SEMEJANZAS

Transcripción

1 SJNZS Hasta ahora los alumnos han medido, descripto y transformado figuras geométricas. n este capítulo nos concentraremos en la comparación de figuras geométricas. omenzaremos dilatando figuras: aumentándolas como lo haría una fotocopiadora. uando los alumnos comparan con atención las figuras originales y las dilatadas, descubren que la forma de la figura permanece inalterada (esto significa que las medidas de los ángulos de la figura aumentada son iguales a las de los ángulos de la figura original), pero su tamaño cambia (las longitudes de sus lados aumentan). Si bien su tamaño cambia, la razón de las longitudes de los lados correspondientes, conocida como factor de amplificación o razón de semejanza, se mantiene constante. Para más información sobre dilatación y figuras semejantes, consulta los recuadros de puntes de matemáticas de las ecciones.1.1,.1.2,.1., y.1.. jemplo 1 y umenta la figura de la derecha desde el origen por un factor de. os alumnos usan bandas elásticas para dilatar (aumentar) varias figuras. Podemos hacer esto usando una cuadrícula y triángulos de pendiente. rea un triángulo rectángulo de forma que el segmento entre el origen y el punto, (2, ), sea la hipotenusa, un cateto se encuentre sobre el segmento positivo del eje, y el otro cateto conecte el punto con el etremo del cateto en el punto (0, 2). ste es un triángulo de pendiente porque representa la pendiente de la hipotenusa entre (0, 0) y el vértice. ñade otros dos triángulos de pendiente iguales a lo largo del segmento entre (0, 0) y el punto como se ve en la figura de la derecha. Usar tres triángulos aumenta la figura original por un factor de y nos da el nuevo punto en (, ). Repite este proceso con los otros dos vértices para crear un nuevo triángulo de pendiente para cada vértice. y sto nos dará nuevos puntos en (, ) y en (, ). Si conectamos los puntos,, y, crearemos un nuevo triángulo que es una versión aumentada del triángulo original por un factor de, como puede verse a la izquierda. y 2 20 P ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

2 jemplo 2 os dos cuadriláteros de la derecha son semejantes. Qué partes son iguales? Puedes determinar las longitudes de alguno de los lados faltantes? as figuras semejantes tienen la misma forma pero no el mismo tamaño. Ya que estos cuadriláteros son semejantes, sabemos que todos sus ángulos correspondientes miden lo mismo. sto significa que m = m, m = m, m = m, y m = m. simismo, los lados correspondientes son proporcionales, lo que significa que la razón de los lados correspondientes es constante. Para hallar la razón, debemos conocer las longitudes de un par de lados correspondientes. n las imágenes vemos que es correspondiente a, así que podemos escribir que =. Por lo tanto, la razón de semejanza es, o 2. Podemos usar este valor para hallar las longitudes de otros lados cuando conocemos la longitud de al menos un par de lados correspondientes. = = = = = = = = = = = jemplo as figuras de la derecha son semejantes ( F UVWXYZ ). tiqueta la segunda figura de forma que refleje correctamente este enunciado. F Ya que las figuras semejantes tienen la misma forma y solo sus tamaños varían, esto significa que los ángulos correspondientes miden lo mismo. uando escribimos enunciados de semejanza, debemos escribir las letras de forma que los ángulos correspondientes coincidan. ado el enunciado de semejanza anterior, debemos tener m = m U, W m = m V, m = m W, m = m X, m = m Y, y m F = m Z. Puedes ver la figura más pequeña correctamente etiquetada a la derecha. Si te resulta difícil saber cuál de los ángulos originales corresponde a cada ángulo de una figura aumentada o reducida, intenta rotar las figuras de forma que tengan la misma orientación. Guía para padres con práctica adicional 20 P ducational Program. ll rights reserved. U Z V Y X

3 Problemas 1. opia la siguiente figura en una hoja 2. rea una figura semejante a la siguiente cuadriculada y auméntala por un factor de 2. con un factor de ampliación de 0.. Halla la razón de semejanza de cada par de figuras semejantes a continuación y eprésala en forma grande:pequeña Halla la razón de semejanza de cada par de figuras semejantes a continuación y luego úsala para hallar P ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

4 Usa la información y la figura dadas para hallar cada una de las longitudes solicitadas en los problemas 1 a 1.. J = 1, K =, JN = Halla N. 1. N =, JN =, J = Halla K. J 1. K =, K = 2, J = Halla N. 1. N =, K =, JN = Halla J. N 1. JN =, N =, J = Halla JK. 20. JK =, N =, J = Halla JN. K 21. Parado a pies de distancia de un espejo colocado horizontalmente sobre el suelo, Palmer, cuyos ojos se encuentran a pies y pulgadas del piso, puede ver el reflejo de la copa de un árbol. l espejo se halla a 2 pies de la base del árbol. uál es la altura del árbol? 22. a sombra de una estatua mide 20 pies de largo, mientras que la sombra de un alumno mide pies de largo. Si el alumno mide pies, cuál es la altura de la estatua? as figuras en cada uno de los pares dados a continuación son semejantes. Usa lo que sabes sobre semejanzas para hallar Guía para padres con práctica adicional 20 P ducational Program. ll rights reserved.

5 Halla las longitudes faltantes en cada par de figuras semejantes a continuación. 2. ~ PQR 2. JK ~ WXYZ K R J P Q Y Z 1 0. W X 2. STUV ~ NP 0. V ~ ISW S T V U 2. 2 N 1..2 P 1 V W S I 1. ~ FGHIJ H 2. ~ J 11 I 1 F G 20 P ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

6 Respuestas ; = ; = ; =. ; = 1. ; = ; = pies pies 2. = 2. = 2. = = =. 2. = = = = Guía para padres con práctica adicional 20 P ducational Program. ll rights reserved.

7 NIINS SJNZ TRIÁNGUS os figuras relacionadas por una serie de transformaciones (incluyendo dilataciones) son siempre semejantes. as semejanzas también pueden halarse midiendo todos los ángulos y lados de dos figuras. n esta sección, los alumnos aprenderán condiciones que permiten abreviar el proceso. stas son la ondición de semejanza de triángulos (~ ), la ondición de semejanza de triángulos (~ ), y la ondición de semejanza de triángulos (~ ). a primera condición establece que, si dos pares de ángulos correspondientes miden lo mismo, los triángulos son semejantes. a segunda condición establece que, si las razones de las longitudes de dos pares de lados correspondientes son iguales y los ángulos incluidos miden lo mismo, los triángulos son semejantes. a tercera condición establece que, si las longitudes de los tres pares de lados correspondientes tienen la misma razón, los triángulos son semejantes. os alumnos también aprenderán que dos figuras semejantes con una razón de semejanza de 1 son congruentes, es decir que tienen la misma medida y la misma forma, y comenzarán a usar diagramas de flujo para organizar su información y formular conclusiones lógicas sobre triángulos semejantes. hora los alumnos podrán usar triángulos semejantes para hallar las longitudes de lados determinados, perímetros, alturas, y otras medidas. Para más información sobre triángulos semejantes, triángulos congruentes, y cómo realizar diagramas de flujo, consulta los recuadros de puntes de matemáticas de las ecciones.2.1,.2.2,.2., y.2.. jemplo 1 Usa la información dada para decidir si los pares de triángulos a continuación son semejantes. Si lo son, escribe un enunciado de semejanza. Justifica tu respuesta en forma completa. a. T b. c. S U 1 G K W d. e. f. T 1 20 Y I 2 H N X 20 P ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría S R I 2 K N P Z

8 Usaremos las tres condiciones de semejanza para verificar si dos triángulos son semejantes o no. n el punto (a) tenemos las longitudes de los tres lados, así que tiene verificar si ~ es verdadera. scribe las razones de las longitudes de los lados correspondientes y compáralas para ver si son iguales, como se ve a la derecha. Todas las razones son iguales a, así que TS ~ WK por ~. as medidas dadas en el punto (b) sugieren que usemos ~. os ángulos incluidos son y R. Ya que ambos son ángulos rectos, ambos miden lo mismo. hora debemos comprobar que las razones de las longitudes de los lados correspondientes sean iguales, como se ve a la derecha. Si bien el triángulo ehibe el patrón ~ y los ángulos incluidos miden lo mismo, los triángulos no son semejantes porque las longitudes de los lados correspondientes no tienen las mismas razones. n el punto (c), tenemos las medidas de dos ángulos de cada triángulo, pero no se trata de ángulos correspondientes. m K = º = m N, que es un par de ángulos correspondientes. Para ~ necesitamos dos pares de ángulos iguales. Si usamos el hecho de que las medidas de los tres ángulos de un triángulo suman 10, podemos hallar las medidas de y como se ve a la derecha. hora vemos que todos los pares de ángulos correspondientes miden lo mismo, así que PK ~ N por ~. l punto (d) ehibe el patrón SS~ y podemos ver que los ángulos incluidos miden lo mismo, m G = m H. a razón de las longitudes de los lados correspondientes también debe ser igual. Ya que las dos fracciones son iguales (tras simplificar la segunda), la razón de las longitudes de los lados correspondientes es igual. Por lo tanto, YUG ~ IH por ~. n el punto (e), los ángulos incluidos miden lo mismo, m = m N. Ya que = = 1, los lados correspondientes son proporcionales. Por lo tanto, X ~ NT por ~. n el punto (f) solo tenemos un par de ángulos iguales (los ángulos rectos), pero estos no se encuentran entre los lados cuyas longitudes conocemos. Sin embargo, podemos hallar las longitudes del tercer lado aplicando el Teorema de Pitágoras. 2 + ( I ) 2 = 2 + ( I ) 2 = ( ) 2 = ( ) 2 = 00 ( I ) 2 = I = ( ) 2 = 2 = 1 hora que conocemos las longitudes de los tres lados, podemos verificar si los triángulos son semejantes por ~. Ya que las razones de los lados correspondientes son iguales, I ~ Z por ~. Guía para padres con práctica adicional 20 P ducational Program. ll rights reserved.

9 jemplo 2 n la figura de la derecha, Y HP. ecide si la figura incluye o no triángulos semejantes. Justifica tu respuesta con un diagrama de flujos. H R Puedes hallar la medida de Y? e ser así, hállala y justifica tu respuesta. P Y n función de lo que estudiamos en capítulos anteriores, las líneas paralelas indican que los ángulos miden lo mismo. n esta figura, tenemos dos pares de ángulos correspondientes de igual medida: m PHR = m YR y m HPR = m YR. Ya que dos pares de ángulos correspondientes miden lo mismo, podemos decir que los triángulos son semejantes: PHR ~ YR por ~. Ya que los triángulos son semejantes, las medidas de los lados correspondientes son proporcionales (tienen la misma razón). sto significa que podemos escribir la solución de la derecha. También podemos justificar este resultado con un diagrama de flujos. l diagrama de la derecha organiza y enuncia lo establecido anteriormente. m PHR = m YR líneas ángulos corresp. iguales Y HP m HPR = m YR líneas ángulos corresp. iguales PHR ~ YR ~ 0 20 P ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

10 Problemas as figuras en cada par a continuación son semejantes. scribe el enunciado de semejanza correspondiente y halla. 1. U 2. R V 2 F Z W T X Y N G I.. R S 2 H Y 1 T 11 H I etermina si los triángulos en cada par a continuación son semejantes. Si lo son, justifica tu respuesta Guía para padres con práctica adicional 20 P ducational Program. ll rights reserved. 1

11 ecide si los triángulos en cada par a continuación son semejantes. Si lo son, escribe el enunciado de semejanza correspondiente y justifica tu respuesta N 2 X 1 2 H W R S 2 2 I S U n la figura de la derecha,, es semejante a? Usa un diagrama de flujos para organizar y justificar tu respuesta. 22. Parado a pies de distancia de un espejo colocado horizontalmente sobre el suelo, Palmer, cuyos ojos se encuentran a pies y pulgadas del piso, puede ver el reflejo de la copa de un árbol. l espejo se halla a 2 pies de distancia del árbol. uál es la altura del árbol? ibuja un diagrama para ayudarte a resolver el problema P ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

12 Respuestas 1. F ~ UZYXWV, =. 2. RT ~ NG, =. IS ~ RH, = 2. Y ~ ITH, = 1.. ~. ~. ~. SS. sin ~. sin ~ 11. ~ o ~. sin ~ 1. ~ 1. ~. ~ 1. ~ 1. X ~ N por ~ 1. os triángulos no son semejantes porque los lados no son proporcionales. = = 0., I ~ S por ~. 20. os triángulos no son semejantes. n S se incluye el ángulo de 0 entre los dos lados dados, pero en U el ángulo no ha sido incluido. 21. dado m = m líneas ángulos corresp. iguales m = m ~ ángulos opuestos por el vértice = ~ Nota: hay más de una forma de resolver este problema. Puedes usar dos veces los ángulos correspondientes en lugar de mencionar los ángulos opuestos por el vértice. 22. a figura de la derecha muestra un diagrama de la situación y cómo puede resolverse usando triángulos. PF ~ TR por ~. a proporción es:. = 2 = 1 =. Por lo tanto, el árbol mide. pies.. pies P F R Guía para padres con práctica adicional 20 P ducational Program. ll rights reserved.