Modelos de Transporte: Problemas de Asignación. M. En C. Eduardo Bustos Farías

Transcripción

1 Modelos de Transporte: Problemas de asignación M. En C. Eduardo Bustos Farías as Problemas de Asignación Problemas de Asignación: Son problemas balanceados de transporte en los cuales todas las ofertas y todas las demandas son iguales a 1. Consiste en determinar la asignación óptima de agentes u objetos indivisibles a n tareas. Son indivisibles en el sentido de que ningún n agente se puede dividir en varias tareas. La restricción n importante, para cada agente, es que será designado a una y solo una tarea. Uno de los problemas que utilizan el modelo de transporte, es el de asignación, n, el cual se refiere a la disposición n de algunos recursos (equipos o personas) para la realización n de ciertos productos o tareas a un costo diferenciado. El problema consiste en minimizar los costos por asignación n de recursos para el desempeño o de actividades. 3 Problemas de Asignación Definición n del Problema * m trabajadores deben ser asignados a m trabajos. * Un costo unitario (o ganancia) C ij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j. * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la l asignación n de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible. Supuestos restricciones * El número n de trabajadores es igual al número n de empleos. * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sólo s una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador. * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador ficticio (en el caso de que existan más m s trabajos que trabajadores) o un empleo ficticio (en el caso de que existan más s trabajadores que trabajos), quedando así el problema balanceado. 1

2 Pasos del método m húngaro: h 1. Reducción n en renglones: Elabore una nueva matriz eligiendo el costo mínimo m de cada renglón n y restándolo de cada costo de ese renglón. n.. Reducción n en columnas: Elija el elemento de costo mínimo m en cada columna y réstelo r a cada elemento de la columna. 3. Determine si la matriz es reducida: Encuentre el número n mínimo m de líneas l rectas que se pueden trazar sobre los renglones y las columnas para cubrir todos los ceros. Si este número n es igual al de los renglones (o columnas), se dice que la matriz es reducida. Continúe e al paso 5. Si el número n de rectas es menor que el de renglones (o columnas) 7 continúe e con el paso. Pasos del método m húngaro: h. Reducciones posteriores: Encuentre la menor de las celdas no cubiertas (sin línea l recta). Reste el valor de esta celda a todas las celdas no cubiertas. Agréguelo guelo al valor de las celdas que se encuentran en las intersecciones de las restas dibujadas en el paso Localización n de la solución óptima: Las celdas de costo cero se eligen, una por columna y renglón n a fin de hallar una asignación óptima. Se suman los sotos originales de las celdas con asignación n para saber el costo total. 8 EJEMPLO 1 El profesor Michell Problema de asignación 9 Solución n mediante el método m Húngaro Problema: El profesor Michell ha terminado capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud tud con la que realiza el trabajo. Además s los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla: Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith Restricciones del MétodoM * Solo problemas de minimización. n. * Número N de personas a asignar m es igual al número n de lugares m. * Todas las asignaciones son posibles * Una asignación n por persona y una persona por asignación Matriz de Costos Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith Restar el Menor valor de cada fila Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith

3 Trazar el mínimo m número n de líneas l que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior. Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith Si el número n de líneas l es igual al número n de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás s números n no rayados y sumarlo en las intersecciones. Capítulos Secretaría a Juana María Jackeline Edith Se obtuvo la asignación óptima. Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Juana Cap.. 13 María Cap.. 1 Jackeline Cap.. 15 Edith Cap.. 1 Para este caso corresponde al valor 13 *Costo Asignación: n: =10 1 Casos especiales * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particular * Un problema de maximización. EJEMPLO Electrónica Ballston Problema de asignación 15 1 Electrónica Ballston Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción n que necesitan ser inspeccionadas. El tiempo para realizar una buena inspección n de un área depende de la línea l de producción n y del área de inspección. n. Datos * Tiempo de inspección n en minutos para la línea l de ensamble de cada área de inspección. n. Area de Inspección A B C D E Linea Ensamble La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección n a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo. m 3

4 RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA Línea de ensamble S 1 = S = Área de Inspección A D 1= 1 B D =1 SOLUCIÓN N CON WINQSB S 3 =1 3 C D 3 =1 S =1 D D =1 S 5 =1 5 E D 5 =

5 EJEMPLO 3 PROBLEMA DE ASIGNACIÓN 5 La gerencia general de la compañí ñía PROTAC, como parte de su auditoria anual, decidió que cada uno de los cuatro vicepresidentes visite e inspeccione una de las plantas durante las primeras semanas de octubre. Se desea generar una asignación óptima. Indique el costo asociado. F = vicepresidente de finanzas M = vicepresidente de mercadotecnia O = vicepresidente de operaciones P = vicepresidente de personal Pi =Plantas 1,, 3 y 7 8 Solución SOLUCIÓN Enumeración n completa Usar el método m húngaroh a) Por enumeración n completa, se hace una lista de las posibles soluciones, se calcula su costo asociado y se escoge la mejor

6 a) Enumeración n completa b) Método M HúngaroH F puede asignarse a cualquiera de las plantas M puede enviarse a cualquiera de las 3 plantas restantes O puede enviarse a cualquiera de las planta restantes P se asigna a la única planta disponible Formulación n matemática tica del modelo de Asignación 35 Existen n personas las cuales pueden desempeñar cualquier actividad de un conjunto de n actividades y conocemos el costo cij de asignación n de la actividad i a la persona j. i = 1,,, m j = 1,,, n El problema es determinar de todas las asignaciones posibles, las de costo total mínimo. 3

7 3. Restricciones: 1. Variables de decisión: xij = 1, si la actividad i es asignada a la persona J 0, si i no es asignada a j. Función n objetivo: Mín Z = m n i= 1 j= 1 C ij x ij

8 3 5 OFERTA DEMANDA 7 8 8

9 Para maximizar utilidades, aun deseando escoger el renglón n 1, optaríamos amos por el renglón n D porque 5 es ahora la mayor utilidad disponible (ver figura 7.). Para minimizar costos de oportunidad, también n elegiríamos el renglón n D porque 15 es el menor costo disponible (ver figura 7.5) Este ejemplo ilustra por qué la minimización n de costos de oportunidad conduce a una solución n que maximiza las utilidades. Ahora podemos aplicar el método m húngaro en la manera acostumbrada sobre la matriz de costos de oportunidad. (ver figura 7.5)

10 Programación n de pilotos PROBLEMA DE ASIGNACIÓN SOLUCIÓN

11 7 7 1 EJERCICIO PARA RESOLVER Problema de asignación 3 Desarrolle una representación de red para el problema. Indique el modelo de programación lineal asociado y resuélvalo por simplex. Resuélvalo por el método húngaro. El gerente de la línea l de producción n de una empresa electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Existen cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de línea l tiene a su disposición n datos de prueba que reflejan una calificación n numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajos. Estos datos se obtuvieron a través s de un examen de operación n y prueba administrado por el departamento de ingeniería a industrial (véase la tabla siguiente). Suponiendo que un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima de tareas. Resuélvalo. 5 Número de operador Número de trabajo

12 SOLUCIÓN Problemas de Transbordo

13 Problemas de Transbordo Son problemas de transporte en los que se agregan puntos de transbordo. Los puntos de transbordo son puntos que pueden tanto recibir mercadería de otros puntos como enviar mercadería a otros puntos. 73 Es una extensión n al problema de transporte en el cual se agregan nodos intermedios (nodos de transbordo), para tomar en consideración localizaciones, como por ejemplo almacenes. En este tipo más m s general del problema de transporte de distribución, los embarques pueden ser efectuados entre cualquier par de tres tipos generales de nodos: de origen, de transbordo o de 7 destino. Características La oferta o suministro disponible en cada origen es limitada. En cada destino la demanda está definida o especificada. El objetivo en el problema de transbordo es de determinar cuantas unidades deberán n embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandas-destino destino se satisfagan al costo de transporte mínimo posible. Ejemplo 75 7 SOLUCIÓN Encontrar la formulación de programación lineal para el problema de transbordo planteado en el modelo de redes, tal que minimice los costos de transporte

14 Oferta Plantas (origen) Almacenes (transbordo) Distribuidores (destino) Demanda Variables de decisión: xij = número n de unidades embarcadas del origen i al destino j, pasando por los nodos de trasbordo que se especifican. i = 1,, 3, j = 5,.., 8. Función n objetivo: Mín Z = x13 + 3x1 + 3x3 + x35 + x3 + 3x37 + x38 + x5 + x + x79+ 5x8 3. Restricciones a) De los nodos origen: x x b) De los nodos de transbordo: x x 13 1 x x = 0 = 0 80 x x x x c) De los nodos destino: = 00 = 150 = 350 = 300 Ejemplo Problemas de transbordo x ij ij

15 Variantes del problema de trasbordo Igual que en los problemas de transporte se pueden formular problemas de trasbordo con varias variantes: Suministro total no igual a la demanda total Maximización n de la función n objetivo Rutas con capacidad limitada Rutas inaceptables

16 Variantes al problema de transporte Las modificaciones a los modelos de programación n lineal requeridas para aceptar estas variaciones son idénticas a las que se mencionaron para el problema de transporte. Oferta no igual a la demanda total: Se agrega una columna de holgura en la tabla de transporte y se le asignan ceros en los costos. Rutas con capacidad limitada: En la formulación de programación n lineal del problema de transporte también n puede tomar en consideración n capacidades o cantidades mínimas para una ruta. Así : Para capacidad xij <= 1000 Para montos mínimos m de ruta xij >= Rutas no aceptables: Quizás s no pueda ser posible establecer una ruta desde cualquiera de los orígenes hasta cualquiera de los destinos. A fin de manejar esta situación, hacemos desaparecer el arco correspondiente en la formulación n de la programación n lineal. Maximización n de la función n objetivo: En algunos problemas de transporte, el objetivo es encontrar una solución n que maximice la utilidad o los ingresos. Empleando valores de la utilidad o de ingresos unitarios como coeficientes de la función objetivo, resolvemos un problema lineal de maximización n en vez de uno de minimización. n. Este cambio no afecta a las restricciones. Otro método m empleando la tabla de transporte es construir la matriz de costos de oportunidad. Costo de oportunidad es el costo en que se incurre por no haber tomado la mejor decisión o por no haber hecho la mejor elección n posible En el contexto de un problema de transporte que impide maximización, el costo de oportunidad para una celda es la diferencia entre su utilidad y la utilidad de la celda de esa columna que sea mayor. El costo de oportunidad es el costo en que se incurre al no transportar todo por la ruta que arroje las mayores utilidades. 95 EJEMPLO 1 Maximización 9 1

17 Maximizar las utilidades totales de la ruta de transporte que se muestra. Aquí los valores de los recuadros son utilidades (dólares por unidad). SOLUCIÓN Se construye la tabla de transporte con los costos de oportunidad, se encuentra una SBFI y se procede con el cálculo c de los índices de mejoramiento Problema para resolver Los valores de las variables en la tabla óptima se multiplican por las utilidades de la tabla original y se suman para calcular la utilidad total. x11 = 00 * 5 = 1000 x1 = 50 * 3 = 150 x = 00 * = 00 x3 = 150 * = 00 Z= Transbordo 10 17

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