Integral indefinida de funciones algebraicas
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- Jorge Toro Macías
- hace 7 años
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1 Integral indefinida de funciones algebraicas En esta sección vamos a empezar a practicar el cálculo de integrales indefinidas de funciones. ( 1) d Ejemplo 1 Empezamos aplicando la regla (i) para separar el integrando y así formar dos integrales: ( 1) d = d d Ahora aplicamos las reglas (iii) y (iv) para calcular las integrales. Para la primera integral, tenemos n =, con lo que n + 1 = 3: d d = C Observa que en el ejemplo anterior teníamos que sumar dos constantes. Pero el resultado de sumar dos constantes es igual a otra constante, por eso solamente se incluye una al final. Calcula la siguiente integral indefinida: ( ) d Ejemplo Empezamos aplicando la regla (i) de integración: ( ) d = d + d + 3 d Ahora aplicamos la regla (ii) en cada integral: d + d + 3 d = d + 1 d + 3 d Aplicamos la regla de integración (iv) y después simplificamos: ( ) ( ) ( ) d + 1 d + 3 d = C 3 = C ( ) d = C 1/5
2 Ejemplo d Para calcular esta integral indefinida empezamos aplicando la regla (i): Al simlificar los integrandos obtenemos: d + 1 d d 1 3 d + d d d 3 d + d = + ln + C + 1 d = + ln + C Ejemplo ( ) 3 d Empezamos aplicando la regla (i): ( ) 1 3 d = d + d + 1 d 1 3 d Ahora vamos a epresar cada integral con un eponente negativo, salvo la segunda, que ya sabemos cómo integrar: d d + d + d 3 d = d + + d 3 d Ahora podemos aplicar las reglas de integración (iii), (iv) y (v): d d + + d 3 d = + ln C = + ln C ( ) d = + ln C /5
3 Calcula la siguiente integral indefinida: ( 7) 1 d Ejemplo 5 No es una buena idea empezar este problema desarrollando el binomio a la potencia 1. Mejor observa que si definimos: v = 7, entonces, dv = d. hace falta completar la diferencial para poder integrar. Para eso multiplicamos por / y factorizamos fuera de la integral al del denominador: ( ) ( 7) 1 d = 1 ( 7) 1 ( d) ( 7) 1 d = 1 ( 7) 1 ( d) = 1 ( 7) + C ( 7) = + C 3 1 d Ejemplo 6 El integrando no aparece en alguna de las reglas conocidas por nosotros aún. Pero podemos hacer la siguiente transformación: Definimos: v = 1. dv = 3 d 3 d = dv. Esto nos permite reescribir la integral indefinida como: 3 1 d = ( ) 1 3 d = v ( dv ) = 1 1 v 1/ dv = 1 v 3/ 3/ + C = 1 v3/ + C = v3/ C Regresando todo en términos de, obtenemos: 3 1 d = ( ) 3/ C v 1 dv = v 1/ dv 3/5
4 Ejemplo 7 ( ) d Aplicando la regla (i) y las leyes de los eponentes, podemos transformar la integral a la siguiente forma: ( ) d = 8 3 d () 1/ d Ahora podemos integrar cada una de las integrales que quedaron indicadas aplicando la regla (iv): ( ) 8 3 d () 1/ d = 8 1/ 1/ + C = + C ( ) d = + C Ejemplo 8 ( ) + d Podemos transformar la integral a la siguiente forma: ( ) + d d d d d = + = 1/ + 3/ Cada una de estas integrales es inmediata: d 1/ + d 3/ = 1/ d + 3/ d = 1/ 1/ + 1/ 1/ + C = + C ( ) + d = + C Ejemplo 9 ( ) 3 d 1 /5
5 Para calcular esta integral observa que si definimos: v = 1 dv = 3 d 3 d = dv haciendo la sustitución v = 1, transformamos la integral a: 3 d dv 1 = v = 1 dv v = 1 ln v + C = 1 ( ) ln 1 + C Para el cálculo de las integrales de funciones algebraicas, el truco consiste en transformar el integrando para obtener integrales inmediatas. Es decir, escribirla en forma que se puedan integrar utilizando las fórmulas conocidas. Algunas veces una manipulación algebraica bastará. En otros casos se va a requerir una sustitución. Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 07 de agosto de 010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méico Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.m 5/5
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