Unidad 8: Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicación al estudio y representación de funciones. Primitiva de una función (integración).

Transcripción

1 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 1 Unidad 8: Derivadas Técnicas de derivación Aplicación al estudio y representación de funciones Primitiva de una función (integración) 1- Tasas de variación media e instantánea Tasa de variación media La siguiente tabla muestra los costes de una empresa en diferentes años: Año Costes (en miles de euros) A la vista de estos datos podemos contestar a preguntas como en qué año la empresa tuvo más costes? (2007) En qué año la empresa tuvo menos costes? (2006) Si la pregunta que nos plantean es en qué periodo hubo un aumento de costes mayor?, necesitaríamos realizar una comparación entre los diferentes años, comparando la variación de costes con el número de años del periodo: estaríamos construyendo tasas de variación media Por ejemplo, entre el año 2004 y 2005, la tasa de variación media es, es decir, los costes se han incrementado a un ritmo de 4000 y entre el año 2004 y 2008 la tasa de variación media fue, por lo que los costes en este periodo se han incrementado a un ritmo de 1500 Con estos datos, es evidente que el incremento medio de los costes a lo largo de los 4 años fue inferior al incremento medio que sufrió en el primer año La tasa de variación media puede ser positiva, negativa o nula

2 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 2 Por ejemplo, entre el año 2005 y 2006, la tasa de variación media es, es decir, los costes han disminuido a un ritmo de La tasa de variación media de una función en un intervalo es el cociente Esta nos ofrece información acerca del crecimiento o decrecimiento de una función en un intervalo y de la rapidez con que este se produce 1- El consumo de combustible de un vehículo a lo largo del año viene determinado por la siguiente tabla: Mes Ene Feb Mar Abr May o Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Consumo (litros) Determina la tasa de variación media entre los meses de enero y junio y entre los meses de julio a diciembre e interpreta los resultados 2- Halla la tasa de variación media de la función en los intervalos: Tasa de variación instantánea Si calculamos la TVM en intervalos de la forma, siendo h un valor cada vez más próximo a 0, lo que obtendremos, si es que existe es el valor del siguiente límite Este límite, en caso de existir, me proporciona la tasa de variación instantánea en, es decir, en un instante determinado, en un punto concreto Nos ofrece una información puntual de la razón de cambio

3 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 3 La tasa de variación instantánea de una función en un punto es, si existe, el valor del siguiente límite Nos ofrece una información puntual de la razón de cambio 3- Dada la función calcula: Interpretación física de la TVI: es la velocidad instantánea 2- Derivada de una función en un punto En el apartado anterior hemos calculado la tasa de variación instantánea de una función en un punto cualquiera, pues bien, en Matemáticas a esa tasa de variación instantánea se la denomina derivada de una función en el punto Si el límite existe entonces diremos que la función f es derivable en La derivada de una función en un punto coincide con la tasa de variación instantánea de la función en dicho punto La derivada de una función en un punto es un número real positivo, negativo o cero Ejemplo: La función es derivable en

4 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 4 3- Función derivada Si consideramos la función, podemos calcular la derivada de dicha función en varios puntos y obtendríamos los datos que se indican en la siguiente tabla: x Así, para cada valor de x obtendremos un único valor correspondiente a su derivada Veamos cómo calcular esta función usando la definición de derivada de una función en un punto Para un x cualquiera tenernos que: Por tanto la función derivada sería Para obtener la función derivada en un punto cualquiera basta con sustituir el punto en la función derivada, así Ejemplo: La derivada de la función es la función Veámoslo

5 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 5 Derivadas de las funciones elementales Regla de la cadena Siguiendo un razonamiento análogo al visto arriba se deducen las derivadas de las funciones elementales

6 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 6 4- Halla la derivada de las siguientes funciones (polinómicas y racionales): 5- Halla la derivada de las siguientes funciones: 6- Calcula las derivadas de las siguientes funciones (funciones compuestas) 4- Derivadas sucesivas Dada la función podemos obtener: A partir de esta función podríamos calcular su derivada: estaríamos calculando la derivada segunda: También podríamos calcular la derivada de esta función: la derivada tercera Este proceso podríamos repetirlo sucesivamente 7- Calcula la derivada tercera de las siguientes funciones:

7 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 7 4- Estudio y representación de funciones 41- Estudio de la función Dominio Simetrías Puntos de corte con los ejes Regiones (Estudio del signo de ) Asíntotas y continuidad Periodicidad 42- Estudio de la derivada y derivadas sucesivas Monotonía (crecimiento y decrecimiento), así como los extremos relativos, a partir del estudio del signo de la derivada creciente decreciente Curvatura (convexidad y concavidad), así como los puntos de inflexión (puntos donde cambia la curvatura) a partir del estudio del signo de la derivada segunda convexa cóncava 43- Representación 8- Representa gráficamente las siguientes funciones polinómicas: 9- Representa gráficamente las funciones racionales siguientes:

8 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 8 5- Interpretación geométrica de la derivada Es la pendiente de la recta tangente a en el punto de coordenadas 10- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 11- Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en el punto de abscisa y representa ambas 12- Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función que es paralela a la recta y comprueba el resultado representando las dos rectas y la gráfica de la función 6- Primitiva de una función Integración Cuál es la función cuya derivada es? A esta función se le llama primitiva de Por ejemplo: Son primitivas de la función

9 representación de funciones Primitiva de una función (integración) 9 Al conjunto de las infinitas primitivas de la función indefinida de y se denota por: se la denomina integral El proceso de cálculo de integrales indefinidas (integración) es inverso al cálculo de derivadas (derivación) Teniendo esto en cuenta podemos obtener las reglas elementales de integración (1 y 2) y las integrales inmediatas

10 representación de funciones Primitiva de una función (integración) Calcula las siguientes integrales inmediatas: 14-Calcula la siguiente integral indefinida 15- Calcula: