UNIDAD 3 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

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1 UNIDAD DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Propósitos: Continur el estudio del concepto de derivd trvés del mnejo de su representción lgebric buscndo que el lumno reconozc ls regls de derivds como un cmino más eficz de obtener l derivd de un función. En l Unidd siguiente, pretendemos que: Obtengs l derivd de un función polinomil de, do ó er grdo usndo l definición f ( ) f ( ) f ( ) lim Identifiques el ptrón de comportmiento de ls derivds obtenids con el límite del cociente. Clcules l derivd de funciones lgebrics usndo ls regls de derivción. Reconozcs l jerrquí de ls operciones involucrds en l regl de correspondenci de un función pr plicr correctmente ls regls de derivción. Identifiques ls relciones eistentes entre l gráfic de un función y l gráfic de su derivd. Obtengs l ecución de l rect tngente en un punto de l gráfic de un función. Obtengs l velocidd instntáne como l derivd de l función posición y l celerción como l derivd de l velocidd. Des significdo l derivd de un función en el conteto de un problem. INTRODUCCIÓN. Significdo Intuitivo Del Concepto De Límite. En est sección iniciremos nuestro estudio de ls derivds lgebrics trvés de su definición que se dio en l unidd, pr poder clculr ests derivds requerimos un repso del cálculo de límites de funciones lgebrics sí como de su álgebr que requieren. L ide del método del límite es fundmentl en el cálculo y es un ide reltivmente simple, pero no es un ide isld y equivle lo siguiente. Pr determinr el vlor ecto de un ciert mgnitud determinmos primero, no l mgnitud en sí, sino un proimción de ell. Sin embrgo, no hcemos un únic proimción sino un serie de ells, cd un de ls cules es más precis que l nterior (un proceso infinito). Del emen de est serie de proimciones determinmos unívocmente el vlor ecto de l mgnitud. Por este método, que es en esenci profundmente diléctico, obtenemos un constnte fij como resultdo de un proceso o movimiento.

2 Ejemplo. En el problem de l pelot en l unidd, se quiere clculr l velocidd instntáne los segundos, en este ejemplo debemos clculr el límite siguiente: s( t) s().9t 0t 7.9 v() s () lim lim t t t t.9t 0t 7.9 En este cso l función es f() t observ que l función t no est definid pr t ( por qué?), es por está rzón que nos debemos proimr y sí conjeturr su límite, los vlores de f() t cundo t se proim por l izquierd l número, se resumen en l tbl siguiente. t f() t En este cso decimos que: s( t) s().9t 0t 7.9 m v() s () lim lim 0.6 t t t t s Definición intuitiv de límite. Cundo escribimos lim f ( ) L se lee el límite de f( ), cundo tiende l número, es igul L y signific que f( ) puede cercrse rbitrrimente L (si l distnci f () L es tn pequeñ, como quermos) siempre que se elij lo suficientemente cercno l número pero no igul l número (si pequeñ tmbién). Ilustrremos el proceso límite con el esquem siguiente: es f f () L L f( )

3 Aunque no es complicdo tomr vlores cd vez más cercnos l número en donde queremos clculr el límite, el método de proimciones es lrgo, por es rzón se buscn técnics ls cules fciliten este cálculo, pero, sin dejr de pensr que el cálculo de límites es un proimción de un proceso infinito. Con este fin iniciremos clculndo los límites más sencillos, no es difícil ver que limc c y lim y que l distnci de sus imágenes es tn pequeñ como se desee siempre y cundo l distnci ilustr continución. y y tmbién lo se, como se f ( ) c limc c lim El cálculo de límites pr otrs funciones tmbién es sencillo, siempre que recordemos ls propieddes de los límites que continución se enlistn. Propieddes de los límites. Los límites tienen vris propieddes muy importntes, lguns de ells son: El límite de un sum es l sum de los límites lim( f ( ) g( )) lim f ( ) lim g( ) () El límite de un producto es el producto de los límites lim( f ( ) g( )) lim f ( ) lim g( ) () El límite de un cociente es el cociente de los límites f( ) lim f ( ) lim, lim g( ) 0, () g( ) lim g( )

4 Ests propieddes no te ls justificremos porque pr ello hce flt contr con l definición forml del límite de un función. Lo que sí podemos hcer es tomr estos límites como bse pr encontrr otrs propieddes prtir de ells. Ejemplo. El límite de un constnte por un función es l constnte por el límite de l función. limc g( ) clim g( ) () Solución. Est propiedd se justific prtir de () y de que limc g( ) limc lim g( ) clim g( ) limc c : El resultdo nterior, nos permite etrer del límite un constnte, como se muestr continución: lim(7 ) lim7 lim 7lim 7 Utilizndo ls propieddes () y (), podemos hcer lo siguiente: lím( f ( ) cg( )) lím f ( ) límcg( ) lím f ( ) clím g( ) Si c =, se tiene que: lím( f ( ) g( )) lím f ( ) lím g( ), es decir: El límite de un diferenci es l diferenci de los límites lím( f ( ) g( )) lím f ( ) lím g( ) Ejemplo. Con bse en los límites que hemos clculdo y ls propieddes de los límites, conjetur el vlor de: ) lim b) lim c) lím d) lím Solución. sbemos que lim que: lim lim lim lim ( )( )( ) De mner similr y con l regl del producto, podemos conjeturr lim, lím y lím Ejemplo. Si n represent un número entero positivo, conjetur qué será n igul el lim.

5 Solución. Del ejemplo nterior, podemos deducir (y se puede probr por n n inducción) que lim Ejemplo. Clcul los límites siguientes: ) lím( ), b) lím. 0 Solución. En el primer cso tenemos ) lím( ) () () En el segundo cso 0 b) lím. = ( qué propieddes se usron?) 0 0 Sin embrgo límites de est nturlez son muy pocos los que se encuentrn, es más común encontrr límites los que les llmmos límites indetermindos, como el del cálculo de l velocidd en t, que hemos relizdo previmente, y usr el método de proimciones sucesivs tnto del ldo derecho como del ldo izquierdo, es un trbjo muy lborioso, sin tomr en cuent que conllev problems teoricos que no borddemos en est guí, fortundmente los límites con los que trbjremos requieren muy poc de álgebr pr poder clculrlos. n DERIVADAS DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c. Iniciremos con ls derivds de ls funciones f ( ) constnte) f ( ), generl. f ( ), f ( ) Recordemos l definición de derivd, sber, c, (en donde c es un y posteriormente conjeturremos el cso f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( ) Con bse en ell, clculemos f ( ) pr l función f ( ) c, por lo que f ( ) f ( ) f ( ) c c lim lim lim0 0 c, en este cso L derivd de un constnte es cero

6 De l mism form, pr l función f ( ), se tiene f ( ), sí L derivd de l función identidd es. f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim Pr clculr l derivd de l función lgebric muy conocid, sber: y, su derivd es f ( ) empleremos l identidd b ( b)( b ), en este cso f ( ) f ( ) f ( ) ( )( ) f ( ) lim lim lim lim( ) De mner nálog, l derivd de l función mism form, se tiene f ( ) b ( b)( b b ), se tiene f ( ) se clcul de l y hciendo uso de l identidd lgebric f ( ) f ( ) ( )( ) f ( ) lim lim lim lim( ) Hgmos un resumen, de ls derivds que hemos clculdo. Función f( ) Derivd f ( ) c 0 Podemos conjeturr (se puede probr por inducción) que l derivd de l n función f ( ), en donde n es un entero positivo, es f ( ) n n Pr encontrr l derivd de l función f ( ) se procede l mner siguiente: n c en donde c es un constnte, n n n n f ( ) f ( ) c c f ( ) lim lim c lim cn ( Qué propieddes emplemos?) n 6

7 REGLAS DE DERIVACIÓN. Constnte por un función. Est regl result de ls propieddes de los límites, consideremos que un función es derivble en el punto, entonces cf ( ) cf ( ) f ( ) f ( ) ( cf ( )) lim c lim cf ( ) A est propiedd tmbién se le dice que l derivd sc constntes. Ejemplo 6. Clcul l derivd de l función Solución. Por ls propieddes vists Sum f ( ) 8. f ( ) (8) Si f y g son diferencibles en el punto, entonces ( f ( ) g( )) ( g( ) g( )) ( f ( ) g( )) lim ( f ( ) f ( )) ( g( ) g( )) lim f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim lim f ( ) g ( ) L derivd de un sum es l sum de ls derivds, tmbién se dice que l derivd bre sums. Ejemplo 7. Deriv ls funciones ) f ( ) 6 9 b) 6 f ( t) t t Solución. ) b) f ( ) 8 0 f ( t) t t Sen f y g dos funciones derivbles en y c un constnte, entonces ( f ( ) cg( ))' f '( ) ( cg( ))' 7

8 Lo nterior es cierto porque, como y vimos, l derivd de l sum es l sum de ls derivds. Ahor, como l derivd de un constnte por un función es l constnte por l derivd de l función, obtenemos: Resumiendo: f '( ) ( cg( ))' f '( ) cg '( ) ( f ( ) cg( ))' f '( ) cg '( ) En prticulr si c, obtendremos: ( f ( ) g( ))' f '( ) g '( ) Cbe clrr que en Mtemátics, se hbl indistintmente de sum o rest diciendo sum lgebric que y involucr ls dos operciones nteriores y posteriormente, sólo se dice l sum (unque se esté restndo). Apliquemos los resultdos obtenidos l problem siguiente. Ejemplo 8. Se lnz un pelot verticlmente desde el suelo, con un velocidd inicil de 0 m/seg. Cuál es l velocidd los dos segundos? De l físic sbes que l tryectori de l pelot está dd por l función: f ( ).9 v0 f 0, En est fórmul f represent l ltur que lcnz l pelot sobre el suelo, es el tiempo trnscurrido, v 0 es l velocidd inicil con l que se lnz l pelot y f 0 es l ltur inicil de l pelot. En este cso l velocidd inicil v 0 es de 0 m / seg y l distnci inicil es de 0 metros, y que se lnz desde el suelo. Sustituyendo estos dtos en l función, se tiene: f ( ).9 0 En nuestro cso, l velocidd es l derivd de l función f, l cul se determin como sigue: f ( ) (.9 0 ) (.9 ) (0 ).9( ) 0( ).9( ) 0() f ( )

9 Así pues, l velocidd cundo es f () 9.8() 0 0. m/ seg. En l primer unidd trbjmos resolviendo problems hciendo eplícito los procesos infinitos involucrdos. Ahor, hemos sintetizdo dichos procesos por medio de l derivd. Producto Si f y g son diferencibles en el punto, entonces f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( f ( ) g( )) lim f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) lim ( f ( ) f ( )) g( ) f ( )( g( ) g( )) lim f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim g( ) f ( ) lim f ( ) g( ) g ( ) f ( ) Concluimos que l derivd de un producto es ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) g ( ) f ( ) Est regl suele decirse l derivd de un producto es l derivd de l primer función por l segund más l derivd de l segund por l primer función. Posiblemente este resultdo se uno de los más importntes de l derivd de un función (y tmbién el que hce que se utilice más álgebr). Ejemplo 9. Clcul l derivd de ls funciones siguientes. ) f ( ) ( ) b) f ( ) ( )( ) Solución. ) sbemos que l derivd de l función es y que derivd de l función es 0, hor emplendo l regl pr el producto de dos funciones se tiene que l derivd de l funció n es: f ( ) ( ) ( 0 ) b) de l mism mner que el inciso ) 9

10 f ( ) ( 8 )( ) ( )( 6 ) Cociente. f Sen f y g dos funciones derivbles en y y. Queremos encontrr g y. Conocemos l derivd de un producto de funciones, por lo que podemos empler es regl si trnsformmos el cociente nterior un producto de dos funciones, lo cul es sencillo y que f y f yg g Ahor, plicmos l regl del producto l función f sí obtenemos: f ' y ' g g ' y Despejndo y sí obtenemos: y ' f ' g ' y, g g 0 De est mner, sustituimos el vlor de y en l últim epresión: y ' f f ' g g ' f f ' g' f ' g ' y g g f ' g g ' f g g g g Hemos encontrdo l regl pr derivr el cociente de dos funciones que enunciremos continución: Sen f y g dos funciones derivbles y g ( ) 0, entonces ' f ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) g f f g ( ) g g Ejemplo 0. Encuentr l derivd de l siguiente función y Solución. Pr hcerlo, observ que en este cso f ( ) y g( ), sus respectivs derivds son; f ( ) y g ( ). Aplicndo l regl del cociente, se tiene ' f ( ) g f f g g g ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( )( ) ( )() 0

11 ( ) ( ) Ejemplo. Deriv l función f( ) Solución. Aplicndo l fórmul encontrd se tiene f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De l cden con funciones del tipo f( ) n con f( ) un polinomio L regl del producto nos permite generlizr otrs regls pr derivr, por ejemplo, l regl de ls potencis pr funciones, iniciremos con l derivd de l función h( ) ( f ( )) en donde suponemos que l función f es derivble. Podemos escribir l función que est elevd l cudrdo ( f ( )) f ( ) f ( ) como el producto de dos funciones y después plicr l regl del producto. ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h f f f f f f f f f O bien (( f ( )) ) f ( ) f ( ) Grcis este resultdo, derivr polinomios elevdos l cudrdo hor, result sencillo. Ejemplo. Si entonces Ejemplo. Si f ( ) ( ), f ( ) ( )( ). f ( ) ( ), entonces f ( ) ( )( 0 ). Ahor consideremos h( ) ( f ( )), queremos clculr su derivd, primero lo escribimos como h( ) ( f ( )) f ( ) el producto de dos funciones y posteriormente clculmos l derivd de ell. h ( ) (( f ( )) ) f ( ) f ( )( f ( )) f ( ) f ( ) f ( ) ( f ( )) f ( )

12 ( f ( )) f ( ) ( f ( )) f ( ) ( f ( )) f ( ) Es de esperrse que si h( ) ( f ( )) entonces h ( ) ( f ( )) f ( ) Y en generl, tenemos pr un número entero n el siguiente resultdo ( ( ) n n f ) n( f ( )) f ( ) Ejemplo. Deriv l función f ( ) ( ) Solución. Aplicmos l regl encontrd y obtenemos 8 7 f ( ) 8( ) ( 0 ) Ls funciones se pueden combinr, sí se puede tener el siguiente 9 Ejemplo. Deriv l función siguiente: f( ) Solución. Por l form en que est escrit l función, primero, debemos derivr l potenci y después el cociente, De l ríz. f '( ) 9 ( )( ) ( 9)() ( ) ( ) 8( 9) ( 8) ( ) Clcul l derivd de y f. Con el fin de poder plicr l regl del producto elevemos l cudrdo mbos miembros de l iguldd y simplifiquemos el resultdo: ( y) ( f ) f Ahor, derivmos l función y utilizndo l regl de ls potencis:. (( y) )' f ' y ( ) y( ) f ( ) y ' f ' f ' y f

13 De est mner obtenemos l regl de l derivd de l ríz cudrd de un función, esto es: Si y f, entonces y ' f ' f Ejemplo 6. Clcul l derivd de l función siguiente: f ( ). Solución. Utilizndo l regl de l ríz obtenemos f '( ). Ejemplo 7. Deriv l función y Solución. Utilizndo l regl de l ríz cudrd y Ests regls se pueden combinr y obtener l derivd de un grn vriedd de funciones lgebrics. Ejemplo 8. Encuentr l derivd de ls siguientes funciones j ( ). j( ). m ( ) 9 9. k ( ) Solución. Aplicmos ls regls de derivción que hemos encontrdo.. ( )( ) ( )() ( )( j'( ). ( ) ( ) ( ). j'( ). 9 9 m'( ) k'( )

14 Notción. Es conveniente, que estudiemos ls principles notciones que eisten sobre l derivd de un función. Recordemos que en el problem del cohete tenímos l función s( t) 0t.9t y que l velocidd promedio en dos tiempos diferentes (su rzón de cmbio promedio) fue representd con l pendiente de l rect determind por esos dos puntos. Abstryendo est ide, como queremos estudir l rzón de cmbio instntáne de un función f culquier, representremos su gráfic y escogeremos dos puntos (uno fijo pr estudir l rzón de cmbio instntáneo en él, y el otro móvil, como se hizo en l segund unidd) los que uniremos con un rect y mostrremos ls diferentes notciones que hy sobre su rzón de cmbio. Consider l gráfic de l función f, que continución se ilustr: f f ( ) f ( ) f( ) y f f( ) Estudimos l rzón de cmbio promedio en el intervlo [ ], (tmbién puede ser en el intervlo [ ],, el cul no est ilustrdo), est rzón está dd por: Posteriormente, clculmos l derivd en, tomndo el límite del cociente cundo se proim l número. En lgunos libros cundo inicin el cálculo de l derivd en el punto, l diferenci le llmn incremento de, y lo simbolizn medinte, y l diferenci f ( ) f ( ) incremento de f, simbolizdo por f. Así, nuestr rzón de cmbio promedio se denot como: f ( ) f ( ) f f ( ) f ( )

15 l cul es conocid como el cociente de incrementos. Pr tener un visulizción, observ l gráfic siguiente: y f ( ) f f ( ) f ( ) f( ) y f L derivd l podemos escribir como el límite, cundo tiende cero, del cociente de incrementos, lo que nos permite simbolizr l derivd de l función f como: f f ( ) f ( ) df f '( ) lím lím 0 0 d Otros utores denotn l incremento de con h, y el procedimiento nterior lo trtn de l mism form, en que se h epuesto quí, cmbindo por h quedndo l definición de l derivd como: f '( ) lím h 0 f ( h) f ( ) h Finlmente, tmbién se puede denotr l derivd de f como Df. Resumiendo, l derivd de l función f con respecto, se puede escribir de culquier de ls tres forms siguientes: Problems de plicción. Cálculo de tngentes. df, D f o f '( ) d Si un curv C es l gráfic de l función y f ( ) y queremos determinr l tngente C en el punto T(, f ( )), entonces considermos un punto cercno P(, f ( )), donde, y clculmos l pendiente de l rect secnte PT :

16 M PT = f ( ) f ( ) () Posteriormente, proimmos el punto P l punto T lo lrgo de l curv C, hciendo que se proime hci el número. Si M PT se proim un número m, entonces definimos l rect tngente como l rect que ps por T con pendiente m. (Esto equivle decir que l rect tngente es l posición límite de l rect secnte PT cundo P tiende T ). (Ve l figur). y T P 0 Definición. Si T(, f ( )) es un punto de l gráfic de un función f, entonces l rect tngente l gráfic de f en T es l rect que ps por T y tiene pendiente m ( ) dd por f ( ) f ( ) m( ) lim f ( ) siempre que el límite eist. Ejemplo 9. Encuentr l pendiente de f ( ) en el punto T (,). Solución. Primero, debemos cerciorrnos que el punto este en l gráfic de l función, lo cul se puede verificr fácilmente. Un vez que lo hemos hecho, clculr l pendiente es sencillo lo hcemos de l mner siguiente. Usndo l definición de m ( ) pr, obtenemos m() f () () 8 Por lo tnto, l pendiente de f en T(,) es m 8. Ejemplo 0. Encuentre l ecución de l rect tngente l prábol f ( ), en el punto (, ). Solución. Primero verificmos que el punto este sobre l gráfic de l función, evlundo el vlor de l bscis en l función y verificndo que los vlores coinciden, un vez relizdo esto clculmos l derivd de l función f ( ), por lo tnto l pendiente de l rect tngente en el punto (, ) es 6

17 m() f () () 0, usmos l ecución de l rect en su form punto pendiente, y 0( ) 0 por lo tnto l ecución de l rect es y Ejemplo. Encuentre ls coordends del segundo punto donde l tngente cruz l curv f ( ) en el punto (, ). Solución. Primero, clculemos l ecución de l rect tngente, con este propósito clculemos l pendiente generl en culquier punto f ( ), en prticulr en el punto (, ), l pendiente es m ( ) ( ), usmos l ecución punto pendiente pr obtener l ecución de l rect y ( ) o y, pr encontrr ls coordends del punto de intersección igulmos ls funciones de l curv con l rect y obtenemos Pr encontrr sus ríces, resolvemos l ecución resultnte. ( )( ) ( )( ) 0, el segundo fctor y lo hemos clculdo, sí l únic solución es =, y l ordend es y 8, por lo que el punto de intersección es (,8). Ejemplo. Encuentre el punto P en l gráfic de f ( ) tl que l intersección de l rect tngente en P corte l eje de ls bsciss en. Solución. Supongmos que P tiene coordends en P es como l que se muestr en l figur (, ) y que l rect tngente y P(, f ( )) 7

18 Primero determinemos l pendiente de l rect tngente m( ) mner l ecución de l rect tngente que ps por los puntos es 0 ( ) simplificndo l ecución, se tiene Por lo cul 0 o 6. El punto solicitdo es P (6,6). Cálculo de velociddes. ( 6) 0, de est (, ) y (,0) SI un móvil se desplz por un rect, hblmos de movimiento rectilíneo y se puede usr un rect horizontl (o verticl) con un origen designdo como rect de movimiento. El movimiento hci l derech se consider en dirección positiv y hci l izquierd negtiv. L función s que d l posición (respecto del origen) del móvil como función del tiempo t se llm función de posición. Si sobre un cierto lpso de tiempo t, el objeto cmbi su posición un cntidd s s( t t) s( t ) Cmbio en distnci entonces l velocidd promedio en este período es velocidd promedio = desplzmiento s s( t t) - s( t) tiempo t t Supongmos hor que clculmos ls velociddes promedio sobre intervlos [ t, t t] más y más cortos. En otrs plbrs, hgmos que t tiend 0, de est mner obtenemos l velocidd instntáne del objeto, como lo hicimos notr en l unidd. Ejemplo. Desde lo lto de un edificio de m se dej cer un pelot y está se desplz verticlmente hci el suelo. Después de t segundos l pelot hbrá cído un distnci de s( t).9t metros. ) Cuánto tiempo le tom l pelot tocr el suelo? b) Cuál es l velocidd promedio de l pelot durnte el tiempo que ce? c) Cuál es l velocidd de l pelot ectmente los segundos? 8

19 Solución. () Como el edificio mide m, l pelot tocrá el suelo en el instnte t cundo st ( ), es decir,.9t, resolviendo l ecución se tiene t.0.9 L pelot trd proimdmente segundos pr tocr el suelo. (b) Luego, l s velocidd promedio t = m s Por lo tnto, l velocidd promedio durnte el tiempo que ce es proimdmente m / seg. c) Su velocidd instntáne los dos segundos es: v() s () 9.8() 9.6 m s Ejemplo. L ecución del movimiento s( t) t 6t denot el desplzmiento (en metros) de un prtícul que se mueve en líne rect. En dich epresión, t se mide en segundos. Encuentre l velocidd de l prtícul en los instntes t, t y t. Solución. Sbemos que l velocidd instntáne se encuentr derivndo l función, primero derivemos l función v( t) s ( t) t 6 Bst hor con evlur l velocidd en los tiempos pedidos. v() () 6 8 m s, v() () 6 m s y v() () 6 m s Ejemplo. Un prtícul se desplz lo lrgo de un rect horizontl de cuerdo con l ecución. s( t) t t t Determin en que tiempo l velocidd instntáne es cero. Solución. L derivd de l función (velocidd) es L velocidd es cero cundo t y s ( t) 6t 8t (t )( t ) t. 9

20 EJERCICIOS PROPUESTOS. ) Se h ( ) entonces l epresión correct pr h ( ) es: 6 A) B) C) 6 D) E) 6 ) El resultdo de d d A) 6 8 B) D) 6 8 E) 8 es: 6 8 C) 6 d ) El resultdo de d A) 8 6 D) 8 8 es: 6 B) 8 6 E) 8 6 C) 8 ) L derivd de l función f( ) - A) B) D) + E) 9 + es: C) ) L derivd de f ( ) ( b)( c d ), en donde, b, c y d son constntes es: A) c B) bd C) c D) c bc E) c bc d 6) Si y, entonces su derivd es: A) y = 6 B) y = 6 C) y = 6 D) y = 6 E) y = 6 60

21 d 7) El resultdo de d 6 6 A) 6 B) es: 6 C) 6 D) 6 E) 8 6 8) L derivd de l función y = A) y = C) y = E) y = es: B) y = D) y = ) Al simplificr l derivd de l función f( ) 6 8, se obtiene: ( ) A) f ( ) B) f ( ) C) ( ) D) f ( ) E) f ( ) ) L derivd de l función y = A) y = D) y = 0 0 B) y = es: E) y = C) y = ) Si f ( ), entonces su derivd es igul : A) f ( ) B) f ( ) C) f ( ) D) f ( ) E) f ( ) ) Si f ( ) ( ), entonces su derivd es igul : A) f ( ) = 6 D) f ( ) = 6 6 B) f ( ) = E) f ( ) = ( ) C) f ( ) = 6

22 ) Si f ( ) ( ), entonces f ( ) es igul : A) B) D) C) E) ( ) ) Si f ( ) 6, entonces f ( ) es igul : A) B) 6 C) ( 6) 8 D) ( 6) 8 E) ( 6) 8 ) Si f ( ), su derivd es igul : () ( )() A) f '( ) B) f ( ) C) ( ) 6) Si y A) y = f ( ) D) f ( ) E) f ( ) ( ) ( ), su derivd es igul : B) y = C) y = ( ) ( ) D) y = ( ) d 7) El resultdo de es: d A) 0 B) C) 8) Si A) y E) y = ( ) D), su derivd y es igul : B) C) ( ) ( ) D) E) E) 6 6 ( ) 6

23 9) Si f( ) A) f ( ) = D) f ( ) = 6 entonces B) f ( ) = E) f ( ) = 8 ( ) 8 C) f ( ) = 9 7 0) Si y, entonces: 0 6 A) y B) y C) y 6 6 D) y ) Derivndo y simplificdo l función y = A) y D) y 7 B) y E) y E) y C) y 0 6 result: 6 ) L derivd de l función y A) y = D) y = 6 7 B) y = es: 7 E) y = / C) y = 8 ) L derivd de y ( ) es: A) D) y ( ) B) y ( ) E) y ( ) C) y ( )( ) y ( )( ) 6

24 ) El resultdo de A) D) d d es: B) E) 9 C) 8 8 ) Derivndo y simplificndo l función y ( ), result: A) C) E) ( ) B) ( ) (0 ) ( ) (0 ) D) ( )( ) ( ) ( ) 6) Si y ( ), entonces y es igul : A) ( ) 8 B) ( ) C) ( ) D) ( 8 ) E) ( ) 7) Si y ( ), entonces su derivd es igul : A) y E) y 0 ( ) ( ) 6 6 B) y ( 8 ) C) y 8 ( ) D) y 0 ( ) 6 8) Si y = A) y = D) y = 6 se tiene entonces que: 6 6 B) ( ) y = 6 6 E) y = ( 6 ) C) y = 6 9) El resultdo de A) D) 7 d d B) E) 7 8 es: 8 C)

25 TEMA. PROBLEMAS DE APLICACIÓN ) L pendiente de l rect tngente l curv y en el punto T, es: A) B) - C) 8 D) - 8 E) 0 ) L pendiente m de l rect tngente l curv cuy epresión es f ( ) en es: A) m B) m 0 C) m 0 D) m 68 E) m y ) L pendiente de l rect tngente l hipérbol T, es: en el punto A) - B) C) 9 D) E ) ) L ecución de l rect tngente f ( ) en el punto T (,6) es: A) y B) y 9 C) y D) y E) y 9 ) L ecución de l rect tngente l curv f ( ), en el punto en donde es: A) y 0 79 B) y ( 6 )( ) C) y 0( ) D) y 79 0 E) y 0( ) 6) L ecución de l rect tngente l gráfic de l ecución punto de bscis es: y en el A) y 6 0 B) y 6 0 C) y 6 0 D) y 6 0 E) y 6 0 7) L ecución de l rect tngente l curv f ( ) en (,) T es: A) y B) y C) y D) E) y 8) L ecución de l rect tngente l curv f ( ) cundo, es: 6

26 A) y B) y C) y D) y E) y 7 9) L ecución de l rect tngente l curv cuy epresión es f( ) 0 es: A) y B) y C) y D) y E) y en 0) Ls bsciss de los puntos de l función pendiente de l rect tngente es, son: f ( ) cuy A) y / B) 0 y C) 6 y D) y / E) y ) Ls bsciss de los puntos de l función pendiente de l rect tngente es, son: f ( ) 7 cuy A) y B) 0 y C) y D) y / E) 0 y / ) Cuáles son ls bsciss en donde l rect tngente es horizontl l gráfic de l función dd por f ( ) 8? A) y B) 0 y C) y D) y E) 0 y. ) Ls bsciss de los puntos de l función: f( ) en los que l rect tngente es horizontl, son: A) y B) y C) y D) y E) y Con el problem siguiente, contest ls pregunts y 6. Se lnz un pelot hci rrib con un velocidd de 9 m / seg, su ltur después de t segundos se epres como: s(t) = 9t.9t. ) L velocidd y celerción de l pelot cundo t son: A) v 0 m/s B) v.9 m/s C) v 9.8 m/s 9.8 m/s 9.8 m/s 9.8 m/s D) v 9.8 m/s E) v 9.8 m/s.9 m/s 9.8 m/s 66

27 6) El momento en que l pelot lcnz su ltur máim, es cundo: A) t B) t.9 C) t D) t 0 E) t 9.8 Con el problem siguiente, contest ls pregunts 7 y 8. Un globo erostático sube verticlmente; ls t hors su distnci s de l Tierr, s medid en kilómetros, está dd por l fórmul: s(t) = 9t t. 7) L velocidd y l celerción del globo cundo h trnscurrido ectmente un hor son: A) v km / h B) v 6 km / h C) v km / h 6 km / h km / h 6 km/ h D) v 6 km / h E) v km / h 6 km / h km / h 8) En qué momento es cero l velocidd del globo? A) t B) t. C) t D) t E) Con el problem siguiente, contest ls pregunts 9 y 0. t En un juego de béisbol uno de los jugdores lnz un pelot otro jugdor con un velocidd inicil de 80 m/seg. Si considermos que l ltur l que se lnz l pelot es cero, l función que describe l tryectori de l pelot es: s ( t) 80t.9t 9) L velocidd y l celerción de l pelot cundo h trnscurrido t segundos son: A) v t B) v t C) v 9.8 m/ seg 80 m / seg 9.8 m / seg D) v 80 t 9. 8t E) v t 9.8 m / seg 9.8 m / seg 0) A prtir de qué momento l pelot empiez bjr? 9.8 m / seg A) t 6.7 B) t. C) t 8.6 D) t.7 E) t. 67

28 ) L ltur de un pelot está dd por l función h( t) 0t t 8 m. L máim ltur que lcnz l pelot es: A) m B) 8 m C) 8 m D) 68 m E) 0 m ) En el problem nterior, l velocidd de l pelot l tiempo t seg es: A) m/ s B) 8 m/ s C) 0 m/ s D) 0 m/ s E) 0 m/ s Con el problem siguiente, contest ls pregunts y. L epresión lgebric de un objeto que sube verticlmente es de s( t) 0 0t t metros. ) L velocidd instntáne en el tiempo t es: A) 00 m/ s B) 0 m/ s C) 9 m/ s D) 0 m/ s E) 90 m/ s ) L ltur máim que lcnz el objeto es: A) 000 m/ s B) 90 m/ s C) 80 m/ s D) 70 m/ s E) 90 m/ s Con el problem siguiente, contest ls pregunts y 6. Se lnz un pelot hci rrib, su ltur después de t segundos se epres como: s(t) = 9t.9t. ) L velocidd y celerción de l pelot ectmente los dos segundos de vuelo son: A) v 0 m/s B) v.9 m/s C) v 9.m/s 9.8 m/s 9.8 m/s 9.8 m/s D) v 9. m/s E) v 9.8 m/s.9 m/s.9 m/s 6) El momento en que l pelot lcnz su ltur máim, es cundo: A) t.9 B) t 9.8 C) t D) t E) t 0 7) Desde lo lto de un edificio ( m) se dej cer un piedr y ést se desplz verticlmente hci el suelo. Después de t seg l piedr hbrá cído un distnci de t m. A qué velocidd se mueve l piedr cundo choc con el suelo? A) 0 m/seg B) 0 m/seg C) 0 m/seg D) 0 m/seg E) 0 m/seg 68