Clase 3. Procesos estocásticos en Teoría de la señal.

Transcripción

1 1 Introducción Clase 3. Procesos estocásticos en Teoría de la señal. Como ya se comentó en la clase anterior, el ruido es una señal inherente a cualquier transmisión de telecomunicación. El ruido es una señal que aparece por múltiples causas, todas ellas incontrolables. En realidad, podríamos imaginarnos cada realización del ruido {ε t } t R, en cada instante t como la agregación de los valores de muchas variables independientes: ε t = X 1t + X 2t + + X kt, por el Teorema Central del límite, para distintas realizaciones del ruido tendremos que ε t es una distribución normal. De ahí que el ruido se diga gaussiano, por otra parte, es deseable que fijado el instante t, tengamos que E[ε t ] = 0 y V ar[ε t ] = σ 2, puesto que esto significa que en media la distorsión es nula y los efectos distorsionantes se mueven en una banda fija. Finalmente, hay una tercera propiedad deseable y es que en distintos instantes de tiempo, los ruidos se comporten de modo independiente, es decir, si fijamos dos instantes de tiempo E[ε t ε t ] = 0. Con ello garantizamos que si hay una distorsión puntual esta no se lleva arrastrando en el transcurso del tiempo, afectando, por tanto, a la calidad de la transmisión. En definitiva, lo que hemos planteado en el párrafo anterior es, de nuevo, la definición de ruido blanco gaussiano. Por su importancia en la transmisión de señales es fundamental conocer técnicas que permitan detectarlo y este será el objetivo central de la clase de hoy. 2 Conceptos teóricos Recuerda que cuando en un proceso estocástico fijamos t, entonces disponemos de una variable aleatoria. Si obtenemos n variables aleatorias en otros tantos instantes de tiempo, sus propiedades estadísticas (media, varianza, covarianza, etc) se obtendrán a partir de su densidad conjunta. Un proceso aleatorio se dice estacionario en el tiempo cuando sus propiedades estadísticas no cambian en el tiempo. Existen distintos grados de estacionariedad, a menudo difíciles de comprobar en la práctica. Proceso estacionario de orden 1: su función de densidad no cambia al desplazar el origen de tiempos. Es decir, si f(x, t) es la función de densidad de la variable aleatoria X t, entonces f(x; t) = f(x; t + ), > 0. 1

2 Consecuencia:Un proceso estocástico que sea estacionario de orden 1 cumple que para cualquier instante de tiempo t en el que paremos el proceso se tiene que E[X t ] = µ y V ar[x t ] = σ 2, donde µ y σ 2 son constantes (no dependen de t). Proceso estacionario de orden 2: la función de densidad conjunta de cualquier par de variables X t1 y X t2 cumple para cualquier valor real > 0: f(x 1, x 2, t 1, t 2 ) = f(x 1, x 2, t 1 +, t 2 + ). Consecuencia: Fijados dos instantes de tiempo cualesquiera se tiene que la función de autocorrelación sólo depende de la distancia entre los dos instantes de tiempo. R XX (t 1, t 2 ) = E[X t1 X t2 ] = (τ = t 2 t 1 ) = R XX (τ) Proceso estacionario en sentido amplio: Es la acepción de estacionariedad más utilizada en la práctica. Aunque no es tan restrictiva como la estacionariedad de orden 2, mantiene alguna de sus propiedades. Diremos que un proceso es estacionario en sentido amplio cuando: E[X t ] = µ, E[X t X t+τ ] = R XX (τ), t, τ 0. Proceso estacionario en sentido estricto:cuando es estacionario para cualquier orden k. Ejercicio: Demuestra que siguiente proceso aleatorio es estacionario en sentido amplio, suponiendo que A y ω 0 son constantes y Θ se distribuye uniformemente en (0, 2π): X(t) = A cos(ω 0 t + Θ) Procesos estacionarios conjuntamente:dados dos procesos aleatorios X(t) e Y (t), decimos que son estacionarios conjuntamente en sentido amplio si cada uno de ellos tiene media constante y además R XY (t 1, t 2 ) = R XY (t, t + τ) = R XY (τ). En lo sucesivo, asumiremos que trabajamos con procesos estacionarios en sentido amplio. A continuación se presentan realizaciones de diversos procesos, se trata de que para cada realización detectes si el proceso es estacionario en sentido amplio y en 2

3 caso de que no lo sea, transformes el proceso de modo adecuado para conseguir al estacionariedad. Nota: si un proceso no es estacionario en media, conviene aplicar la transformación diferencia; si no es estacionario en varianza, conviene aplicar la transformación logarítmica. Otras transformaciones matemáticas también pueden ser de utilidad (transformaciones de Box-Cox). Ejercicio: en el fichero datos.txt tienes, en cada columna, una realización de un proceso estocástico diferente. En este ejercicio debes realizar la correspondiente representación gráfica y las transformaciones que estimes necesarias para que la realización transformada se corresponda a un proceso estacionario en sentido amplio. Realización 1 (prices): serie de precios recogida en días consecutivos. Realización 2 (eur libra): serio de cambios de moneda del euro a la libra en días laborables consecutivos. Realización 3 (robos): serie mensual de robos denunciados en Boston desde enero de Realización 4 (cotiza): valores trimestrales desde el primer trimestre de 1955 que representan el porcentaje de ahorro de las familias americanas. Realización 5 (natali): tasa de natalidad anual de España desde Promedios temporales y ergodicidad Hasta el momento hemos parado un proceso en un instante de tiempo t, por lo que las propiedades que estudiamos requieren que dispongamos de distintas realizaciones para poder comprobar con técnicas estadísticas que se cumplen las propiedades señaladas. Sin embargo, muchas veces solo disponemos de una realización y nos planteamos... en qué casos y cómo se comprueban las propiedades anteriores que afectan a todo el proceso en su conjunto con una única realización?. Consideramos una realización del proceso, x(t), definimos: 1 Promedio temporal: A[x(t)] = lim T 2T T T x(t)dt 1 Función de autocorrelación temporal: R XX (τ) = A[x(t)x(t+τ)] = lim T 2T 3 T T x(t)x(t+τ)dt

4 Observa que la expresiones anteriores se pueden calcular para cada realización y los valores que toman irían cambiando. Así pues, son variables aleatorias. Supongamos que disponemos de un proceso estacionario en sentido amplio, entonces: E[A[x(t)] = µ E[R XX (τ))] = R XX (τ) Procesos ergódicos: Un proceso estocástico es ergódico cuando A[x(t)] y R XX (τ) son constantes para cualquier realización x(t) del proceso. En consecuencia: A[x(t)] = µ, R XX (τ) = R XX (τ). (1) La ergodicidad es una propiedad muy difícil de comprobar en la práctica. Primero, requerimos de un proceso estacionario en sentido amplio y, después, hay que asumir que una realización del proceso es un representante adecuado del proceso global, es decir, cualquier otra realización generaría resultados del tipo promedio temporal iguales. No obstante, como en la estacionariedad, existen grados de ergodicidad que son muy asumibles en la práctica. Proceso ergódico respecto a la media y a la autocorrelación: dado un proceso estacionario en sentido amplio se satisface (1). Theorem 3.1. Sea {X(t)} un proceso estacionario en sentido amplio. Sea 1 T T C XX (τ) = lim T 4T 2 (x(t) µ)(x(t + τ) µ)dtdτ, T T entonces el proceso es ergódico respecto a la media si a) C XX (0) < y C XX (τ) 0 cuando τ. b) C XX(τ) <. y también es ergódico respecto a la correlación si en las dos condiciones anteriores reemplazamos el proceso X(t) por W (t) = X(t)X(t + λ), para cualquier λ > 0. 4 La función de autocorrelación Esta función ya la hemos presentado en la sección anterior y en el caso de procesos estacionarios en sentido amplio es igual a R XX (τ) = E[X t X t+τ ]. Las propiedades de la función de autocorrelación son: 1. R XX (τ) R XX (0) 4

5 2. R XX (τ) = R XX ( τ) 3. R XX (0) = E[X 2 (t)] 4. Si el proceso es ergódico sin componentes periódico lim τ R XX (τ) = µ Si X(t) tiene un componente periódico, también lo tendrá R XX (τ) con el mismo periodo. 6. La función de autocorrelación no tiene una forma arbitraria La función de autocorrelación da mucha información sobre la serie en estudio. En general, trataremos de trabajar con series estacionarias en media y, si es el caso, en términos en desviaciones, es decir, con media igual a cero. En consecuencia, por la propiedad 4 tendremos que la función de autocorrelación debe converger a cero. Asimismo, tiene que ir decreciendo y el valor en el cero, cuando la media es nula, es la varianza del proceso estacionario. Para las series del ejercicio anterior, calculamos la función de autocorrelación muestral. Ejercicio 2: Estudia la función de autocorrelación muestral para las series del ejercicio anterior. Comprueba que si las has transformado para obtener estacionariedad, la función transformada satisface las propiedades teóricas de la función de autocorrelación. Ejercicio 3: Describe la función de autocorrelación de la serie AirPassengers, que ya se encuentra incluida en el paquete. Ejercicio 4: Sea X t es un proceso estacionario en sentido amplio con función de autocorrelación R XX (τ) = e a τ, donde a > 0 es una constante. Si la labor de X t es la de modular una onda cos(ω 0 t + Θ), donde ω 0 es una constante y Θ es una v.a. aleatoria independiente de X t y con distribución uniforme en ( π, π), cuál es la función de autocorrelación de Y t = X t cos(ω 0 t + Θ). Nota: cos(ω 0 t + Θ) cos(ω 0 t + ω 0 τ + Θ) = cos(ω 0 τ) + cos(2ω 0 t + ω 0 τ + 2Θ) Ejercicio 5: Calcula la función de autocorrelación de un ruido blanco. Ejercicio 6: Contrasta el ruido blanco para las series anteriores. Ejercicio 7: 5

6 Considera el proceso estocástico: X t = 2 cos(2πt) + ε t, 1 < t < 1 donde ε t es un proceso de ruido blanco con función de autocorrelación R ε (τ) = 0.01δ(τ). a) Implementa un programa en R que genere realizaciones de este proceso. b) Para una de estas realizaciones obtén con R la función de autocorrelación. c) Obtén en R la correspondiente función espectral de densidad de potencia. d) Tiene algún grado de estacionariedad el proceso anterior? e) Comprueba que el ruido generado es, efectivamente, blanco. 6