ratamos con sucesiones desde bien temprano en nuestros estudios escolares: en

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1 UNIDAD Sucesioes rtmos co sucesioes desde bie tempro e uestros estudios escolres: e T Primri teemos que cotiur series, como se ls llm esos iveles, y e Secudri Obligtori trbjmos co ls progresioes ritmétics y geométrics, dos de los tipos más secillos de sucesioes E estos csos trtmos de verigur l relció que hy etre los elemetos pr hllr el térmio geerl de l sucesió o pr ecotrr u relció de recurreci Si embrgo, hor estmos iteresdos e otrs propieddes de ls sucesioes E cocreto, y ddo que so coleccioes de ifiitos úmeros, queremos sber si l sucesió se proim u úmero o si, por el cotrrio, su vlor umet o dismiuye idefiidmete De lo que se trt es de preder mejr el ifiito Este problem lo resolveremos clculdo el límite de u sucesió E el cmpo de ls sucesioes prece el úmero e, que es el úmero más importte e Mtemátics y Ciecis Prece que fue Joh Npier (0-67) quie lo mecioó por primer vez e sus tbls de logritmos, uque el ombre se lo debemos Leohrd Euler E l Uidd 8 veremos lguos de sus usos y que es l bse de l fució epoecil Joh Npier (Wikimedi Commos) Aprovechdo l prició de e repsmos los logritmos, tto decimles como eperios o turles Los eperios (e hoor Npier) tiee como bse l úmero e Isistiremos e u técic muy útil que os permite bjr los epoetes pr relizr diferetes opercioes: tomr logritmos E est Uidd didáctic os propoemos lczr los objetivos siguietes: Coocer y eteder el cocepto de sucesió Clsificr ls sucesioes de cuerdo su mootoí y cotció Coocer y eteder el cocepto de límite de u sucesió Domir el cálculo de límites de sucesioes, icluids ls idetermicioes Coocer, eteder y mejr el úmero e y su uso e l resolució de idetermicioes 6 Coocer, eteder y mejr l defiició de logritmo, sí como sber usr sus propieddes

2 Sucesioes Térmio geerl Ley de recurreci Mootoí Acotció Límite de u sucesió Álgebr de límites Idetermicioes úmero e Logritmos decimles eperios o turles Propieddes ÍNDICE DE CONTENIDOS CONCEPTO DE SUCESIÓN 6 Algus sucesioes importtes Mootoí Acotció 6 Límite de u sucesió CÁLCULO DE LÍMITES Opercioes co límites Idetermicioes Regls práctics pr el cálculo de límites 6 EL NÚMERO e 0 LOGARITMOS PROPIEDADES

3 UNIDAD SUCESIONES Cocepto de sucesió Podemos decir que u sucesió es u colecció orded de úmeros que está relciodos etre sí Por ejemplo, l colecció {,, 6, 8} represet los úmeros pres y l colecció {,, 8, 6} represet ls potecis del L primer colecció es u progresió ritmétic, e dode cd térmio se obtiee sumdo u térmio fijo (llmdo difereci) l térmio terior L segud es u progresió geométric, pues cd térmio se obtiee multiplicdo el terior por u térmio fijo (llmdo rzó) L otció hbitul es l siguiete: El primer térmio es, el segudo y sí sucesivmete L sucesió está compuest por ifiitos térmios (ttos como úmeros turles hy) desig l térmio geerl de l sucesió, que ormlmete viee ddo por u fórmul (, que so los úmeros pres, ó, que so ls potecis del ) El térmio geerl tmbié puede veir ddo por u ley de recurreci, e cuyo cso hy que coocer el vlor de, l meos, dos térmios de l sucesió pr poder escribir el resto de térmios: - + -,, (sucesió de Fibocci) Formlizdo ests ides básics podemos decir que u sucesió es u plicció que trsform úmeros turles e úmeros reles: : N R Así, l difereci etre u sucesió y u fució es que l sucesió tom úmeros turles (,, ) y l fució úmeros reles Se podrí usr l otció (), equivlete f(), pero se suele preferir l de Como y hemos visto, hy dos otcioes pr referiros u sucesió:, 0,, 0, { } { } { } Algus sucesioes importtes Mootoí Acotció Ls sucesioes que se estudi e primer lugr so ls progresioes ritmétics, pues so ls más secills de preder y mejr Como + d, + d + d + d Además so fáciles de sumr: se verific que S Ls progresioes geométrics supoe u pso delte e complejidd Ahor, r r r r Pr hllr l fórmul de l sum S se le rest r S r + r + + r Después + ( ) r r de scr fctor comú se obtiee S U cso muy importte es l sum de los ifiitos r r r térmios de u progresió geométric cuy rzó r verific que 0< r < : S r 6

4 L sum del resto de sucesioes o es t secill como e estos dos csos y su resolució coduce ls series, defiids como S ó S, que escp del ivel de este curso i i i i Ls sucesioes defiids trvés de leyes de recurreci, como l de Fibocci { 8,,,,, }, so de difícil mejo: si queremos clculr el decimoquito térmio de l sucesió de Fibocci, hy que clculr los teriores Si embrgo, e ls sucesioes defiids por u fórmul, como +, el térmio decimoquito puede clculrse directmete: + 6 Se dice que u sucesió es moóto creciete cudo + > (los térmios v umetdo de vlor) y que es moóto decreciete cudo + < (los térmios v dismiuyedo de vlor) No tods ls sucesioes so moótos Por ejemplo, lterte, o es moóto {( ) },,, { }, que es el prototipo de sucesió Observ que pr represetr u sucesió sólo ecesitmos l prte positiv del eje horizotl (los úmeros turles so positivos) Además, o obtedremos líes cotius sio putos, pues hy u slto de u úmero turl otro Los criterios que se us pr sber si u sucesió es creciete o decreciete o so ectmete los + dichos: es obvio que es creciete cudo + > 0 o, si > 0, cudo > y decreciete si + <0 ó, + si > 0, < Estos criterios o se puede plicr ls sucesioes ltertes, porque dichs sucesioes o so moótos, y se obtiee resultdos cotrdictorios Otro cocepto importte es el de cot Se dice que u úmero rel M es u cot superior de u sucesió cudo M s, _ ( N, es decir, cudo M es myor o igul que todos los térmios de l sucesió (por eso hy que ñdir el pr todo (_) que perteece (() los úmeros turles) Por ejemplo, y todos los úmeros myores que so cot superior de l sucesió El,, serí el supremo o etremo superior, porque es l más pequeñ de tods ls cots superiores, y tmbié máimo, pues perteece l sucesió Cudo u sucesió tiee cot superior se dice que está cotd superiormete U úmero rel L es u cot iferior de u sucesió cudo L, _ ( N, es decir, cudo L es meor o igul que todos los térmios de l sucesió 7

5 UNIDAD SUCESIONES Siguiedo co el ejemplo terior, 0 y todos los úmeros meores que 0 so cot iferior de l sucesió 0 serí el ífimo o etremo iferior, porque es l myor de ls cots iferiores, pero o es el,, míimo, pues o perteece l sucesió E cocreto est sucesió o tiee míimo Si u sucesió tiee cot iferior, está cotd iferiormete y si tiee cot superior e iferior, se dice que está cotd Ejemplos Escribe los primeros térmios de ls sucesioes (hst el 6º pr el prtdo d) siguietes: ) ; b) b Solució : + ; c) c ; d) d d d, d, d ),,, ( ) ( ) b) b ( ), b, b, b c) c +, c +, c +, c 9 d) d d d, d d d ( ) 7, d d d 7 ( ), d6 d d 7 0 Hll el térmio geerl de ls sucesioes: ) { 70 }; b) 8 6,,,,,,,, ; c) { 7,,,, } 9 7 Solució : ) ( ) ; ; 7 es u progresió ritmétic de difereci d + ( ) d + ( ) b b b) ; ; b b b b 8 9 es u progresió geométric de rzó r b br c) c c ( ) ; c c 7 ; c c 7 7 7; c c 9 Ls diferecis verific: d d ; d d 7 ; d d 9 7 form u progresió ritmétic de difereci d y d, cuyo térmio geerl es: d d + ( ) d + ( ) + L sucesió c verific etoces que c c+ d; d + d c c + d c+ d+ d; c c + d c+ d+ d + d c c+ d+ d + + d c+ S c+ ( ) ( ) + c ( ) + c Ls sucesioes cuys diferecis form u progresió ritmétic so de l form + b + c (poliomios de º grdo e ), por lo que veces se plte u sistem de ecucioes pr hllr los coeficietes, b y c usdo térmios de l sucesió Es fácil comprobr que el térmio geerl es correcto: o hy más que clculr los térmios coocidos medite el térmio geerl (comprueb ests tres sucesioes) 8

6 Hll el térmio geerl de ls sucesioes: 8 ),,, 6, 0, 7, 7,, ; b) ; c),,,, Solució : 8 6 ) ; 6 No es u progresió rimétic ; No es u progresió geométric Cosidermos por seprdo umerdor y deomidor El sigo egtivo se lo djudicmos l deomidor, pues prece que el umerdor crece y el deomidor decrece: NUM :{, 8,, 6, 0 } progresió ritmétic: d + ( ) DEN :{,,,, 7 } progresió ritmétic: d b ( ) 8 El térmio geerl es 8 b) Como tes se comprobrí que i es u progresió ritmétic i geométric Seprmos umerdor y deomidor: NUM :{, 7, 7,, 9} 6; 0; ; 8 d d ; d d ; d d + b + c Ls ecucioes que usmos pr verigur los coeficietes, b y c so: + b+ c ( E) ( E) + b 6 + b+ c 7 ( E) ( E) ; b 0; c ( E) ( E) + b 0 9+ b+ c 7 DEN :{,,, 8, 0 } ; ; ; ; ; ;!! El térmio geerl es b! c) Se ve que los umerdores so potecis del (empezdo por ) y los deomidores potecis del El cmbio de sigo se cosigue bie co ( ) + o co ( ) Como es positivo, el sigo viee ddo por ( ) c + + Hll el térmio geerl de ls sucesioes: ) ; b),,, ; c),,, Solució : + El térmio geerl es + ) NUM : S + (se trt de l sum de los primeros úmeros impres) 6 6 El resultdo prece etrño, pero observ que + ; ;

7 UNIDAD SUCESIONES b) NUM : ; DEN :( + ) ( + ) b + ( + ) c) c c c c ; 9 ; 7 es u progresió geométric de rzó r, c c 9 c c c r Idic si so crecietes o decrecietes ls siguietes sucesioes: ) + ; b) b ; c) c + + Solució : ) + ( + ) ( + ) + > 0, N, luego l sucesió es creciete b) como b b + b + > 0 podemos plicr el criterio pr : b + + b ( ) + b >, N l sucesió b es creciete + + c) Se trt de u sucesió lterte:,,, que o es moóto, por lo que i puede ser creciete i decreciete Es u cot superior y Solució : u cot iferior de l sucesió? + L codició de cot superior M puede escribirse como M 0, que es l iecució comprobr: 6 7 0? , N es u cot superior de + L codició de cot iferior L puede escribirse como L 0: ? + N es u cot iferior de y cudo ó, lo que es lo mismo, cudo Como l sucesió es creciete (comprueb que + ) y 0 (y que ), es el míimo de l sucesió; + o es el máimo, pues (l ecució llev que 6 ) uque sí es u úmero muy importte + + pr l sucesió: es su límite, esto es, el vlor l que l sucesió se proim l umetr el vlor de Al ser creciete, todos sus vlores será meores que el límite, por lo que éste será su supremo, que es l meor de sus cots superiores L sucesió está cotd + 0

8 7 Está cotd l sucesió +? Solució : Pr situros, clculmos los primeros térmios: 0 7,,, Prece que es creciete Lo comprobmos: ( + ) El cdidto pr cot iferior y míimo es Está cotd iferiormete por ser creciete Dejrá e lgú mometo de crecer, es decir, tedrá cot superior? Supogmos que eiste u úmero M que es cot supe- M + M rior, por lo que 0 Si M es turl, eiste y debe verificrse que M M M , que es M M M imposible L sucesió o está cotd superiormete y crecerá idefiidmete E breve diremos que su límite es ifiito Observ que si M o fuese turl usrímos el úmero turl imeditmete superior él y plicrímos el mismo rzomieto (llmdo de reducció l bsurdo) E coclusió, + o está cotd, porque sólo lo está iferiormete 8 Está cotds ls sucesioes {( ) },{( ) } y Solució :? Clrmete {( ) } Está cotd L sucesió {( ) }{,,, } i está cotd superiormete ({ 6,, } { } ), pues o lo está los úmeros pres, i iferiormete L sucesió {,, }{ + }, y que tmpoco tiee fi los úmeros impres egtivos,,,, que se puede seprr e,, (sucesió creciete y egtiv) y e (sucesió decreciete y positiv), ver,, 6 ific que, por lo que está cotd

9 UNIDAD SUCESIONES Actividdes Escribe los seis primeros térmios de ls sucesioes cuyos térmios geerles so: + + ) ; b) b ( ) ; c) c ; d) d + + Escribe los seis primeros térmios de ls sucesioes cuyos térmios geerles so: Escribe los úmeros periódicos 0, y,9999 como l sum de los ifiitos térmios de dos progresioes geométrics Dd l sucesió : + ) Rzo si es creciete o decreciete b) Puede ser u cot superior? E cso firmtivo, será su máimo? c) Puede ser u cot iferior? E cso firmtivo, será su míimo? Dd l sucesió : + ) Averigu si es creciete o decreciete b) Puede ser u cot superior? E cso firmtivo, será su máimo? c) Puede ser 0 u cot iferior? E cso firmtivo, será su míimo? 6 Dd l sucesió ( ) : ) Averigu si es creciete o decreciete b) Puede ser u cot superior? E cso firmtivo, será su máimo? c) Puede ser u cot iferior? E cso firmtivo, será su míimo? 7 Está cotd l sucesió? ( + ) + ) + ; b) b c) c ; ( + ) + ; d) d Po u ejemplo de sucesió decreciete Qué úmero puede ser u cot superior? Se puede firmr que tod sucesió decreciete está cotd superiormete? 9 Po u ejemplo de sucesió creciete Qué úmero puede ser u cot iferior? Se puede firmr que tod sucesió creciete está cotd iferiormete?

10 Límite de u sucesió Como ls sucesioes so coleccioes de ifiitos úmeros, prece oportuo sber si prtir de u vlor de los térmios so csi igules u cierto vlor o si, por el cotrrio, el vlor de dichos térmios crece o decrece idefiidmete Comprmos vris sucesioes co Clc, l hoj de cálculo de OpeOfficeOrg A tl efecto, dmos uos vlores y obteemos los térmios respectivos: b + + c 0 d 09, e, f 000,, 7,76 0,9,6 00 0,6 0, 6,8 0,,9 00,00E+006,00E #NUM! 0,00,00E+0,00E #NUM!,00E-09 Mietrs que, d y f se estbiliz e toro u vlor (coverge dicho vlor: so sucesioes covergetes), b y e o pr de crecer y c de decrecer (ests tres so divergetes) L epresió #NUM! idic que el vlor del resultdo sobreps l myor úmero co el que puede operr el progrm (se produce overflow) Observ que el progrm escribe,00e+006 por 0 6 E estos ejemplos l eisteci o o de límite está relciod co l cotció: si l sucesió es creciete y está cotd superiormete, es covergete y tiee límite fiito (cso de ) Escribiremos lim si es creciete y o está cotd superiormete, es divergete y o tiee límite fiito, sio ifiito (cso de b y e ) Escribiremos lim b, lim e si es decreciete y está cotd iferiormete, coverge y tiee límite fiito (cso de d y f ) Escribiremos lim d 0, lim f 0 si es decreciete y o está cotd iferiormete, diverge y o tiee límite fiito, sio meos ifiito (cso de c ) Escribiremos lim c Como el límite de u sucesió sólo se clcul cudo tiede ifiito escribimos lim e lugr de lim, que tmbié se us co frecueci lim Tmbié eiste sucesioes cotds si límite, pero o divergetes Es el cso de {( ) } : slt de icestemete Cuál es su límite? Niguo, porque el límite, e cso de eistir, debe ser úico Escribimos que o eiste el límite ( / ( ) ) El ifiito que usmos l derech del límite (lim b ) o es u úmero, por lo que se podrí decir que / lim b Si embrgo, se cocibe como idicció de u o cotció, de modo que su uso y mejo so posibles Así teemos que: ± k, + k si k > 0; ± k, k si k < 0; k M, 0, si k > 0 k

11 UNIDAD SUCESIONES El cocepto mtemático riguroso de límite fiito de u sucesió difiere u poco de lo dicho teriormete L defiició prte del coocimieto del vlor del límite e idic cómo proceder pr comprobr que ese vlor es ciertmete el límite: ddo u mrge de error positivo ε se ecuetr u úmero turl 0 prtir del cul los vlores de todos los térmios de l sucesió difiere de l e meos de l ctidd ε lim l ε > 0 0 N tl que si > 0 etoces l < ε Ejemplo Est defiició se lee: el límite de es igul l si y sólo si pr todo ε positivo eiste u úmero turl 0 tl que si es myor que 0 etoces el vlor bsoluto de l difereci etre y l es meor que ε Como el límite puede ser myor o meor que los térmios, se us el vlor bsoluto pr brcr mbos csos Además, cuto meor se ε, myor h de ser 0 y l ivers El límite es ifiito cudo pr todo vlor positivo M eiste u úmero turl 0 prtir del cul todos los térmios de l sucesió so myores que M lim _M > 0? 0 ( N tl que si > 0 > M Lo que idic lim es que o está cotd superiormete Ahor cuto myor se M myor será 0 L últim defiició: lim _K < 0? 0 ( N tl que si > 0 etoces < K L sucesió o está cotd iferiormete y cuto myor se K myor será 0 E l defiició de límite lo que grtiz l proimció l límite (lim I ) o l divergeci (lim ) de l sucesió es que ls iecucioes I < ε ó > M teg solució 9 Usdo ls defiicioes, demuestr los siguietes resultdos: 8 0 ) lim ; b) lim 0; c) lim ; d) lim Solució : ) lim ε > N tl que si > + < ε Hy que resolver l iecució pr ecotrr el vlor de : < + < + < + 7 ε ε ε > + > > 7 ε ε ε L relció es correct: medid que dismiuye el vlor de ε umet el vlor de Por ejemplo, si hcemos 6 6 ε 0, Así, prtir del térmio todos los difiere de e meos de 0 b) lim ε> 0 0 N 0 8 tl que si > < ε > > 0 ε ε Si ε > 0 8 Por muy grde que se l costte ( e este cso0 ), l superrá, pues uc dej de crecer mietrs que l costte tiee u vlor fijo c) lim 0 M > N tl que si > 0 > M 0 >( M) 0 0 d) lim 6 6 ε> 0 N tl que si > 6 6 < ε 0 < ε Est iecució se verific de form trivil pr culquier vlor de y de 0 0 ε>0, pues l ser u sucesió costte su límite será es mism costte

12 Cálculo de límites L defiició de límite o os permite clculr el límite directmete, pero sí os d us puts pr hllrlos Los siguietes resultdos so fáciles de compreder: lim k k, k R El límite de u costte es ell mism: lim α lim, α > 0 lim lim lim lim lim 6 k 0 0 lim 0, α > 0 lim lim lim 0 α 0, si 0< r < lim r lim 08, 0; lim, ; lim lim 0, si r > Auque o se muy correcto desde u puto de vist mtemático, está clro que k 0, se cul se el vlor de k Opercioes co límites Idetermicioes Ls regls teriores sólo sirve pr sucesioes muy secills Necesitmos más pr poder clculr el límite de culquier sucesió Ests regls se llm Álgebr de límites y so ls siguietes: lim ( ± b ) lim ± lim b : el límite de u sum (o rest) de sucesioes es l sum (o rest) de los límites de ls sucesioes lim ( b ) (lim ) (lim b ): el límite de u producto de sucesioes es el producto de los límites de ls sucesioes lim lim : el límite de u cociete de sucesioes es el cociete de los límites de b lim b, si lim b 0 ls sucesioes b lim lim : el límite de u sucesió elevd otr sucesió es el límite de l bse elevd lim b l límite del epoete Ejemplos 0 Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim( + ) ; b) lim( ) ; c) lim( ); d) lim ; e) lim ; f) lim + Solució : ) lim( + ) lim + lim, pues + b) lim( ) lim lim : l o ser u úmero, o sigue ls regls ritmétics y o sbemos hcer l rest Se trt de u idetermició

13 UNIDAD SUCESIONES c) d) lim lim lim lim ( lim ) lim e) lim + lim lim + ( lim ) lim 0 : otr idetermició : otr idetermició f) lim porque Ls regls que usmos so t secills que se plic directmete Clcul los siguietes límites de sucesioes: ( + + ) ) lim ; b) lim 6 7 ; c) lim ; d) lim ; e) lim Solució : ) lim( 0 + 7); b) lim( ) idetermició; c) lim 0 idetermició; d) lim idetermició; e) lim 0 0 Regls práctics pr el cálculo de límites E los ejemplos h precido ls idetermicioes 0,, 0,,, tods cusds porque es l o cotció y quí se efret ell mism, cero o uo Vmos ver cómo resolver ls tres primers: Idetermició : Rest de poliomios: E u poliomio todos los moomios so desprecibles frete l moomio de myor grdo Así, hremos u proimció sitótic (el sigo ) y os quedremos úicmete co el moomio de myor grdo, que es quie proporcio el vlor del límite del poliomio e cuestió: 6 7 lim( ) lim + + lim Ríces cudrds: Se multiplic y divide por el cojugdo del térmio que produce l idetermició, por lo que desprece ls ríces y se puede restr: ( + ) cojugdo: + lim( ) id lim lim id lim lim + + Idetermició : Cociete de poliomios: Se hce l proimció sitótic, queddo e el umerdor y e el deomidor los respectivos moomios de myor grdo lim id lim lim + 6

14 Idetermició 0 : Cudo se poliomios se efectú el producto y ps ser : lim 0 id lim lim L idetermició l trtremos más delte Hy que esperr Mtemátics II pr resolver l idetermició 0 y otros csos distitos los teriores Ejemplos Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) lim Solució : 7+ ; b) lim ; c) lim ) lim( ) lim 7 + b) lim id lim lim cojugdo: + + ( + ) + + c) lim( + ) id lim + + lim id lim lim lim + + Al multiplicr u biomio por su cojugdo se obtiee u difereci de cudrdos que escribimos directmete Trs usr el cojugdo suele precer u idetermició Hcemos directmete l proimció sitótic, teiedo cuiddo co los térmios del iterior de l ríz, porque puede cotribuir l límite Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) lim ; b) lim ; c) lim Solució : ) b) c) lim id lim lim id lim lim 0 + ( + ) id cojug do: lim lim lim lim

15 UNIDAD SUCESIONES E el cso de u cociete de poliomios es fácil ver que si: (*) grdo umerdor > grdo deomidor lim um ± ; de um coef mo myor grdo grdo umerdor grdo deomidor lim ; de coef mo myor grdo grdo umerdor < grdo deomidor lim um 0 de (*) El sigo del límite depede del sigo de los coeficietes de los moomios de myor grdo Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) lim ; b) lim ; c) Solució : lim + ) Hy dos sums e el límite: +, cuyo vlor es, y , que es l sum de los ifiitos 6 6 térmios de u progresió geométric co, r S r lim b) lim id lim lim 8 c) lim 9 + * () lim + lim Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ( ) id lim ) lim ; b) lim ; c) lim Solució : ) 6 8 lim id lim 8 + b) lim () * lim lim lim + cojugdo: + + c) lim + id lim lim lim lim + (*) Hy que sumr ls progresioes ritmétics tes de clculr el límite 8

16 Actividdes 0 Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) lim ; b) lim ; c) lim 9 + Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) lim b) lim ; ; c) lim ! Recuerd que ; y m m m m ( ) ( )( )!!,! 0!! Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) lim lim 7 + ; b) ; c) lim 7 6 Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) lim ; Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: b) lim ; c) lim + ) lim + + ; b) lim ; c) Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: lim ) lim ; b) lim ; c) lim Pr sber más E Mtemátics se cotempl siete idetermicioes:,, 0, 0 0 0,, y 0 El myor custe de 0 idetermicioes es, seguido por 0 (cero) 0 k k E l epresió el problem surge porque, si k > 0 ó 0, si k < 0, luego pr el vlor del límite es fudmetl cómo se cerque k cero Además, 0, si es u úmero fiito, por lo que o sbemos qué regl plicr e este cso Observ que 0 0 y que 0, por lo que si hcemos 0 etrmos e u coflicto pr elegir el resultdo 9

17 UNIDAD SUCESIONES El úmero e Hemos llegdo l úmero más importte o sólo de ls Mtemátics, sio de l turlez Aprece por primer vez e ls tbls de logritmos de Joh Npier, Jcob Beroulli d su primer vlor proimdo y Leohrd Euler comiez usr l letr e pr desigr dicho vlor El úmero e se defie como: e lim + E l clculdor e compñ l logritmo eperio, y que es l bse de dicho logritmo Pr hllr su vlor hcemos SHIFT l y obteemos e,78888 Si queremos clculr u poteci, por ejemplo e, hrímos SHIFT l Se obtiee e 0,0869 Pr qué vmos usr e e este mometo? Co él resolvemos l idetermició U resultdo muy p importte es que el úmero e tmbié puede escribirse como e lim +, siedo p u poliomio e p que tiede ifiito cudo Lo úico que cmbi co respecto l primer defiició es l rpidez co l que se proim l vlor, pero eso import poco e el límite q Otro resultdo que usremos es que + + p p q poteci otr poteci A prtir de quí podemos cocluir que lim + lim + p p y limq p q p Observ que o es más que usr l form de elevr u p p e, si limp b Y teemos u mer de efretros Cosideremos hor lim Si lim y lim b, l comprr ls bses de mbs fórmuls vemos que + y, como dividir por p p p multiplicrá l epoete b, por lo que result que: {} lim ( id ) b Aquí se us ep, que es más cómodo que e si el epoete es lrgo Pr sber más { } ep lim b q lim p q lim es lo mismo que multiplicr por, p Demostrr que + es creciete, es complicdo Se observ que sus tres primeros térmios crece: + < < 7 < Demostrr que está cotd eige utilizr el Biomio de Newto e ir cotdo cd térmio por otros que proporcio u serie cuy sum es coocid: ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !! 0

18 Lógicmete ( )<, ( ) ( )<, ( ) ( ) ( )< + < + +! +! +! + Además!,! >,!,, > < <!!! + < L sucesió,,,, es u progresió geométric de rzó L sum de los ifiitos térmios que l compoe es S r Por lo tto, lim + < + + lim < < e < Ejemplos 6 Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim + Solució : + 7 ; b) lim ; c) lim 7 + ) lim + + ep lim º ( id ) + + ( + ) ep lim ep lim e e El resultdo lo escribimos co e y o co ep b) lim ep lim º ( id ) 6 e 6 ep lim e 6 e ( id ) 7 () 7 c) lim 7 + e + ep lim ( ) º ep lim ( ) + ep lim e 7 7 () () NUM NUM DEN lim lim ; DEN DEN 7 Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim ; b) lim Solució : + + ; c) lim + + id ) lim e + ep lim ( + ) ep lim º 6 ep lim 6 ep lim e b) lim id lim ep lim º e + ep lim ep lim 7 e 0 e e

19 UNIDAD SUCESIONES id c) lim ep lim º e ( ) ep lim ep lim ep{ lim( )} e 0 e 8 Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim Solució : ; b) lim ; c) lim + ) lim , pues si r > etoces r + b) lim 0, pues si 0< r < etoces r 0 º e + + c) lim id ep lim ep lim + + ( ) + ep lim e Actividdes 6 Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim ; b) lim ; c) lim + 7 Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim b) lim c) lim ; ; Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim ; b) lim ; c) lim Qué relció debe verificr y b pr que lim lim 0 Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim ; b) lim Clcul los siguietes límites de sucesioes: ) lim ; b) lim ; c) lim 7 b 7 ; c) lim ? + 9

20 Logritmos Propieddes El logritmo e bse de u úmero b se defie como el epoete l que hy que elevr pr obteer b Mtemáticmete log b c c b Est defiició cofigur l logritmo como l ivers de l fució epoecil Como bse podemos teer culquier úmero positivo distito de y como rgumeto b culquier úmero positivo Evidetemete teemos que cotr el cojuto de úmeros que puede ser bses o el logritmo perderá su eficci Actulmete suele utilizrse tres bses: e, 0 y El se h coldo trvés de l iformátic y su sistem birio Los trdicioles h sido 0 y e, de modo que los logritmos de los que so bses tiee u escritur especil: log es el logritmo deciml (o es ecesrio escribir l bse) l o L es el logritmo eperio o turl Estos so los logritmos que usremos hbitulmete y empleremos l primer otció Pr culquier logritmo de u bse distit, hy que especificrlo: log ó log 7 Si embrgo, y ddo que los decimles y los eperios so los trdicioles, ls clculdors sólo permite clculr estos logritmos: log, l Si prece otros, hbrá que hcer u cmbio de bse como veremos más delte De l defiició de logritmo se obtiee ls siguietes propieddes: No eiste el logritmo de úmeros egtivos i del cero Cudo se trt de límites, se escribe que lim log 0 + : el límite del logritmo cudo tiede cero por l derech del logritmo es meos ifiito L epresió cero por l + derech (0 ) idic que se cerc co vlores myores que cero, es decir, positivos log El logritmo de u úmero e su propi bse es Por ello, l e, log 0,log Es trivil prtir de l defiició log < 0, si 0< < log > 0, si 0< < Si > ; si 0< < log > 0, si > log < 0, si > log 0 Observ que: ; log 0, 00; log 0 0 ; log log ( y ) log + log y b c b c b+ c L demostrció es fácil Hcemos log b ; log y c y y log y log b c log log y b+ c + + log log log y y Igul que tes: log log b b b c b c log log log log c ( ) b c y y y Demostrció: b b b ( ) log log b log

21 UNIDAD SUCESIONES Est propiedd es l que usmos cudo tommos logritmos (osotros siempre eperios) e u epresió El epoete ps multiplicdo l logritmo de l bse Así, hremos tomdo eperios l l l 0, 0677 l Eiste u lgoritmo o regl pr clculr ríces cudrds, pero o pr ríces de otros ídices Cudo o eistí l clculdor, l ríz de culquier ídice de culquier úmero se clculb medite ls tbls logrítmics, usdo est propiedd, pues covierte l rdicció e producto o divisió: l log Cmbio de bse: log l log Ejemplos tomdo eperios tbls tbls l l l 0, 907, 66 tomdo logritmos c l Demostrció: log c l cl c log l l l 9 Usdo ls propieddes de los logritmos, escribe como el logritmo de u úico rgumeto ls siguietes epresioes: ) l( + )+ l l( + ) ; b) log( + )+ log( 7 ); c) l( ) l( ) l Solució : + ) l( + )+ l l( + ) l( + )+ l l( + ) l b) log( + ) + log( 7) log00 log( + )+ log( 7) log + c) l( ) l( ) l l( ) l( ) l l ( ) ( ) 0 Usdo ls propieddes de los logritmos, desrroll ls siguietes epresioes lo más posible: ) l ; b) l ; c) log 0 Solució : + ) l l ( + ) l l l l ( ) + ( + ) + + l l( ) l ( ) b) c) l log ( ) + 0 l ( ) ( + ) log( + )+ log( + ) log ( ) l l l + l l ( ) log( + ) + log( + ) log( 0 ) log( + )+ log( + ) log0 log

22 Resuelve ls siguietes ecucioes epoeciles: ) + 7; b) ; c) e 8; d) e 0, ; e) Solució : ) b) c) l 7 l l7 0, 67 l7 tomdo eperios tomdo eperios l l l l l l + pues todo lo hce l clculdor: ( l l + ) tomdo eperios e 8 le l8 l 8, 079 l + l, No te sustes por el despeje, d) e tomdo eperios l 0, < 0 0, l 0, l 0, ± l 0, ± 0, 8 tomdo eperios + l l l e) + l l + + l l l Usdo l clculdor,, 06 Resuelve ls siguietes ecucioes logrítmics: ) l l8 l ; b) log( 6)+ log; c) log + + log + log0 Solució : Pr resolver u ecució logrítmic, escribimos mbos miembros co u solo sigo de logritmo usdo ls propieddes Después, quitmos los logritmos y resolvemos l ecució resultte: logarg() logarg ARG() ARG Es ecesrio comprobr que l solució o solucioes obteids verific l ecució iicil ) l l8 l l l8 l l l ( ) 0 0, Comprobció: Si 0 l0 o es válid Si l l8 l l l l l sí es válid 8 b) log( 6)+ log log( 6)+ log00 log log 00( 6) log , 80 Comprobció: Si 0 log + log0 log + log00 log0 log00 log00 es válid Si 80 log6 + log80 log6 + log00 log 80 log 600 log 600 es válid 00 c) log + + log + log0 log( + )+ log( ) log00 log0 log ( + ) ( ) log 0 log( ) log log( ) log 8 9 ±

23 UNIDAD SUCESIONES Comprobció: Si log o es válid Si log + log + log0 log + log0 log + log0 log00 es válid Usdo ls defiicioes de los límites, demuestr los siguietes resultdos: ) lim log ; b) lim 09, 0 ; c) lim, Solució : ) lim log M > N tl que si > log > M > 0 M Si M tomdo logritmos b) lim 09, 0 ε > 0 0 N tl que si > 0 09, < ε 09, < ε log 0, 9 < log ε log 0, 9< log ε E este pso hy que teer cuiddo l despejr, porque log 09, es egtivo Por eso hy que cmbir el sigo los dos log ε miembros de l iecució e ivertir l desiguldd: ( log 09, )> log ε > log 09, 8 Si ε 0 > 7, difiere de 0 e meos de 0 c) lim, M > 0 N tl que si > etoces, > M 0 0 Si M 0 > 89, 906 super el vlor 0 90 log M > M > M > log, tomdologritmos log, log log, log Si comprmos los resultdos de los prtdos de este ejemplo, os dmos cuet de lo rápido que decrece o crece ls epoeciles 09, y,, respectivmete, y de lo leto que crece el logritmo Usdo el cmbio de bse, clcul los siguietes logritmos: ) log7; b) log; c) log 9; d) log ; e) log 8 Solució : l7 log l9 ) log7, 807; b) log, 89668; c) log 9, 896; d) log l log l log8 e) log 8, log Tom logritmos eperios e los dos miembros de ls siguietes epresioes: + + ) y + 6 ; b) y ; Solució : ) + + y + 6 l y ) l + 6 ( c) y log, 789; log y ( ) ( b) ) ly l( ) Observ que es coveiete uificr el epoete tes de tomr logritmos + 9 c) y ly l

24 6 Aplic logritmos pr desrrollr ls siguietes epresioes: z y ) y z ; b) y ; c) z 6 9 Solució : ) y z ( y z ) ( y z ) ( y + z l l l l ) ( y + z l l ) z z z b) y ly l z z l l l + l l + ( l + lz l6) 6 6 y y y c) z lz l l l l + + ( y ) l9 l l l ly l ( + + ) Actividdes Usdo ls propieddes de los logritmos, escribe como el logritmo de u úico rgumeto ls siguietes epresioes: ) ; b) ; c) log logy + logz ly + lz l l Qué relció verific e y si: + ly lz ) l + ly 0; b) ly l 0; c) ly l 0; d) ly + l 0? Usdo ls propieddes de los logritmos, desrroll ls siguietes epresioes: y 7z ) ; b) y ; c) z 9 z 6y Usdo l defiició de logritmo, rzo cuáto vldrá log + log y y 6 Resuelve ls siguietes ecucioes epoeciles: + + ) 8; b) ; c) 7 Resuelve ls siguietes ecucioes epoeciles: , 6 9 ) e 7; b) e 8; c) 0, + 8e Resuelve ls siguietes ecucioes logrítmics: ) l l ; b) log log6 log; c) l l 6 l l Usdo el cmbio de bse, clcul los siguietes logritmos: ) log ; b) log ; c) log 0; d) log ; e) log

25 UNIDAD SUCESIONES 0 Tom logritmos eperios e los dos miembros de ls siguietes epresioes: ) y ; b) y ( + ) ; c) y + + Si log 8, cuáto vle log? Hll l relció pr log y y log 8 y Si log, cuáto vldrá log? Geerliz el resultdo pr log p cudo log 6 Recuerd ü ü U sucesió es u plicció que trsform úmeros turles e úmeros reles: : N R Hy dos otcioes pr referiros u sucesió:, 0, { } { } { 0 },, ü U sucesió es moóto creciete cudo + > o cudo + > 0 o, si > 0, + cudo > (los térmios v umetdo de vlor) y moóto decreciete cudo + < ó + <0ó, si + >0, < (los térmios v dismiuyedo de vlor) ü Si u sucesió tiee cot superior se dice que está cotd superiormete y si tiee cot iferior, está cotd iferiormete Cudo tiee cot superior e iferior se dice que está cotd ü Se puede obteer tres resultdos l clculr el límite de u sucesió: Número fiito: se trt del úmero l que se proim l sucesió medid que umet el vlor de Ifiito (): l sucesió o está cotd superiormete, diverge y crece idefiidmete Meos ifiito ( ): l sucesió o está cotd iferiormete, diverge y decrece idefiidmete ü El álgebr de límites os permite mplir el cálculo de límites So estos: lim ( ± b ) lim ± lim b : el límite de u sum (o rest) de sucesioes es l sum (o rest) de los límites de ls sucesioes lim ( b ) (lim ) (lim b ): el límite de u producto de sucesioes es el producto de los límites de ls sucesioes lim lim : el límite de u cociete de sucesioes es el cociete de los límites de b lim b, si lim b 0 ls sucesioes 8

26 lim b b lim lim el límite de u sucesió elevd otr sucesió es el límite de l bse elevd l límite del epoete ü So idetermicioes los resultdos Los resolvemos usdo: 0,, 0,, Aproimció sitótic, cojugdo (si hy ríces cudrds) Aproimció sitótic id º e { } b Número e: lim ep lim ( ) b ü El logritmo e bse de u úmero b se defie como el epoete l que hy que elevr pr obteer b Mtemáticmete log b c c b ü Los logritmos más usdos so log (logritmos decimles) y l o L (logritmos eperios o turles) ü Ls propieddes más importtes del logritmo so: log ( y ) log + log y log log log y y log log Pr sber más Si represetmos u sucesió moóto creciete y covergete sobre u úico eje, obtedrímos u gráfico como el djuto E él vemos que los térmios de l sucesió se cumul e toro l límite Est ide llevó l defiició de puto de cumulció que se us e Aálisis Mtemático y Topologí El gráfico es similr si l sucesió es moóto decreciete y covergete (solo hy que cmbir de ldo todos los térmios, pr que quede l izquierd lo que e el gráfico está l derech) El úmero e, l igul que π, es u úmero trscedete Ambos form prte de los irrcioles, lgo que y sbemos, pero, e cotr de lo que ocurre co los rdicles, o se obtiee como solució de ecucioes lgebrics, sio que trsciede el poder de los métodos lgebricos, segú plbrs de Euler L demostrció de que u úmero es trscedete es bstte complicd: se trdro bsttes siglos pr hcerlo co π; clro que esto supuso l demostrció de que l cudrtur del círculo, esto es, l costrucció de u cudrdo de igul áre que u círculo, es imposible co regl y compás, es decir, que π i es rciol (regl) i rdicl (compás) 9