds so complejs o cojugds etre sí, ls dos resttes será ls cojugds de ls teriores. i i Por tto ls cutro solucioes so ± y ±.

50 5 Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil). E los siguietes cojutos, determir el supremo y el ífimo, idicdo si coicide co el máimo o míimo respectivmete. ) A siedo b) B { / 5 6 < 0} siedo C 0, c) ( ). Hll los úmeros reles que cumple ls siguietes codicioes: ) 4 5 b) π 0. Resuelve ls iecucioes: ) 5 4 b) < 4. Hll el módulo, cojugdo e iverso de cd uo de los siguietes complejos. ) 4 i b) 5i 5. Clcul ls siguietes opercioes co complejos: ) ( 5 7i ) (5 7i) b) ( i ) ( i) c) ( 5i ) ( 4i) d) ( 5i ) ( 5i) e) ( i) : ( 4 i) f) ( i) : ( i) g) (i i) 6. Clcul ls siguietes potecis:

51 6 65 ) i b) ( i ) c) i 6 d) ( i ) 7 7 i i e) i 7. Ddo u úmero complejo z, ) cuáto vle z z? b) Si z z es u úmero rel, qué se puede firmr sobre z? 8. Hll pr que el cociete ( i) : ( i) puro. se u úmero imgirio 9. Ddos los úmeros complejos mi y i, hll los vlores que debe teer m y pr que el producto de quellos se igul 8 4i. 0. Comprueb que los úmeros complejos i y i verific l ecució Hll tods ls solucioes reles y complejs de ls ecucioes: ) 7 b) c) L sum de dos úmeros complejos es 6, el módulo del primero es y el del segudo 5. Hll estos complejos.. Hll los úmeros complejos tles que su cudrdo es igul su cojugdo (hy cutro solucioes).

52 7 Solucioes los ejercicios propuestos. ) Sup (A). A o tiee máimo. If (B) /. Coicide co el míimo. b) Sup (B). B o tiee máimo. If (B). B o tiee míimo. c) Sup (C). C o tiee máimo. If (C) 0. C o tiee míimo. 9. ) Dos solucioes: ; b) Dos solucioes: π ;. ) (, 9] [, ) b), ) z 4 i; z 4 i; z i b) z 5i; z 5i; z i ) 0 8 e) i 7 7 b) i f) i c) 4 i g) 8i d) 9 ) i d) i b) i e) c) ) Re( z ). b) Que es ulo. 4

53 8 9. Dos solucioes: m ; y m ;. ) ± 7 b) ± i c) ± 6 5i.. Dos solucioes: i, 4 i y i, 4 i. z 0, z, z i, z i

54 APÉNDICE D Errores de opercioes más frecuetes E el Apédice B se h recorddo ls priciples opercioes referetes potecis, ríces, logritmos y fucioes trigoométrics. A cotiució se recuerd lgus de ells e ls que se desliz errores co ciert frecueci. Acompñdo l fórmul se idic u regl brevid fácil de recordr. D.. Potecis ) Poteci de u producto: producto de potecis ( b) b b) Poteci de u cociete: cociete de potecis b b c) Producto de potecis de igul bse: se sum epoetes m m b) Cociete de potecis de igul bse: se rest epoetes m m e) Poteci de poteci: se multiplic epoetes m m ( )

55 D.. Ríces ) Ríz de u producto: producto de ríces b b b) Ríz de u cociete: cociete de ríces b b c) Ríz de u ríz: se multiplic los ídices m m D.. Logritmos ) Logritmo de u producto: sum de logritmos. log ( y) log log y b) Logritmo de u cociete: difereci de logritmos. log y log log y c) Logritmo de u poteci: el epoete sle del logritmo multiplicdo. log log d) Logritmo de u riz: el ídice sle del logritmo dividiedo. log log log

56 D.4. Relcioes trigoométrics básics ) se cos b) se se cos c) cos cos se d) e) cos se cos cos

57 Apédice D Errores de opercioes más frecuetes Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil) 4 5. Simplific l siguiete epresió ( ) ( ). Verddero o flso. 4 ) b) c) m m d) e) m m. Verddero o flso. l ) l l d) l l l 4 b) 7l l e) l ( l ) c) l l l( ) 4. Verddero o flso. ) l log ( ) l d) log b) log ( ) log e) log ( ) c) logb log log b

58 5. Verddero o flso. ) se se d) se cos b) cos cos se e) c) se cos 6. Verddero o flso. cos cos ) ( e ) e b) e e c) ( e ) e 7. Verddero o flso. d) e) ( e ) ( e ) e e 5 e 5 ) d) b b b) e) y y y c) 6 8. Simplific ls siguietes epresioes ddo el resultdo e form de poteci de epoete frcciorio. ) b) c) ( ) ( 5 ) Escribe log log ( ) 4log como u solo logritmo.

59 Solucioes los ejercicios propuestos ) F m ( m) d) F b) V e) F c) F ) F l l l d) V b) V e) F c) F l l l ) V d) V b) V e) V c) V m m l l 5. ) F se se cos d) F se cos b) V e) V c) V 6. ) V d) V b) F c) F e e ( e ) e e) F e e 5 e 5 7. ) F d) F b b y b) V e) F y y c) F 8

60 ) b) c) log

61 Tem Ls Fucioes y sus Gráfics..- Defiició de Fució y Coceptos Relciodos Es muy frecuete, e geometrí, e físic, e ecoomí, etc., hblr de cierts mgitudes que depede del vlor de otrs. Por ejemplo, el áre de u cudrdo depede de l logitud de su ldo, el espcio recorrido por u móvil e u tiempo determido depede de su velocidd, el úmero de vets de u producto depede de su precio, etc. Ests situcioes se describe mtemáticmete medite fucioes. Si X e Y so dos cojutos y D u subcojuto de X, u fució (o plicció) f de Dd X e Y es u relció o correspodeci que cd elemeto 0 D le sig u úico elemeto de Y que se deotrá por f () y se llm imge por f del elemeto. Pr idicr u fució se escribirá Suele decirse que es l "vrible idepediete" y que y es l "vrible depediete" pues su vlor se obtiee como cosecueci del que se le sige l. Al cojuto D se le llm domiio, cmpo de defiició o cmpo de eisteci de f. Se idic tmbié por D (f). Al cojuto f (D) {f ()0Y / 0D} se le llm imge o recorrido de f. Se llm gráfic de l fució l cojuto de los pres ordedos {(, f ())0 X Y / 0D } Si X Y ú se llm fució rel de vrible rel. Se trtrá, por tto, de u plicció f : D d ú 6 ú. L form más simple de describir u fució es medite u epresió o fórmul mtemátic como, por ejemplo,. Est fució está defiid pr culquier úmero rel, es decir, su domiio es D ú. Tom vlores myores o igules que cero por trtrse de u cudrdo, por lo que f (D) [0, 4). Su gráfic será el cojuto de pres ordedos de l form (, ) que costituye l prábol: Tem ()

62 TIPOS DE FUNCIONES: Se llm fucioes lgebrics quélls que puede epresrse e térmios de u úmero fiito de sums, diferecis, productos, cocietes y ríces. Por ejemplo es lgebric. Ls fucioes lgebrics más comues so ls fucioes poliómics de l form, dode el etero positivo es el grdo de l fució poliómic, y ls fucioes rcioles (epresbles como cocietes de poliomios). Ls fucioes que o so lgebrics se llm trscedetes. Es decir, so fucioes trscedetes ls trigoométrics, logrítmics y epoeciles. Dd u fució f, rel de vrible rel, se dirá que f es: Creciete e u subcojuto Ad D si ddos Decreciete e u subcojuto Ad D si ddos Creciete e u puto Decreciete e u puto Dd u fució f, rel de vrible rel, se dirá que: f preset u míimo locl e f preset u máimo locl e E mbos csos se dirá que l fució posee u etremo reltivo e el puto de bscis, es 0 decir e el puto del plo (, f ( ) ) 0 0 Se hblrá de etremos bsolutos cudo l fució lcce su meor vlor (míimo bsoluto)o su myor vlor (máimo bsoluto). Dd u fució f, rel de vrible rel, se dirá que: Tem ()

63 f está cotd iferiormete e u domiio D si f está cotd superiormete e u domiio D si f está cotd e u domiio D, si lo está iferior y superiormete. Puede epresrse tmbié si, porque...- Opercioes co Fucioes. Composició de Fucioes Se f y g dos fucioes co el mismo domiio D d ú. Pr cd 0D de defie l sum, difereci y producto de f y g medite ls epresioes: De l mism form, pr cd tl que se defie el cociete como Se hblrá de l composició de dos fucioes f y g cudo ls slids de f se usds como etrds de g. Si X, Y, Z so cojutos, f u fució co domiio D (f)d X e Y y g u fució co domiio D(g) d Y e Z. Supoiedo que l imge de f está coteid e el domiio de g, es decir, I (f)d D(g), se defie l composició de ls fucioes f y g, y se represet por gbf, como l fució de D (f) e Z que sig cd elemeto 0 D (f) el elemeto del cojuto Z, g [f()]. L composició de fucioes es socitiv, es decir, hb(gbf) (hbg)bf siempre que se trte de tres fucioes que pued compoerse. Pero coviee señlr que o es comuttiv, porque e pricipio l eisteci de gbf o implic l de fbg; pero u cudo mbs composicioes eist, o tiee por qué ser igules. Así, por ejemplo, pr ls fucioes y se tedrí : Se llm fució idetidd l que sig cd elemeto él mismo. Es evidete que Tem ()

64 l compoerl co culquier otr fució o l lter. Es decir, l fució idetidd es el elemeto eutro de l composició de fucioes. Si dd u fució f, eiste otr fució que l compoerl co ell d como resultdo - l fució idetidd, se le llm fució ivers de f, represetádose por f. Es importte distiguir etre l fució ivers (ivers pr l composició) de l ivers pr el producto, que serí u fució que l multiplicrl co l fució dd, resultse el elemeto eutro pr el producto ( l fució costte que sig cd el úmero rel ). Por ejemplo, pr l - fució f () si su fució ivers es f () rc si, mietrs que l ivers pr el producto es cosec porque si cosec...- Gráfic de u Fució L represetció más complet de u fució puede obteerse dibujdo su gráfic e u sistem de dos coordeds. Tomdo el eje O pr represetr l vrible idepediete (origiles), y el eje Oy pr l vrible depediete (imágees), los putos de coordeds (,f()) costituirá u curv e dicho sistem que será l gráfic de l fució. No tods ls curvs represet u fució. Pr que sí se es ecesrio que stisfg el test de l verticl: U curv represet u fució si culquier rect prlel l eje O y cort l gráfic lo sumo e u puto (cd origil tiee u sol imge). E este cso, el domiio estrá costituido por los vlores de e los que l verticl cort l gráfic. Por ejemplo, l rect de ecució describe u fució y lo mismo ocurre co l prábol de ecució : e e m Tm Tm m e e Te Tem (4)

65 Si embrgo, o ocurre lo mismo pr l circufereci dd por prábol de ecució cuys gráfics so: y l Pr obteer l represetció gráfic de u fució deberá seguirse us puts que se describirá más delte e el Tem 4. Defiició.- Se dice que f es u fució pr y su gráfic simétric respecto del eje Oy si verific: ) ) Se dice que f es u fució impr y su gráfic simétric respecto del orige si verific: ) ) Tem (5)

66 Tem Ls Fucioes y sus Gráfics Ejercicios Resueltos Ejercicio Hll domiio e imge de ls fucioes y Solució: Como o está defiido si, es decir, si El recorrido o imge será el cojuto de todos los reles positivos icluído el cero. L fució está defiid tto pr los como pr los, luego. E l porció del domiio, l fució se comport como y pr los, el vlor de es positivo y, por tto, el recorrido de l fució es. Ests coclusioes puede visulizrse e ls gráfics siguietes: Ejercicio Cuáles so los itervlos de crecimieto y decrecimieto de ls fucioes del ejercicio terior? Preset lgú etremo locl? Solució: L fució es creciete e todo su domiio, es decir, e. El míimo se lcz e el puto y el máimo o se lcz porque crece idefiidmete. Puede decirse tmbié que está cotd iferior pero o superiormete. L fució es decreciete e y creciete e. No tiee máimo, y el míimo coicide co el de l fució. Not: E el Tem 4 se estudi l crcterizció del crecimieto/decrecimieto de u fució Ejercicios T ()

67 por el sigo de su derivd. Tmbié se d criterios pr el estudio de los etremos locles. Ejercicio Sbiedo que, hll el domiio de l fució Solució: Si sigific que por lo que deberá ser ó, lo que es lo mismo,. L primer prte de l desiguldd se verific siempre que y l segud pr culquier vlor de. Luego Ejercicio 4 Observdo l siguiete gráfic, que correspode l fució itervlos de crecimieto y decrecimieto y los etremos., idic los Solució: Crece e Decrece e Máimo locl e el puto de coordeds Míimo locl e el puto de coordeds -4-6 Ejercicio 5 Preset l fució lgú etremo e? Solució: L fució puede epresrse como, co lo que si tomrá el myor vlor posible (e culquier otro cso l 5 se le restrí u ctidd positiv). Luego el puto (0, 5) es u máimo bsoluto. Ejercicios T ()

68 Ejercicio 6 Estudi l cotció de ls fucioes ) b) c) Solució: ) o está cotd i iferior i superiormete. Como se puede observr e l gráfic, si y si b) está cotd iferiormete porque. Pero o está cotd superiormete, porque si c) está cotd, es decir, iferior y superiormete porque: Ejercicios T ()

69 Ejercicio 7 Comprueb que ls fucioes y so iverss. Solució: Se verá que l compoerls se obtiee l fució idetidd: Ejercicio 8 Dd l fució hll su ivers, si eiste. Solució: será Si o, lo que es lo mismo,. Por tto, l ivers Ejercicio 9 Idic si ls siguietes fucioes so pres, impres o igu de ls dos coss: ) b) c) Solució: ), luego es impr y su gráfic simétric respecto l orige. b) luego es pr y su gráfic simétric respecto l eje Oy. c), por tto o es pr i impr porque o coicide co l fució origil i co su opuest. Su gráfic o preset simetrís. Ejercicio 0 Preset lgu simetrí l fució? Ejercicios T (4)

70 Solució: Como gráfic simétric co respecto l orige de coordeds., l fució es impr y su Ejercicios Propuestos (Ls solucioes se ecuetr l fil).- Dd l fució, clcul:.- Hll el domiio de.- Estudi ls posibles simetrís de ls fucioes ) b) 4.- Demuestr que es u fució pr y que es impr. 5.- Determi el domiio de l fució 6.- Hll los vlores de y b pr los que verific 7.- Se ls fucioes ) Determi ls fucioes compuests b) Epres e fució de f, g y h ls fucioes. 8.- Hll l fució ivers de cd u de ls siguietes fucioes: 9.- Estudi ls simetrís, itervlos de crecimieto y decrecimieto y cotció de l fució cuy gráfic es: Ejercicios T (5)

71 Epres l fució como sum de u fució pr y otr impr. Solucioes: ) impr b) pr 5.- (-, 0) c (0, ) y b ) b) Es impr, decrece e (-4, 0)c (0, 4) y o está cotd iferior i superiormete. 0.- Ejercicios T (6)

72 Tem Límites de Fucioes..- Defiició de Límite Ide de límite de u fució e u puto: Se l fució. Si tiede, qué vlor se proim? Costruyedo - u tbl de vlores próimos, teriores (6 ) y posteriores (6 ): f () f () Luego, cudo se proim tto por l derech como por l izquierd, los vlores de se cerc cd vez más 4. Est ide se suele epresr sí: (límite lterl por l izquierd) (límite lterl por l derech) Cudo estos límites lterles eiste y so igules se dice que eiste el límite e ese puto y se escribe Dd l fució vlores que tom l fució cerc de ese vlor:, uque o está defiid e puede clculrse los f () ? Se observ que medid que los origiles se proim, tto pr vlores meores como myores que, ls imágees se cerc. Podrí decirse que el límite es l. Tem ()

73 Límites Fiitos Ituitivmete, u úmero rel l es el Límite Fiito de u fució f e u puto y 0 se escribe si pr los vlores de l vrible cercos l puto l fució f, 0 que o tiee por qué estr defiid e, tom vlores f() que se v proimdo l vlor 0 de l. Es decir, l es el límite de f e si se puede hcer que como se quier" (meor que u g ddo) si más que hcer Formlmete, se escribirá: 0 se "t pequeño "suficietemete pequeño". Límites Lterles Cudo se cumple l defiició de límite pr vlores de cercos l puto pero 0 teriores se hblrá del Límite por l Izquierd que se deotrá por decir: 0. Es Aálogmete se hblrí de Límite por l Derech si se cumple l defiició de límite pr vlores de cercos l puto pero posteriores, escribiedo: 0 0 Se deduce de ls defiicioes, que si coicide los límites por l izquierd y por l derech e u puto, l fució tiee límite e ese puto. Este resultdo proporcio u método práctico pr decidir sobre l eisteci de u límite. E el ejemplo terior, pr l fució se observb, medite l tbl de vlores, que tto el límite por l izquierd como por l derech coicidí. L defiició de límite se puede geerlizr pr hblr de límite ifiito de u fució e u puto y pr hblr de límite e el ifiito. Límites Ifiitos Se dirá que 4 es límite de u fució e el puto y se escribirá 0 si, medid que os cercmos l puto los vlores de l fució se hce t grdes como 0 Tem ()

74 quermos, es decir: Se dirá que -4 es límite de u fució e el puto y se escribirá 0 si, medid que os cercmos l puto los vlores de l fució se hce t pequeños 0 como quermos, es decir: y se escribirá E geerl, se dirá que u fució tiee límite 4 (si precisr el sigo) e el puto, 0 quermos, es decir: si los vlores bsolutos de l fució se hce t grdes como Cudo f preset e u puto u límite ifiito, se dirá que l rect de ecució 0 es u ASINTOTA VERTICAL de l gráfic de l fució. (Vése Tem 4) Límites e el Ifiito Se dirá que l el es límite de u fució e 4 y se escribirá si se puede hcer que los vlores de l fució se cerque l pr vlores de suficietemete grdes, es decir: Se dirá que l es el límite de u fució e -4 y se escribirá si se puede hcer que los vlores de l fució se cerque l pr vlores de suficietemete pequeños, es decir: Cudo f preset e u límite l e el ifiito, se dirá que l rect de ecució es u ASINTOTA HORIZONTAL de l gráfic de l fució. (Vése Tem 4) Tem ()

75 Límites Ifiitos e el Ifiito Se dice que si pr culquier k positivo, se puede ecotrr u H positivo tl que. Se dice que si pr culquier k positivo, se puede ecotrr u H positivo tl que. Se dice que si pr culquier k positivo, se puede ecotrr u H positivo tl que. Se dice que si pr culquier k positivo, se puede ecotrr u H positivo tl que...- Propieddes y Opercioes Propieddes:.- Si eiste etoces es úico..- Si u fució f tiee límite fiito e u puto, está cotd e u etoro de ese puto. Es decir, si, etoces *> 0 tl que f está cotd e ( -*, *) Si u fució f tiee límite distito de cero e u puto, etoces eiste u etoro del puto e el que los vlores que tom l fució tiee el mismo sigo que el límite. 4.- U fució compredid etre otrs dos fucioes co el mismo límite, tmbié tiee ese límite. Es decir,si f, g, h so tres fucioes tles que ( ) y, etoces eiste el. (U ejemplo práctico de plicció de est propiedd se ve e el ejercicio resuelto º ). Opercioes co Límites: Si eiste el y eiste el, etoces: - eiste el y vle - eiste el y vle - eiste el y vle siempre que - eiste el y vle - eiste el y vle Tem (4)

76 ..-Ifiitésimos e Ifiitos Se dirá que u fució f es u Ifiitésimo e u puto si. 0 Desde el puto de vist ituitivo, u ifiitésimo es u fució que se proim cero tto como se quier, si más que proimr l puto. 0 Por ejemplo, l fució es u ifiitésimo e el 0 y es u ifiitésimo e el. Se dirá que u fució f es u Ifiito e u puto si 0 Desde el puto de vist ituitivo, u ifiito es u fució que crece (decrece) tto como se quier, si más que proimr l puto. 0 Por ejemplo, l fució es u ifiito e el. es u ifiito e el 0 y l fució dd por Propieddes:.- Si f es u ifiitésimo e u puto y g está cotd e u etoro de, etoces su 0 0 producto f g es es u ifiitésimo e. 0.- Si f es u ifiito e y g está cotd e u etoro de, etoces su sum f g es es 0 0 u ifiito e. 0.- L fució f es u ifiito e si y sólo si es u ifiitésimo e Cálculo de Límites Secillos. Idetermicioes. Teiedo e cuet ls propieddes reltivs ls opercioes, y dos límites obvios: ( fució costte) y, puede cocluirse que si P() es u poliomio,. E geerl, si f es u fució cotiu, tmbié se verific que (Vése Tem ). Al operr lgebricmete co límites se preset siete csos de idetermició e los que el límite resultte o qued determido por los límites de ls fucioes que iterviee e l operció, sio que depede demás de cómo ésts tied sus límites, pudiedo icluso o eistir. Se idicrá ests idetermicioes o límites idetermidos por los símbolos: Tem (5)