= x De este modo: Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.

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1 IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 6 FUNCIONES REALES. PROPIEDADES GLOBALES.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO Y RECORRIDO. Recuerda que hay distintas ormas de epresar una unción. Enunciado o descripción verbal: A cada número se le hace corresponder su doble. Tabla de valores: Epresión analítica de la relación Gráica: o órmula matemática: NÚMERO SU DOBLE () (y) - - y o bien: ( ) - - De este modo: 0 0 ( ), ( ) ( ) 8 6 Esto es un ejemplo de FUNCIÓN. y Son distintas ormas de epresar una relación entre dos manitudes de manera que a cada valor de la variable le corresponde un ÚNICO valor de la variable y. Al único valor de y que le corresponde a se le llama imaen de. Al valor de cuya imaen es y, lo llamamos oriinal de y o antiimaen de y. En el ejemplo anterior: La imaen de 9 es8 (9) 8 La antiimaen de8 es 9 Una FUNCIÓN entre dos conjuntos numéricos A y B es una correspondencia que asina a cada elemento de A, a lo sumo, un único elemento y de B. Variable independiente. y Variable dependiente (depende de ). A Conjunto inicial (donde toma valores la variable independiente). B Conjunto inal (donde toma valores la variable dependiente). Dominio de una unción: Conjunto de valores que toma la variable independiente. Se denota por Dom() y es un subconjunto de A. También se llama campo de eistencia de la unción. Recorrido o imaen de una unción: Conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Se denota por Rec() o también Im(). Es un subconjunto del conjunto inal B. Si el conjunto inicial y inal de una unción es R, se llama unción real de variable real. Se escribe: : Dom( ) R Dom a y ( ) Nos ocuparemos eclusivamente de este tipo de unciones. Ejemplo: a) : R R a ( ) ( ) R [ 0, + ) a Notación: R ( + ) + 0, R [ + ) + 0, R (,0) R ( ],0 0 0 Ejercicio: Dada la unción ( ) +. a) Calcula la imaen de y. b) Calcula la antiimaen de y de 5. R ( ) Departamento de Matemáticas Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro b) : R R \{} 0

2 IES Padre Poveda (Guadi) TIPOS DE FUNCIONES: POLINÓMICAS ( ) + 7 RACIONALES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS ( ) + IRRACIONALES ( ) 7 FUNCIONES EXPONENCIALES ( ) TRASCENDENTES LOGARÍTMICAS ( ) ln( + ) TRIGONOMÉTRICAS ( ) t( + ) A las unciones racionales raccionarias se les llama simplemente racionales. ln( ) + e Podemos tener unciones como ( ) mezcla de varios tipos de trascendentes. cos Recuerda: Una ráica corresponde a una unción cuando cada recta paralela al eje de ordenadas corta a la ráica, a lo sumo, una sola vez. Sí es unción No es unción Sí es unción No es unción CÁLCULO DE DOMINIOS: Si la unción viene dada por su epresión matemática es conveniente obtener su dominio para así saber dónde está deinida. El dominio de una unción debe estar ormado por los valores de para los que tiene sentido sustituir en su epresión analítica. En el cálculo de dominios debemos evitar los valores de que: Anulan denominadores (división por cero). Dan luar a raíces de índice par de números neativos. Dan luar a loaritmos de números no positivos. Ejemplos: a ) ( ) + + b) ( ) c ) ( ) + 7 d) ( ) ( )( 5) 5 e ) ( ) 9 5 ) ( ) ) ( ) h) ( ) i ( ) ) j) ( ) ( ) ( ) k ) 7 l ) m ) ( ) ( ) n) + 7 ñ) ( ) o ) ( ) 5 ( ) 5 p) + 0 q) ( ) + 5 ( ) 7 ( ) 7 r) + s) + t) ( ) 7 + u ) ( ) + v) ( ) 5 w) ln 5 ) y ) ( ) ( ) ( ) lo 9 ( ) + ln Departamento de Matemáticas Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

3 IES Padre Poveda (Guadi). MONOTONÍA Y EXTREMOS. ACOTACIÓN... MONOTONÍA. es estrictamente creciente en un intervalo abierto ( a, b), si para cualquier pareja de números reales c, d ( a, b) se si c < d c < d cumple que ( ) ( ). es estrictamente decreciente en un intervalo abierto ( a, b), si para cualquier pareja de números reales c, d a, b se cumple que si c < d () c > ( d ). ( ).. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS. Si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo abierto ( a, b), diremos que es estrictamente monótona en ( a, b). tiene un máimo relativo (o local) en a si eiste un entorno de a, ( a r, a + r), en el que: si < a ( ) < ( a) si > a ( ) < ( a) tiene un mínimo relativo (o local) en a si eiste un entorno de a, ( a r, a + r), en el que: si < a ( ) > ( a) si > a ( ) > ( a) Si presenta un máimo o un mínimo relativo en a diremos que presenta un etremo relativo en a. tiene su máimo absoluto (o lobal) en a si: a Dom ( ) ( ) ( ) tiene su minino absoluto(o lobal) en a si: ( a) ( ) Dom( ) Si presenta un máimo o un mínimo absoluto en a diremos que presenta un etremo absoluto en a. Fíjate: Podemos encontrar mínimos relativos con valor mayor que máimos relativos y viceversa. Un etremo absoluto puede alcanzarse en uno o varios puntos distintos o bien no alcanzarse. Etremos relativos Concepto local Etremos absolutos Concepto lobal.. FUNCIONES ACOTADAS. está acotada superiormente si eiste un número real M tal que: ( ) M Dom( ) Departamento de Matemáticas Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

4 IES Padre Poveda (Guadi) está acotada ineriormente si eiste un número real N tal que: N Dom ( ) ( ) está acotada si lo está superior e ineriormente, es decir, eisten dos números reales M y N tales que: N ( ) M Dom( ) Observa: En las iuras anteriores, la menor de las cotas superiores (llamada supremo) coincide con el máimo absoluto de la unción. Del mismo modo, la mayor de las cotas ineriores (llamada ínimo) coincide con el mínimo absoluto. Sin embaro, puede que una unción esté acotada superiormente y/o ineriormente y sin embaro no tener máimo ni mínimo absolutos como en el siuiente ejemplo. Cota superior: M.8 Cota inerior: N -.8 Sin embaro no tiene etremos absolutos ni relativos.. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD... FUNCIONES SIMÉTRICAS. ( -) ( ) es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) si: ( ) ( ) Dom( ) - ( ) - ( -) Se dice que es una unción par. es simétrica respecto del orien de coordenadas O(0,0) si: ( ) ( ) Dom( ) Se dice que es una unción impar. Ejemplo : Estudia las simetrías de las siuientes unciones: a) b) c) Ejemplo : Estudia, analíticamente, si estas unciones presentan alún tipo de simetría. 6 a) b) ( ) c) ( ) 5 + d) ( ) ( ) Departamento de Matemáticas Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

5 IES Padre Poveda (Guadi).. FUNCIONES PERIÓDICAS. es periódica de periodo T, si eiste un número real T tal que: + T Dom Fíjate: T, T también son periodos de T. A T se le llama periodo principal. ( ) ( ) ( ) Esta unción ( ) cos es periódica de periodo T π. OPERACIONES CON FUNCIONES. Dadas dos unciones y, se deine: Suma de y : ( + )( ) ( ) + ( ) Dom( + ) Dom( ) Dom( ) Dierencia de y : ( )( ) ( ) ( ) Dom Dom Dom Producto de k R y : ( k )( ) k ( ) Dom( k ) Dom( ) Dom Dom Dom ( ) ( ) ( ) Producto de y : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cociente de y : ( ) ( ) Dom Dom( ) Dom( ) con ( ) 0 ( ) + Ejemplo : Si ( ) 5 y ( ) +, calcular: a ) + b) c) d) e) Ejemplo : Si ( ) y ( ), calcular: a ) + b) c) d) 5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Consideremos las unciones ( ) y ( ) ) ) + e) ) A 6 le hemos aplicado : ( ) ( ) A le hemos aplicado : ( ). ( ) / ( 6) ( ( 6) ) ( ) 6 h) ) h) / o 6 Pretendemos construir una nueva unción que transorme 6 en / directamente: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( 6 )) ( o )( ) 6 Esta nueva unción se representa por o y se denomina composición de y. / ( o )( ) ( ( ) ) Dom( o ) { Dom( )/ ( ) Dom( ) } Observación: o Se lee compuesta con. o Se lee compuesta con. En eneral, o o, es decir, no cumple la propiedad conmutativa. Departamento de Matemáticas 5 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

6 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo: Si ( ) 5 ( ). a) Obtén ( )( 9) ( o )( 9) ( ( 9) ) Ejercicio: Obtén o sin calcular la unción o. ( ) ( 9) 6 o 9 obteniendo previamente o. b) Calcula ( )( ) ( o )( ) ( ) 5 ( o )( 9) ( ) ( ) 5 ( )( ) o 5 c) Calcula o. ( o )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 Observa: o o o, o, o y o en los siuientes casos: a) ( ) + ( ). b) ( ) + ( ). c) ( ) + ( ). d) ( ) + ( ). 6. FUNCIÓN INVERSA. Dada la unción ( ) busco otra unción que actúe al revés. 5 ( ) ( ) 5 ( )? 5? Recuerda: inyectiva si ( ) ( y) y Para obtenerla seuimos los siuientes pasos: º) Escribo: y º) Despejo : y + º) Cambio por y y viceversa: y + º) Cambio y por + ( ): ( ) A se le llama unción inversa (o recíproca) de la unción. No todas las unciones tienen inversa. Únicamente las que son inyectivas. Inyectiva No inyectiva Propiedad : Las ráicas de y son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir, la recta y. (Observa la ráica del ejemplo anterior). Propiedad : ( o )( ) ( o )( ) En el ejemplo anterior: ( o )( ) ( ). En este caso la composición es conmutativa. + + ( ) / + ( o )( ) / + / / ( o )( ) ( ( ) ) ( ) ( o )( ) Departamento de Matemáticas 6 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro / /

7 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo : Calcula en los siuientes casos y comprueba que o i a) ( ) 6 y 6 y + 6 y + 6; o. Recuerda: i ( ) es la unción identidad. y + 6 ( ) + 6 Veamos que o o i ( o )( ) ( ) ( ) ( 6) 6/ + 6/ ( o )( ) ( ( ) ) ( + 6) ( + 6) 6 + 6/ 6/ b) ( ) 5 c) ( ) + 6 d) ( ) + + e) ( ) - Ejemplo : Si ( ) obtén, si es posible,. ( ) ( ) y y y Cuál eleimos? y y Esto ocurre porque no es inyectiva. En este caso podemos descomponer en dos tramos en los que sí lo es y tendrá su inversa respectiva en uno de ellos: No es una unción ( ) en [ 0,+ ) ( ) ( ) en (,0] ( ) Observa las ráicas en cada tramo: - - Fíjate: a b b ( ) ( ) a Departamento de Matemáticas 7 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro