Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización

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1 Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la derivada primera de una función permite conocer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la curva asociada a ella Además, en muchos casos posibilita la determinación de máimos y mínimos relativos Crecimiento y decrecimiento f () es creciente en un punto = a si f ( a h) f ( a) f ( a + h), para h > 0 y pequeño f () es decreciente en un punto = a si f ( a h) f ( a) f ( a + h), para h > 0 y pequeño La función f () es creciente (decreciente) en un intervalo cuando crece (decrece) en todos los puntos de él Caracterización mediante la derivada primera Si f ( a) > 0 f () es creciente en = a En general, si una función f () es tal que f ( ) > 0 para todo de un intervalo, entonces f () es creciente en ese intervalo La demostración de este resultado es fácil, pues si f ( a) > 0, se tiene f( a+ h) f( a) f( a+ h) f( a) que f ( a) = lím > 0 > 0 en un h 0 h h entorno de a Esto implica que los dos términos de la fracción deben tener el mismo signo Luego: Si h > 0, (a la derecha de a), entonces f( a+ h) f( a) > 0 f( a) < f( a+ h) Luego f es creciente en a Si h < 0, (a la izquierda de a), entonces f( a h) f( a) < 0 f( a h) < f( a) Luego f es creciente en a Si f ( a) < 0 f () es decreciente en = a Si una función f () es tal que f ( ) < 0 para todo de un intervalo, entonces f () es decreciente ese el intervalo Máimos El punto a es un máimo relativo cuando la función es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha Por tanto: a es un máimo si: f ( a ) > 0, f ( a ) = 0, f ( a + ) < 0 (En un máimo, la recta tangente a la curva es horizontal: su pendiente vale 0) Mínimos El punto a es un mínimo relativo cuando la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha Por tanto: a es un mínimo si: f ( a ) < 0, f ( a ) = 0, f ( a + ) > 0 (En un mínimo, la recta tangente a la curva es horizontal: su pendiente vale 0)

2 Ejemplo: La función f ( ) = + es creciente a la izquierda del punto =, y decreciente a su derecha, pues f ( ) = + es positiva para < y negativa para > Por tanto, f ( ) = + tiene un máimo en = (Es evidente que f () = 0 ) La determinación de los puntos singulares de una función (aquellos en los que la derivada vale 0, llamados también puntos estacionarios; y los puntos en lo que la función no está definida), permitirá obtener el crecimiento, el decrecimiento, los máimos y los mínimos Advertencias: No siempre que f ( ) = 0 se tiene un máimo o un mínimo; ni siquiera esto es una condición necesaria (lo es sólo para funciones derivables) Puede haber mínimo sin que f ( ) = 0 Así, la función f ( ) = tiene un mínimo en = 0 y en ese punto no es derivable la función Puede suceder que f ( ) = 0 y no haya mínimo ni máimo Así pasa en el punto = 0 para la función f ( ) = Su derivada, f ( ) =, se anula en = 0, pero: Si < 0, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente Si > 0, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente Por tanto, en = 0 no hay máimo ni mínimo Hay un punto de infleión Trazado de gráficas con ayuda de la derivada primera Dada la función y = f (), para dibujarla es útil el siguiente proceso: ) Determinar los puntos en los que no está definida f () Dominio de definición ) Hallar la derivada f () ) Calcular las soluciones de la ecuación f ( ) = 0 (puntos singulares) ) Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está definida Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos ) Estudiar el signo de la derivada en cada intervalo anterior: deducir si la función es creciente o decreciente (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f () es positiva o negativa) ) Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máimos y los mínimos, si es el caso 7) Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos, entre ellos los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de coordenadas Ejemplo: Trazado de la gráfica de la función ) Está definida siempre: Dom(f) = R f ( ) = ) y ) f ( ) = = 0 ( ) = 0 = 0, =, = ), ) y ) Se marcan los puntos en la recta, y se observa que: Si <, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente

3 Si < < 0, (por ejemplo, = ), f () < 0 f () es creciente en hay máimo = Si 0 < <, (por ejemplo, = ), f () < 0 f () es decreciente en = 0 no hay ni máimo ni mínimo Si >, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente en mínimo 7) Dando algunos valores se obtiene la gráfica adjunta Para = 0, f ( 0) = 0 punto (0, 0) Para =,, f ( / ), 0 punto (,,,0) Para =,, f ( / ), 0 punto (,,,0) = Los cortes con el eje OX son las soluciones de 0, que son = 0 y = ± puntos (,0), (0, 0) y (,0) = hay Aplicaciones de la derivada segunda Curvatura: concavidad y conveidad; infleión La concavidad y la conveidad dependen del punto de vista del que mira Aquí se mirará siempre desde la parte negativa del eje OY Por tanto, la concavidad será así: ; y la conveidad, así: Concavidad y conveidad Observa lo que sucede en un intervalo de concavidad Las tangentes a la curva están por encima de ella Las rectas tangentes, de izquierda a derecha, tienen cada vez menor pendiente O, lo que es lo mismo, sus pendientes decrecen (La pendiente viene dada por la derivada) Luego la derivada decrece: f () es decreciente En consecuencia, su derivada (la de f () ) será negativa: f ( ) < 0 Los máimos se dan siempre en una concavidad Por tanto, si en = a hay un máimo de f (), se cumplirá que f ( a) < 0 Ejemplos: a) La función f( ) = + es cóncava, pues su derivada segunda es siempre negativa: f ( ) = + f ( ) = < 0 b) La función logaritmo, f( ) = ln es cóncava en todo su dominio: R + Efectivamente, derivando: f ( ) = f ( ) = < 0 para todo

4 Observa lo que sucede en un intervalo de conveidad Las tangentes a la curva están por debajo de ella Las rectas tangentes, de izquierda a derecha, tienen cada vez mayor pendiente O, lo que es lo mismo, sus pendientes crecen (La pendiente viene dada por la derivada) Luego la derivada crece: f () es creciente En consecuencia, su derivada será positiva: f ( ) > 0 Los mínimos se dan siempre en una conveidad Por tanto, si en = a hay un mínimo de f (), se cumplirá que f ( a) > 0 Resumiendo: Si f ( ) < 0 en el intervalo (, ) f () es cóncava en ese intervalo Si f ( ) > 0 en el intervalo (, ) f () es convea en ese intervalo Ejemplos: a) La función f( ) = es convea, pues su derivada segunda es siempre positiva: f ( ) = f ( ) = > 0 b) La función eponencial, f( ) = e es convea siempre, pues su derivada segunda es siempre positiva: f ( ) = e f ( ) = e > 0 para todo Máimos y mínimos Si f (a) = 0 y f ( a) < 0 f () tiene un máimo en = a Si f (a) = 0 y f ( a) > 0 f () tiene un mínimo en = a El recíproco no es cierto Esto es, puede suceder que f () tenga un máimo (o un mínimo) en = a siendo f (a) = 0 y f ( a) = 0 (sin que f ( ) < 0 o f ( a) > 0) En definitiva: La condición necesaria para que en = a se dé un máimo o un mínimo es que f (a) = 0; pero no es condición suficiente Ejemplos: a) La función f( ) = +, vista anteriormente, cumple: f ( ) = + la derivada se anula en = Como f ( ) = < 0 para todo, en = se da un máimo b) La función f( ) = sin, cumple: π Su derivada primera: f ( ) = cos, se anula cuando cos = 0 = + kπ Su derivada segunda: f ( ) = sin π π π π toma valores negativos cuando = + kπ Por ejemplo en = o en = + π= en esos puntos tendrá máimos π π π toma valores positivos cuando = + ( k+ ) π Por ejemplo en = +π= o en π 7π = + π= en esos puntos tendrá mínimos

5 Puede observarse que los máimos se dan en concavidades; y los mínimos, en conveidades Puntos de infleión Los puntos en los que la curva cambia de cóncava a convea, o al revés, se llaman puntos de infleión; en esos puntos, la tangente corta a curva Se cumple también que: Si = a es un punto de infleión de f () f ( a) = 0 El recíproco no es cierto Esto es, puede suceder que f ( a) = 0 y en = a no haya punto de infleión Por tanto, que f ( a) = 0 es condición necesaria, pero no suficiente Criterio general para la determinación de puntos máimos, mínimos y de infleión Si = a es un punto que cumple: ) f ( a) = 0, f ( a) = 0, f ( a) = 0, f n ) ( a) = 0 y f n ( a) 0, entonces: ) Si n es par y f n ( a) < 0, en = a hay un máimo ) Si n es par y f n ( a) > 0, en = a hay un mínimo Si n es impar, en = a hay un punto de infleión, aunque f ( a) 0 Ejemplos: a) La función f ( ) =, vista en un ejemplo anterior, cumple: f ( ) = = 0 si = 0, =, = Los puntos = 0, =, = son candidatos a máimos o mínimos Para decidirlo se hace la derivada segunda: f ( ) = 0 0 = 0 ( ) = 0 = 0, = ± Como: f ( / ) < 0, en = / se da un máimo relativo f ( 0) = 0, en = 0 se da un punto de infleión (Es un punto de infleión con tangente horizontal) f ( / ) > 0, en = / se da un mínimo relativo Otros puntos de infleión son = / y = / Para confirmar que los tres puntos indicados son de infleión hay que ver que f ( ) = 0 es 0 en los tres casos: así es, como puede comprobar el lector interesado b) La función f ( ) =, cumple: f ( ) = = 0 en = 0; f ( ) = = 0 en = 0; ) f ( ) = = 0 en = 0; f ( ) = > 0 en = 0 se da un mínimo

6 c) La función f ( ) =, cumple: f ( ) = = 0 en = 0; f ( ) = 0 = 0 en = 0; f ( ) = 0 = 0 en = 0; f ( ) = 0 = 0 en = 0; ) f ( ) = 0 en = 0 se da un punto de infleión Sugerencias para la representación gráfica de una función ) Para representar una función f (), puede seguirse el esquema siguiente: ) Determinar el dominio de definición y el recorrido de f () (Esto permite el estudio de posibles discontinuidades y de las regiones : intervalos en los que f () es positiva o negativa; para su determinación deben conocerse los puntos de corte de la curva con el eje OX) ) Asíntotas Puede haberlas verticales, horizontales y oblicuas Verticales Si lím f () = la recta = a es asíntota vertical f () a Las asíntotas verticales sólo pueden darse en puntos en los que la función no esté definida Horizontales Si lím f ( ) = b la recta y = b es una asíntota horizontal de f () f ( ) Oblicuas Si lím = m (m 0 y m ) y lím ( f ( ) m) = n, (n ) la recta y = m + n es una asíntota oblicua de la curva y = f () Es muy útil determinar, mediante el cálculo de límites laterales, la posición de la curva respecto de las asíntotas ) Simetrías Hay dos tipos de simetrías Función par : f () es simétrica respecto del eje OY Se cumple que f ( ) = f ( ) Función impar : f () es simétrica respecto del origen: Se cumple que f ( ) = f ( ) El estudio de las simetrías no es imprescindible, aunque facilita el trazado de la curva ) Periodicidad f () es periódica de período p si f ( + p) = f ( ) Las funciones periódicas se representan en un intervalo de amplitud p; después se repite el dibujo En la práctica, sólo se tiene en cuenta en las funciones trigonométricas ) Puntos singulares e intervalos de variación y curvatura Con la derivada primera, f () : Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos Con la derivada segunda, f () : Concavidad, conveidad y puntos de infleión; y confirmación de máimos y mínimos ) Determinar algunos puntos significativos de la curva y = f () Puntos máimos, mínimos y de infleión Puntos de corte de la curva con los ejes 7) Trazado de la curva Todas las piezas deben encajar En caso contrario habrá que revisar los cálculos realizados A continuación se practica con ejemplos y ejercicios

7 7 Ejemplos: a) Para la función Dominio: R {} f ( ) = se tiene: ( ) Regiones (signo): por debajo del eje OX (negativa) si < 0; por encima de OX si > 0 (ecluido el punto = ) Asíntotas: Como lím f ( ) = lím Como lím f () = ± = = + la recta = es una asíntota vertical = = (L H) = lím = = 0 ± ( ) ± la recta y = 0 ( ) 0 lím ( ) ± es asíntota horizontal Hacia la asíntota va por debajo del eje, pues toma valores negativos Hacia + la asíntota va por encima del eje, pues el signo de la función es positivo Derivada primera: ( ) ( ) = ( ) ( ) f ( ) = Se anula en = Se marcan los puntos y en la recta Si <, f () < 0 f () es decreciente Si < <, f () > 0 f () es creciente En = hay mínimo Si >, f () < 0 f () es decreciente Derivada segunda: + f ( ) = Se anula en = ( ) Se marcan los puntos y en la recta Si <, f () < 0 f () es cóncava ( ) Si < <, f () > 0 f () es convea ( ) Si >, f () < 0 f () es convea ( ) Como f ( ) = > 0, se confirma que en = hay un mínimo relativo 8 Con toda esta información y calculando algunos puntos se puede hacer su representación gráfica Algunos puntos: (, 0,87); (, 0,); (, 0,); (0, 0); (0,, ); (, ); (, 0,7)

8 8 b) Para la función f( ) = e se tiene: Su dominio es R; y siempre es positiva Es par: ( ) = = f( ) e e Tiene una asíntota horizontal: Crecimiento y decrecimiento: lím e = 0 + La curva va por encima de la asíntota, y = 0 ± = se anula en = 0 f ( ) e Si < 0, f () > 0 la función crece Si > 0, f () < 0 la función decrece En = 0 hay un máimo Concavidad y conveidad: f ( ) = e + e = ( + ) e se anula en = ± Si < /, f ( ) > 0 la función es convea ( ) Si / < < /, f ( ) < 0 la función es cóncava ( ) Si > /, f ( ) > 0 la función es convea ( ) Pueden darse algunos valores: (, e ) (, 0,7), ( /, e ) / ; (0, ); / ( /, e ) ; (, 0,7) Su gráfica es la adjunta: c) Para la función f( ) = sin + cos se tiene: Dominio: R Y siempre toma valores entre y Es periódica de período π, pues f( ) = sin ( + π ) + cos( + π ) = sin + cos Se representará la función en uno de los periodos: intervalo [ π/, 7π/] Es obvio que no tiene asíntotas Crecimiento y decrecimiento: f ( ) = cos sin Se anula cuando sin = cos f ( ) = cos sin > 0 si decreciente si π/ < < π/ Concavidad y conveidad: π = + kπ (Má o mín) π π < < o si π 7 π < < la función es creciente; será f ( ) = sin cos Se anula cuando sin = cos f ( ) = sin cos > 0 si π π π = + kπ (Puntos de inf) < < la función es convea; y cóncava en el resto El valor máimo lo toma en π/ y vale ; el mínimo en π/, y vale En los puntos de infleión la función toma el valor 0 La función tiene infinitos máimos, infinitos mínimos e infinitos puntos de infleión

9 9 Ejercicio cos Dada la función f ( ) = Se pide: a) Sus asíntotas b) Los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas; y el signo de la función c) Cuántos máimos y mínimos tiene? Indica algunos de ellos Solución: a) La función no está definida en = 0 En esa abscisa habrá una asíntota vertical si el límite se hace infinito cos 0 sin Como lím = = ( ) = = L H lím No hay asíntota vertical 0 cos Tiene una asíntota horizontal, pues lím = 0 La asíntota es la recta y = 0 b) La función se anula siempre que cos = 0 = kπ, k Z Salvo en esos puntos, como cos > 0, el signo de la función dependerá del denominador, de Por tanto, será negativa si < 0; y positiva, si > 0 c) La función se anula en los etremos de cada uno de los intervalos [ k π, ( k + ) π] Como la función es continua y derivable en cada uno de esos intervalos, salvo en [ π, π], por el teorema de Rolle, en cada caso habrá un punto que anule la derivada En todos esos puntos se da un máimo o un mínimo Cuando k > 0 se tienen máimos; si k < 0 se tienen mínimos (Los demás máimos y mínimos se dan cuando f ( ) = 0, que, como se dijo antes, sucede en = kπ : si = + kπ, se dan mínimos; si = kπ, máimos) Todo lo dicho puede ilustrase con la gráfica de f Ejercicio Haz un esbozo gráfico de la función f ( ) = ln( ) Solución: Dominio: R [, ] La epresión ln( ) sólo tiene sentido si > 0 Asíntotas: lím ln( ) = + En = y en = la función tiene sendas asíntotas verticales, pues ( ) ± No tiene asíntota horizontal, pues lím ( ln( ) ) = Observación lím ( ln( ) ) = [ ] : Si se sustituye se tiene que Esta indeterminación puede resolverse como sigue:

10 0 e e lím ( ln( ) ) = lím ( ln( e ) ln( ) ) = lím ln ln lím = Como e e e lím = ( L H ) lím ( L H ) lím ( ) = = = = = = lím ( ln( ) ) = Tampoco tiene asíntota oblicua, pues si fuese la recta y = m + n se tendría: ln( ) ln( ) / ( ) m = lím = lím = ( L H ) = lím = 0= n = lím ln( ) = lím ln( ) = Como n debe ser distinto de, se deduce ( ) ( ) que no hay asíntota oblicua Crecimiento y decrecimiento: f ( ) = = f ( ) = 0 si = 0 = ± Además hay que tener en cuenta los puntos = y = Con esto: Si <, f () > 0 f() crece (Entre y no hay curva) Si < < +, f () < 0 f() decrece Si > +, f () > 0 f() crece (En = + habrá un mínimo) Concavidad y conveidad: + f ( ) = > 0 para todo punto de su dominio ( ) La función es convea ( ) en todo su dominio Algunos puntos: (,,); (, 0,9); (+, 0,8); (,,9) Su gráfica es la adjunta Ejercicio Dada la función f( ) = ln, determina su dominio, asíntotas, crecimiento y decrecimiento + y concavidad y conveidad Haz un esbozo gráfico de ella Solución: Dominio: R [, 0] Hay que descartar los valores de tales que 0 + Asíntotas: En = (por la izquierda) y en = 0 (por la derecha) la función tiene sendas asíntotas verticales, pues: lím ln = ln = ; lím ln = ln ln 0 + = = 0 + Tiene una asíntota horizontal, pues lím ln = ln La asíntota es y = ln ± + Hacía, la curva va por encima de la asíntota, pues > ; hacia +, sucede al revés +

11 Crecimiento y decrecimiento: f( ) = ln = ln ln( + ) f ( ) = = + + ( + ) El valor de la derivada es positivo en todo su dominio, luego la función siempre es creciente Concavidad y conveidad: + f ( ) = ( + ) Si <, f ( ) > 0 f es convea ( ) Si > 0, f ( ) < 0 f es cóncava ( ) Un esbozo de su gráfica es la figura adjunta Ejercicio Se considera la curva definida por la función y = Se pide: + a) Dominio de definición, cortes con los ejes, simetrías y asíntotas b) Intervalos de crecimiento de la función Tiene etremos la función? c) Una representación aproimada de la curva Solución: a) La función está definida siempre, pues el denominador no se anula en ningún caso Corte ejes: si = 0 y = 0 punto (0, 0); si y = 0 = 0 el mismo punto La función es simétrica respecto del origen de coordenadas (impar), pues ( ) f ( ) = = = f ( ) ( ) + + Tiene una asíntota oblicua (y = m + n), pues: f ( ) m = lím = lím = ; n = lím ( f ( ) m) = lím = = 0 ( + ) lím + + La asíntota es la recta y = + Como y = = = se tiene: cuando +, la curva va por debajo de la asíntota ( resta) + cuando, la curva va por encima de la asíntota ( suma) + ( + ) ( ) ( + ) b) Derivando: y = = ( + ) ( + ) Salvo en = 0, la derivada siempre es positiva la función es creciente siempre En consecuencia no tiene etremos En = 0 hay un punto de infleión con tangente horizontal c) Algunos valores de la curva son: (0, 0), (, /), (, 8/), (, 7/0), y sus simétricos Representándolos se obtiene la gráfica adjunta

12 Optimización de funciones Problemas de optimización La optimización es uno de los problemas económicos más interesantes de resolver Consiste en determinar el valor que maimiza (beneficios) o minimiza (costes) una función sujeta a una serie de condiciones Un problema de optimización clásica es el siguiente: Se desea construir, al lado de una carretera, una zona de descanso para automovilistas Tendrá forma rectangular y estará vallada por los tres lados no adyacentes a la carretera Si su superficie es de 700 m², qué dimensiones debe tener para que el coste de la valla sea mínimo? La situación planteada se representa en la figura adjunta, que en este, como en la mayoría de los casos, es clave para entender el problema Planteamiento y resolución de un problema de optimización Un problema de optimización vendrá dado, generalmente, en términos de enunciado Se dice que está planteado cuando se sabe eactamente qué función hay que hacer máima o mínima; quedará resuelto cuando se halle y critique la solución Para ello, puede seguirse el proceso que se detalla a continuación: ) Saber qué objetivo hay que hacer máimo o mínimo Esto se deduce de la lectura del enunciado En el ejemplo anterior hay que hacer mínimo el coste de la valla (Este mismo ejemplo nos servirá para ilustrar los demás pasos) ) Epresar en forma de función el objetivo propuesto El coste de la valla será mínimo cuando su longitud (L) sea mínima Por tanto, la función que hay que hacer mínima es L= + y Generalmente esta función dependerá de varias variables; al menos dos Hay que determinar cuál de ellas depende de la(s) otra(s) y buscar en el enunciado la relación que liga esas variables; esta relación siempre es una igualdad Se obtendrá así una función de una sola variable, que puede designarse por f( ) o por cualquier otra letra Aquí se ha elegido L En L= + y aparecen dos variables, e y, que son las medidas del largo () y ancho (y) de la zona de descanso Qué relación eiste entre e y? Como se dice que la superficie de la zona es de 700 m², y esta superficie vale S= y, se tendrá que y = 700 De donde y = L ( ) = + (Aquí termina el planteamiento del problema Ahora hay que resolverlo) ) Determinar el máimo o mínimo buscado Los óptimos se encuentran entre los puntos críticos de la función, que son las soluciones de f ( ) = 0 Para que sea máimo hay que eigir que f ( ) < 0 ; y para que sea mínimo, que f ( ) > 0 En este caso hay que buscar un punto que cumpla: L ( ) = 0 y L ( ) > Como L ( ) = + = + 00 L ( ) = = 0 = 00 = ±0 La solución = 0 hay que descartarla por no ser del dominio de definición de la función 8800 La derivada segunda: L ( ) = y L (0) = > 0 Por tanto, el mínimo pedido se obtiene cuando = 0 metros e y = 0 m

13 Ejercicio Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máimo? Solución: A partir del enunciado y siguiendo el proceso aplicado en el ejemplo anterior se tiene: ) El objetivo es que el volumen de la caja sea máimo La caja es un prisma rectangular, cuyo volumen = área de la base por la altura ) Para obtener la función conviene hacer un dibujo Si se corta un cuadradito de lado, el volumen de la caja obtenida será: V( ) = ( )( ) V( ) = + 78 ) Los puntos máimos o mínimos se encuentran, si eisten, entre las soluciones de V = 0 8 ± 08 V ( ) = + 78 = 0 = (se ha simplificado) Se obtienen, y, ) Para ver para qué valor se obtiene el máimo se hace V ( ) = y se evalúa en esas soluciones Como V (,) < 0 y V (,) > 0, el máimo se da para =, Esta es la solución buscada El valor =, no es posible, pues cm no da para cortar dos trozos de ese tamaño Ejercicio El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) = 0, Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p ( ) = 0, (C() y p() en unidades monetarias, um) Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios A cuánto asciende ese beneficio? Solución: El nivel de producción es el número de unidades que hay que producir para alcanzar un determinado fin a) El objetivo es determinar el número de unidades que hay que producir para que el coste medio por unidad, M(), sea mínimo El coste por unidad se halla dividiendo el coste total, C(), entre las unidades producidas, : 00 M( ) = 0, Para que M() sea mínimo, su derivada debe ser 0: M ( ) = 0, = 0 = 000, 00 Como M ( ) = M ( 000) > 0 Luego, el mínimo se da cuando = 000

14 El precio unitario mínimo será M ( 000 ) 9, um Observación: En este caso, la variable es discreta y sólo puede tomar valores enteros (de hecho, en el conteto del problema, la función considerada no es continua, y, por ende, tampoco derivable), por ello, la solución = 000 =, no es posible; la respuesta debe ser = o = Como M() = 9,8 y M() = 9,, debe elegirse = b) El objetivo es maimizar los beneficios obtenidos por la fabricación y venta de unidades de producto Estos beneficios, B(), se hallan restando los costes a los ingresos: B() = Ingresos totales Costes totales Los ingresos, I(), se calculan multiplicando el número de unidades vendidas por el precio por unidad Por tanto, I( ) = p( ) = ( 0,) = 0, De donde, B ( ) = I ( ) C ( ) = 0, 0, B ( ) = 0, + 00 ( ) ( ) Para que B() sea máimo, B ( ) = 0 : B ( ) = 0,8+ = 0 = 7, Como B ( ) = 0,8 < 0, el punto hallado da el máimo beneficio, que asciende a B(7,) = 0, um Nota: Como en el apartado a), la respuesta debe ser = 7 o = 8 En este caso es indiferente, pues B(7) = B(8) = 0, Ejercicio En el primer cuadrante y entre la curva y = y la recta y = se inscribe un rectángulo con uno de sus lados sobre el eje OY Determina sus vértices para que tenga superficie máima Solución: Si (, y) es el vértice sobre la curva, las dimensiones del rectángulo serán: base = ; altura y Como y =, su superficie viene dada por: S = ( y) S ( ) = ( ) = El máimo de S se da en la solución de S = 0 que hace negativa a S Derivando: S ( ) = = 0 = / Como S ( ) = < 0 siempre, para el valor = / se tiene la abscisa del vértice buscado La ordenada será y = / Por tanto, los vértices son: (0, /); (0, ); ( /, ); ( /, /)