Factorización LU de matrices cuadradas

Transcripción

1 Fctorizción LU de mtrices cudrds Antes de comenzr ver este tem convendrí hcer un repso de s nociones de mtrices: Operciones con mtrices (Sum de mtrices, producto por un escr). Mtrices cudrds, mtriz invers de un mtriz. Mtriz fi, mtriz coumn. Mtriz digon, mtriz tringur. En concreto, sobre este útimo specto tenemos: ) Mtriz digon: d d D 0 0 d d 44 b) Mtriz tringur superior (Upper tringur): U u u u u 0 u u u 0 0 u u u c) Mtriz tringur inferior (Lower tringur): L En os tres csos citdos e determinnte de mtriz es e producto de os eementos de digon. Mtriz estrictmente dominnte digonmente. Se dice que un mtriz es estrictmente dominnte digonmente si cumpe: ii n i1 i j ij Ls mtrices estrictmente dominntes digonmente son no singures (su determinnte es no nuo), demás pueden resoverse por eiminción gussin sin intercmbio de fis y por tnto pueden siempre fctorizrse en form A = L.U.

2 Ejempo de mtriz estrictmente dominnte digonmente: A Pr un mtriz cudrd A es muy úti descomponer como producto de un mtriz tringur inferior por un tringur superior: A = L. U L fctorizción L.U de un mtriz cudrd tiene siguiente ventj: A operr con un sistem en form A. x = b, si expresmos A = L. U tendremos: Y hor podemos poner: L. U. x = b U. x = L -1. b Y teniendo en cuent que U es tringur y L -1 tmbién es tringur, soución de sistem se imit : 1 1 ) L. b y U. x L. b b) U. x y Es decir, se resueven dos sistems tringures (más simpe y excto que resover uno no tringur): en ) se obtiene y, finmente en b) se obtiene x. L fctorizción LU de un mtriz cudrd A se podrí hcer por e método de Guss (consutr s pg de Curso de Métodos Numéricos de Virgini Muto), sin embrgo hy otros métodos como e de Dooitte, e de Crout, y e de Choesky. LU u11 u12 u13 u u22 u23 u u u u

3 Observd rrib que conocid A, tendrímos 16 ecuciones con 20 incógnits: ij, u ij, sin embrgo, nosotros podemos dr cuquier vor 4 de es. Así hy dos métodos que se sueen utiizr: ) Método de Dooitte: se tomn os cutro eementos de digon de L como 1, ii =1. b) Método de Crout: se tomn os cutro eementos de digon de Ucomo 1, u ii =1. Nosotros quí seguiremos e método de Dooitte, con un ejempo. Se dd A, entonces es sencio hr L y U, sin más que resover un sistem: u11 u12 u13 u14 0 u22 u23 u 24 U 0 0 u33 u u L A L form de operr mnumente es: - 1) Considerr e desrroo de os eementos de primer fi de A. - 2) Considerr e desrroo de os eementos de primer coumn de A. - 3) Considerr e desrroo de os eementos de segund fi de A. - Etc. etc. Es decir, u11 6, u12 2, u13 1, u14 1 uij Ahor continumos con: 21u11 2, 31u11 1, 41u11 1 u11 Así obtenemos: 21 1, , j 11

4 Hst hor tenemos: u11 u22 u23 u 24 U 0 0 u33 u u / L A 1/ / Seguirímos con siguiente fi de U: 1 u u u ( u ) u u u ( u ) En reidd pr obtener segund fi de U sirve siguiente fórmu: i1 1 2 j 2 j 2k kj 22 k 1 u u (j=1,, 4) Pr un fi i-ésim de U servirí: i1 1 uij ij ikukj ii k 1 De un mner náog, coumn i-ésim de L se ccu por fórmu: i1 1 ji ji jk ki u ii k 1 u

5 ALGORITMO DE FACTORIZACIÓN DE DOOLITTLE. Entrd: Eementos de A. Tomremos inicimente L= eye(4), U = zeros(4). Sid: Mtrices L y U, producto L*U. Pso 1: Pr j = 1,, n tomr: 1 j uij (primer fi de U). 11 (primer coumn de L). u11 Pso 2: Pr i = 2, 3,, n-1 seguir pso 3. Pso 3: Pr j = i+1,, n tomr: 3-A: 4-A: i1 u u ; ii ii ik ki k1 i1 u u ; ij ij ik kj k1 i1 1 ji ji u ii k 1 jk ki 5-A: u ; Pso 4: Pr e útimo término, u n,n : Tomr: n1 u u nn nn nk kn k 1 Pso 5: (Sid): Despegr L, U y L*U.

6 MÉTODO DE CHOLESKI En e cso de que mtriz A, n x n, se simétric y definid positiv (X t. A. X > 0), entonces A dmite un fctorizción en form A = L.L t, siendo L tringur inferior. t L. L Los 10 eementos de L se obtienen prtir de os eementos conocidos de A: Agoritmo de Choeski Entrd: Mtriz A, L = zeros(n) Sid: Mtriz A, Mtriz L, Mtriz producto L*L t. Pso 1: Tomr Pso 2: Pr j = 2,, n tomr, 11 Pso 3: Pr i = 2,, n-1 seguir os psos 4 y 5. Pso 4: Tomr i1 2 ii ii ik k1 Pso 5: Pr j = i+1,, n tomr: i1 1 ii k 1 ji ji jk ik Pso 6: Tomr n1 2 nn nn nk k1