Álgebra de Funciones

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1 Funciones polinómicas Álgebra de Funciones Guía 5: Función cuadrática y racional. Profesores: Ximena Cánovas & César Fernández Un polinomio de grado n es una función f: R R tal que : n n1 n 1 f ( x) an x an 1 x an x... a1x a0 ( an 0 y i 0; n ai IR) Casos particulares Caso n = 0: f(x) =a función constante Caso n = 1: f(x) = a 1 x + a 0 función de la línea recta Ambas funciones ya fueron analizadas en las guías anteriores. Si el grado del polinomio es, se tiene que: f(x) = a x + a 1 x + a 0, que se conoce como polinomio de segundo grado, o simplemente función cuadrática. Para simplificarla podemos expresarla como: f(x) = ax + bx + c donde a, b y c son números reales con a 0. Gráfica de una función cuadrática La gráfica de f(x) = a x + b x + c es una curva continua que recibe el nombre de parábola. Si a > 0 la parábola es abierta hacia arriba. Si a < 0 la parábola es abierta hacia abajo. Eje de Simetría Toda parábola tiene un eje de simetría, que divide la parábola en dos partes iguales. c El punto máximo o mínimo de la parábola se denomina Vértice. Intersección de la parábola con los ejes Yv Xv Vértice Intersección con el eje y: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, si reemplazamos en la función obtenemos que el punto de intersección de la parábola con el eje y tendrá coordenadas (0, c) Intersección con el eje x: Como todos los puntos del eje x tienen la ordenada y = 0, para calcular los puntos de intersección se resuelve la ecuación de segundo grado asociada a la función: ax + bx + c = 0. Dependiendo del valor del discriminante () de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

2 Si > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola corta al eje x en dos puntos distintos. Si = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje x en un punto (que será el vértice). Si < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje x. Vértice de una parábola El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos. b La coordenada x del vértice se calcula con la fórmula: Xv = - a. b La coordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función Yv = f, o usando la a b 4ac fórmula: Yv =. 4a 4a También completando cuadrados podemos expresar f(x) como sigue: f(x) = a(x - h) + k. Los números reales h y k son las coordenadas del vértice de la parábola. Dominio y Recorrido Dominio: Df IR Recorrido: Si 0 a Re ( ), c f Y v Si 0 a Re c( f) Y, v Ejemplo: Analizar la función: f(x) = -x + 4x 7 1. Completamos cuadrado: f(x) = - (x - 4x +4) = - (x - ) - 3 Por lo tanto el vértice es: V (, - 3). El vértice determina que el eje de simetría de la parábola es x =. 3. Dom f = R Recorrido f = (-, -3] 4. f es cóncava hacia abajo porque a < f no tiene raíces reales, luego no intercepta al eje de las x. 6. f es creciente en el intervalo (-, ) y es decreciente en el intervalo (, )

3 Ejercicios Funciones cuadráticas 1. Un atleta lanza una jabalina con trayectoria parabólica: y = 0.003x x +, donde x es el alcance horizontal e y el alcance vertical (ambos se miden en metros). Calcula: a) Desde qué altura se lanzó la jabalina? b) Qué tan lejos llegó la jabalina? c) Cuál fue la altura máxima alcanzada?. El número de hormigas H(x), en millones, depende de la lluvia caída x, en milímetros. Si la función que relaciona una y otra variable es: H(x) = 70x 5x, determina: a) Cuánto debe llover para que haya 75 millones de hormigas? b) Cuántas hormigas hay si caen 00 mm de agua? c) La cantidad de lluvia que hace máxima la población de hormigas. 3. La altura de un objeto que es lanzado hacia arriba viene dada por la función: h(t) = v 0 t 1 gt donde v 0 es la velocidad inicial con que es lanzado, t el tiempo transcurrido y g la aceleración de la gravedad (Suponga g = 9,8 m/seg ). Si lanzamos una pelota de golf a una velocidad de 4.5 m/seg.: a) Qué altura tiene a los seg? b) Cuándo vuelve a pasar por la misma altura? c) Cuál es la altura máxima que alcanza? d) Cuántos segundos tarda en regresar al suelo? 4. Un fuego artificial parte desde el suelo. Con qué velocidad inicial debe partir para que alcance una altura máxima de 300 metros? Usar fórmula del ejercicio anterior. 5. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el determinado artículo. Los resultados obtenidos quedaron caracterizados por las siguientes funciones: p = -3/5 q + 7; p = 1/30 q + 4 (q representa las unidades y p el precio por unidad) Representa gráficamente las funciones dadas, en un mismo sistema coordenado, identificando cuál es la función de oferta y cuál es la de demanda. a) Halla analíticamente el punto de equilibrio. b) Si se fija un precio de $4, analiza el comportamiento de la oferta y de la demanda. c) Halla el precio según la oferta y según la demanda para 4 unidades. e) Halla el máximo ingreso. 6. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el determinado artículo. La demanda quedó caracterizada por la función p = -1/00 q + 7. La oferta tiene un comportamiento lineal, siendo el precio mínimo de $4, y cada vez que aumenta $1, la cantidad ofrecida aumenta una unidad. a) Halla la función que caracteriza la oferta. b) Cuál es el punto de equilibrio? c) Representa gráficamente la función de oferta y demanda, en el mismo sistema coordenado. 7. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el determinado artículo. La oferta quedó caracterizada por la función: p = q + 4. El equilibrio de la oferta y la demanda ocurre para el precio $64. La demanda es una función cuadrática con eje de simetría x = 0, siendo el precio máximo de $7. a) Halla la función que caracteriza la demanda. b) Si se fija un precio de $55, determina si hay un exceso de oferta o de demanda y calcúlalo. c) Representa gráficamente la función de oferta y demanda, en el mismo sistema coordenado. e) Calcula el ingreso cuando se venden 70 artículos. 8. Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son: O: q = p y D: q = p a) Si el fabricante piensa que puede vender cada unidad a $50, qué cantidad produciría? b) A ese precio de $50, qué cantidad de producto demanda el mercado? c) Cuál es la cantidad y el precio de equilibrio?

4 9. El ingreso y el costo, en millones, de una empresa vienen dados por las funciones: I(x) = 50x 4x y C(x) = x donde x son miles de unidades producidas y vendidas. a) Hallar el punto de equilibrio, donde la empresa no gana ni pierde. b) Hallar la función que da la ganancia de la empresa y la región donde esa ganancia es positiva. 10. Una empresa decide invertir en publicidad para su producto para aumentar sus ganancias. Se sabe que la ganancia (en miles de dólares) viene dada por la función: P(x) = x - 5x, en donde x es el dinero invertido en publicidad (en miles de dólares). Determine cuánto dinero se debe invertir para que la ganancia sea máxima y encuentre dicha ganancia. 11. Los costos fijos semanales de una empresa por su producto son de 00 dólares y el costo variable por unidad es de 70 centavos de dólar. La empresa puede vender x unidades a un precio de p dólares por unidad en donde p = 5 0,01x. Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana de modo que obtenga utilidad máxima? 1. Las utilidades en miles de US$, por la venta de centenares de artículos está dada por la función: U(x) = +10. a) Determine el número de artículos a vender para obtener utilidades. Cuál es la utilidad máxima? 13. La suma de dos números no negativos es 36. Hallar dichos números para que la suma de sus cuadrados sea lo más pequeña posible 14. Hallar el rectángulo de mayor área que es posible construir si su perímetro debe medir 36 m. 15. En una plantación de árboles frutales hay 50 manzanos. Cada manzano produce 800 manzanas. Por cada nuevo manzano que se plante, la cantidad de manzanas producidas por árboles cae en 10 manzanas. Cuántos manzanos debieran agregarse a los 50 ya existentes para maximizar la producción de manzanas? 16. Una empresa quiere construir un área de estacionamientos. Se determinó que dicha área sea rectangular y que uno de los lados del rectángulo sea una de las paredes del edificio. Para los otros tres lados del rectángulo se dispone de material suficiente para construir una reja de 800 metros. Cuáles son las dimensiones más grandes que puede tener el rectángulo? Funciones racionales 1. Para cada una de las siguientes funciones racionales determina el dominio, las intersecciones con los ejes y las asíntotas horizontales y/o verticales. Construye el gráfico. x 3 x 5 x 10x 9 x x 1 x a) f( x) b) f( x) c) f( x) d) f( x) e) f( x) x x 1 x 1 x 4 x 4 x f) f( x) g) f( x) h) f( x) i) f( x) x 9 x x x 16 x 4 x +t. Analice la familia de funciones dadas por la ecuación: f(x)= t x-1 para t IR Determine dominio, analice paridad, haga casos, de ser necesario. 3. Para cada una de las siguientes familias de funciones f k 4 k a) fk x k x, con k > 0. b) x k fk x, con k > 0 x Se pide:

5 a) Construya el gráfico de f 1 para -5 x 5. Cuál es el dominio y el recorrido de f k? b) Investigue la intersección del gráfico de f k con los ejes coordenados y la existencia de asíntotas. c) Cuál de las funciones pasa por A = (8, 5)? kx f x. x k a) Grafique en un mismo sistema de coordenadas las funciones f 1 y f -1 para -6 x 6. b) Analice el dominio de f, la intersección del gráfico de f k con los ejes coordenados y la existencia de asíntotas. c) Cerca del origen es muy difícil diferenciar los dos gráficos de la parte a). Pruebe que ambos gráficos tienen sólo un punto en común. d) Argumente: Por qué ninguno de los siguientes gráficos puede pertenecer a algún fk? 4. Para k R - {0} se define f k mediante: k SOLUCIONES Función cuadrática 1. a) m b) 69,6 m c) 4,7 m.a) 1,8 mm ó 1,17 mm b) ninguna c) 7 mm 3. a) 9,4 m b) a los 3 segundos c) 30,65 m d) 5 seg ,68 m 5. b) Pe (30, 54) c) qd = 80 qf = 0 d) pd = 58 pf = 43 e) I(q) = - 3/5q + 7q f) $ a) p = q + 4 b) q = 40 p = $64 d) I (q) = - 1/00q 3 + 7q 7. a) p = - 1/00q + 7 b) exceso de demanda, 7 unid. d) I (q) = - 1/00q 3 + 7q e) $ a) 45 unid. b) 0 unid. c) La cantidad es de 00 unid. a un precio de $40 9. a) Hay dos opciones: x 3048 unid. ó x 803unid. b) G(x) = 4x +45x 100. Para que la ganancia sea positiva, se debe producir entre x 3048 unid. y x 803unid. 10. Se debe invertir 100 mil dólares. La ganancia será de 55 millones de dólares unidades 13. Ambos números son Se trata de un cuadrado de lado 9 m. El área máxima es de 81 m. 15. Se debe agregar 15 manzanos, para obtener una producción máxima de 45 manzanas 16. Dos lados deben medir 00 m y uno 400 m. Función racional Use Geogebra para verificar