Resolución de sistemas lineales

Transcripción

1 Capítulo 2 Resolución de sistemas lineales 2. Introducción Básico La mayor parte de este escrito trata sobre la forma en que las ecuaciones de campo son aproximadas por sistemas de ecuaciones algebraicas. Estos sistemas son muy a menudo sistemas lineales. Cuando no son sistemas lineales, su resolución suele requerir la de varios sistemas lineales. Por todo ello, las técnicas numéricas de resolución de estos sistemas son de una importancia crucial. El tratamiento sistemático de estos procedimientos hace muy conveniente, de hecho casi imprescindible, el que estos sistemas lineales se planteen de forma matricial. Así pues, se puede reescribir el párrafo anterior diciendo que este capítulo trata de la resolución del sistema Ax = b (2.) A, la matriz del sistema, es una matriz cuadrada que depende de la ecuación a resolver y, naturalmente, del método escogido. El término independiente b depende del valor de las condiciones de contorno y de la densidad de carga (o de fuerzas volumétricas, o de generación de calor) dentro del dominio. x es, naturalmente, la incógnita, los valores del campo. Una característica muy importante de la matriz A es que casi todos sus elementos son nulos. Por ejemplo, la figura 2. muestra la malla de elementos finitos utilizada para analizar el flujo alrededor del ala de un avión y la matriz A que tiene asociada. Se ha dibujado un punto en la posición de todos los elementos de la matriz cuyo valor es distinto de cero. Obsérvese que exigua minoría constituyen. Una matriz con esta característica es llamada rala o cuasivacía. Esta característica ofrece la posibilidad de tratar matrices de mucha mayor dimensión de En inglés, sparse. Cierta similitud fonética parece haber llevado en ocasiones a traducirlo (erróneamente) como dispersa.

2 4 CAPI TULO 2. RESOLUCIO N DE SISTEMAS LINEALES The adjacency matrix nz = 288 Figura 2.: Ala de avio n, su malla y su matriz asociadas. lo que serı a de otra forma posible. Por ejemplo, es posible almacenar solamente los elementos que sean distintos de cero, junto con sus posiciones. En el caso de la matriz del ejemplo, de dimensio n 7 y con 5 elementos no nulos, no es necesario almacenar 7 7 =, 5, posiciones de memoria, sino que bastan con 5 =,5 posiciones ( para el valor del elemento y dos para su posicio n en la matriz). De hecho, no es solamente la necesidad de memoria la que se puede reducir de una forma muy marcada, sino tambie n el tiempo de co mputo requerido. Son ası las te cnicas de resolucio n de sistemas ralos las que hacen posibles el tratamiento de problemas que no sean de dimensio n muy reducida. Existen tres tipos de me todos fundamentales para la resolucio n de sistemas lineales: los directos, los iterativos y los semidirectos. Los me todos directos resuelven las ecuaciones en un nu mero finito de pasos. Los me todos iterativos van mejorando una estimacio n inicial de la solucio n (a menudo x = ), aunque sin llegar jama s a la solucio n exacta. Tienen, sin embargo, menores requerimientos de memoria que los me todos directos. Los semidirectos pueden, en principio, resolver tambie n el sistema en un nu mero finito de pasos, pero en su planteamiento y ana lisis son ma s parecidos a los iterativos. El resto del capı tulo explicara algu n me todo, o algunos me todos, pertenecientes a cada categorı a. Son, de todas formas, los ma s usados en la resolucio n nume rica de campos. 5 4

3 2.2. MÉTODO DIRECTO: LA FACTORIZACIÓN LU Método directo: la factorización LU Básico Un método directo es un método que alcanza la solución tras un número finito de pasos. De todos ellos, el más empleado en el problema que aquí se trata es una generalización del método de eliminación de Gauss conocida como factorización LU. En el resto de la sección se explica la factorización de Gauss en el contexto de las matrices llenas. Después se exponen las modificaciones necesarias para su aplicación a matrices ralas Factorización LU de matrices llenas La eliminación de Gauss (y la factorización LU) se basan en una observación aparentemente trivial: es muy fácil resolver un sistema lineal cuando la matriz A es triangular. En efecto, si se tiene un sistema como x x 2 x x 4 5 (2.2) se puede resolver primero x de la primera ecuación (la primera fila), conocido x se resuelve x 2 de la segunda, conocidos x y x 2 se puede resolver x de la tercera, y así sucesivamente. Evidentemente, se puede proceder así porque la matriz del sistema tiene elementos no nulos solamente por debajo de la diagonal principal (los elementos a ij, con i j). Si la matriz fuera triangular superior (elementos no nulos solamente por encima de la diagonal superior) se podría proceder de la misma forma, salvo que se tendría que comenzar por la última componente de x, en vez de por la primera ( compruébese!). Esta observación no dejaría de ser trivial sino fuera por que toda matriz A no singular se puede escribir como el producto de una matriz triangular inferior por una superior: A = LU (2.) Es costumbre denotar al factor triangular inferior por L (del inglés lower) y al superior por U (de upper). La factorización LU es, esencialmente, el procedimiento de cálculo de estos dos factores a partir de la matriz A. Supóngase entonces que se ha logrado calcular L y U. Ahora la resolución del sistema Ax = b es inmediata. En efecto, este sistema es equivalente a Consideremos también el sistema LUx = b (2.4) Ly = b (2.5) Como este es un sistema triangular inferior, es fácil de resolver. La solución es y = L b. Además, de la ecuación (2.4) Avanzado

4 6 CAPÍTULO 2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Ux = L b = y (2.6) Pero esto vuelve a ser una ecuación con matriz triangular!. Como y es conocida (se ha resuelto (2.5)), es ahora fácil calcular x. En resumen, se han resuelto sucesivamente los sistemas Ly = b (2.7) Ux = y (2.8) El primer sistema es triangular inferior, luego las incógnitas se resuelven iendo de la primera a la última. El segundo es triangular superior, en el que las incógnitas se resuelven de la última a la primera. Es por esto que el procedimiento completo se conoce por la substitución hacia delante y hacia atrás. El problema que queda es, naturalmente, el cálculo de los factores L y U. Es esta la tarea, con mucho, más complicada y costosa del procedimiento. La técnica consiste en ir eliminado sucesivamente los elementos de A que se encuentren por debajo de la diagonal. Quizá la forma más sencilla de explicarlo es mediante un ejemplo. Supóngase así que se desea factorizar la matriz A = (2.9) Considérese el elemento (2,) (segunda fila, primera columna). Este elemento (un ) está por debajo de la diagonal principal e impide, por tanto, que la matriz A sea diagonal superior. Para eliminar este elemento, se puede premultiplicar por una triangular inferior: l 2, l 2, 4 l 2, 2 l 2, (2.) El término l 2, se escoge de manera que anule al término (2, ) de la nueva matriz, es decir l 2, = l 2, = (2.) Luego, (2.2)

5 2.2. MÉTODO DIRECTO: LA FACTORIZACIÓN LU 7 Ahora, obsérvese que = (2.) En realidad, es en general cierto para todas las matrices triangulares inferiores formadas por una diagonal de s y un solo elemento adicional debajo de la diagonal, que su inversa es ella misma salvo por el elemento adicional que cambia signo. Se sigue así de (2.2) que: A = L A (2.4) La matriz A tiene todavía un elemento en la primera columna por debajo de la diagonal distinto de : el de la cuarta fila. Procediendo de manera análoga a la anterior se tiene: A = L 2A 2 (2.5) Nótese que la matriz L 2 no afecta más que a la cuarta fila de A 2. Por tanto, no puede cambiar los ceros de las filas segunda y tercera a algo no nulo. Esto es, naturalmente, lo que se pretende. En todo caso, ya no hay elementos a eliminar en la primera columna de A 2. En la segunda columna el elemento (, 2) es distinto de cero (2). Así, se tiene: A 2 = L A (2.6) Hay que notar ahora que la matriz L no afecta a la primera columna de A. Es por esto que se ha comenzado por eliminar la primera columna, y por lo que una vez que se elimine la segunda se comenzará por la tercera. Las matrices L s que afectan a cada columna no pueden modificar las columnas anteriores. En A el elemento (4, 2) es distinto de cero. Por tanto, se elimina:

6 8 CAPÍTULO 2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES A = A 4 = L 4A 4 (2.7) Finalmente, solo queda eliminar el término (4, ) de A 4. De aquí resulta: L 5U (2.8) U es una matriz triangular superior. Ahora, de todo lo anterior se sigue: A = L A = L L 2 A 2 = L L 2 L A = L L 2 L L 4 A 4 = L L 2 L L 4 L 5 U (2.9) Por otra parte, el producto de matrices triangulares inferiores es triangular inferior. Luego L L 2 L L 4 L 5 es una triangular inferior que se llamará L. Es, además, muy fácil de calcular. En efecto L = (2.2) Es decir, el efecto de cada L i es añadir su término fuera de la diagonal. Esto es válido en general, para matrices L i como las que resultan del proceso de factorización (una diagonal de s más un término fuera de diagonal). Nótese que para calcular cada matriz L i hay que resolver la ecuación l i,(k,l) a i,(l,l) + a i,(k,l) = (2.2) siendo (k, l) el término a eliminar. Para resolver esta ecuación en (l i,(k,l) es preciso que el término de la diagonal a i,(l,l). Este término es llamado el pivote. Caso de ser nulo, se puede intentar permutar la fila l-ésima por otra situada más abajo. Esto equivale a reordenar las variables del sistema lineal. Si no hubiera ninguna permutación que resolviera el problema (que todas dieran pivotes nulos) es que la matriz es singular y no hay, por tanto, solución única. Por otra parte, en el ejemplo que se estudia, se puede comprobar que U = DLT (2.22)

7 2.2. MÉTODO DIRECTO: LA FACTORIZACIÓN LU 9 Luego A = LU = LDL T (2.2) Esta expresión es conocida como la factorización triple LDL T. Es posible llevarla a cabo si la matriz A es simétrica ( pruébese!). Esta simetría se presenta a menudo en problemas de campos, y se puede explotar para mejorar el procedimiento de factorización LU arriba explicado Factorización LU de matrices ralas La factorización LU expuesta arriba tiene el inconveniente de que las operaciones se realizan sobre matrices llenas, es decir, sin tener en cuenta que la mayor parte de los elementos de la matriz son nulos. Esencialmente, la factorización LU con matrices ralas procede de la misma forma que la factorización con matrices llenas. Las diferencias que existen son las siguientes:. Solamente se almacenan los elementos no nulos de las matrices, junto con su localización. Así, por ejemplo, en Matlab, la matriz: se almacena en tres vectores, un primero que almacena los valores no nulos, y otros dos que almacenan las posiciones (fila y columna) donde se encuentran: ( ) ( ) ( ) Existen otras formas de codificar la posición más eficientes que la anterior, aunque más complejas. 2. Existe una lógica que determina las operaciones y sumas que es preciso realizar, saltándose todas las operaciones que consistan en multiplicar por cero, o sumar cero. Esto es posible porque se saben los elementos que son nulos (los que no estén codificados en los vectores anteriores). En cualquier caso, es claro que interesa conseguir que los factores LU que resulten tengan tantos elementos nulos como sea posible. En este sentido, el orden que adopten las variables y ecuaciones es de crucial importancia. Por ejemplo, considérese la matriz

8 CAPÍTULO 2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES A = Al ser simétrica, admite una descomposición LDL T. Es fácil comprobar que el factor L es,75,,857,2,574,2264 Es decir, aún cuando la matriz original tenía bastantes ceros, el factor L tiene todos los elementos posibles (los de debajo de la diagonal) no nulos. En cambio, si se factoriza la matriz se obtiene el factor L B = ,4,5 2,5 Nótese que ahora el factor L tiene tantos ceros como la matriz B. Por otra parte, las matrices A y B representan al mismo sistema lineal. En efecto, lo único que se ha hecho es cambiar el orden de ecuaciones (filas) y variables (columnas), de manera que la que antes era la primera es ahora la última, y viceversa. Por tanto, es importante ordenar adecuadamente las ecuaciones y las variables al formar la matriz del sistema lineal a resolver. A grosso modo, el mejor sitio para los ceros es al principio de las filas, antes de los elementos no nulos. Esto es porque al hacer la eliminación de Gauss, estos elementos ya no requieren ser eliminados. Existen una serie de algoritmos que buscan el orden óptimo en el que colocar ecuaciones y variables. Matemáticamente, este es un problema para el que todavía no se ha encontrado solución, aunque la experiencia demuestra que algunos de los algoritmos propuestos son muy eficaces. En el ejemplo anterior se ve como lo más eficaz es colocar la fila con más elementos no nulos al final de la matriz. Esta es la idea subyacente al algoritmo del grado mínimo, quizá el más popular de los algoritmos de reordenación. Por ejemplo, la figura 2.2 muestra la reordenación que este algoritmo da para la matriz de la figura 2.. Obsérvense las estructuras en forma de flecha que se forman, que recuerdan lo obtenido en el ejemplo.

9 2.. ME TODOS ITERATIVOS Minimum degree nz = Figura 2.2: Reordenacio n de la matriz. 2. Me todos iterativos Los me todos iterativos resuelven el sistema lineal Ax = b (2.24) calculando una serie {x, x,..., xk,...} que aproxima cada vez mejor la solucio n lı m xk = x = A b k (2.25) Los dos me todos iterativos de uso ma s frecuente en el ca lculo de campos son el de Jacobi y el de Gauss-Seidel, que se estudian en la siguiente seccio n. Despue s, se expone una mejora a estos me todos, importante para obtener la convergencia de la serie a una velocidad razonable, conocida como sobrerelajacio n sucesiva. 2.. Los me todos de Jacobi y Gauss-Seidel Escrı base de nuevo la ecuacio n (2.24): Ax b = (2.26) Sumando un te rmino P x a cada te rmino, siendo P una matriz que se definira ma s tarde, de la misma dimensio n que A: (A + P )x b = P x (2.27)