SECCIÓN DE POSTGRADO. Dr. Ing. Jorge E. Alva Hurtado

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1 SECCIÓN DE POSTGRADO Dr. Ing. Jorge E. Alva Hurtado

2 Capítulo I PROBLEMAS DE INGENIERÍA A QUE INVOLUCRAN A LA DINÁMICA DE SUELOS

3 CONTENIDO CIMENTACIÓN DE MAQUINAS Maquinaria Reciprocante y Rotativa Otras Maquinarias Industriales Desarrollo de la Era Espacial EFECTOS DE EXPLOSIÓN NUCLEAR Aplicaciones Civiles Construcción de Protección INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Cimentaciones de Edificios Deslizamientos Presas de Tierra

4 HINCADO DE PILOTES COMPACTACIÓN POR VIBRACIÓN OTROS PROBLEMAS DE INGENIERÍA DEFINICIÓN DE DINÁMICA DE SUELOS

5 INTRODUCCIÓN Suelo como cimentación de estructuras y terraplenes Suelo como material de construcción Diseño de estructuras de retención Suelo en problemas especiales Dinámica de Suelos parte de la Mecánica de Suelos que trata el comportamiento y respuesta del suelo durante la aplicación rápida de carga, uso de vibraciones para la mejora de propiedades y transmisión de ondas para evaluar las propiedades

6 CIMENTACIÓN N DE MÁQUINASM Maquinaria que produce vibraciones o fuerzas dinámicas desbalanceadas que se apoyan en un bloque de cimentación sobre el suelo Si los movimientos son excesivos:. Imponen condiciones no soportables para el personal. Causan daño a la máquina o tuberías 3. Producen grandes asentamientos que impiden el funcionamiento Es el problema mas frecuente en dinámica de suelos

7 Maquinaria Reciprocante y Rotativa Compresores y motores grandes ocasionan fuerzas dinámicas sinusoidales, que resultan en movimiento de la cimentación Turbina bien diseñada origina fuerzas pequeñas que con el desgaste conduce a desbalance y fuerzas dinámicas Otras Maquinarias Industriales Prensas, vibradores, las cargas pueden no ser sinusoidales o periódicas

8 Desarrollo de la Era Espacial Cimentación adecuada para antenas de radar de gran precisión. Las fuerzas dinámicas ocurren conforme la antena se acelera o desacelera, en elevación o en azimut Plataforma de encendido de las diversas etapas del cohete Saturno V en las Misiones Apolo Verificar el comportamiento de los componentes precisos de guía, como los giroscopios. Deben conocerse las vibraciones ambientales del tráfico y de los microsismos, para minimizarlos o para aplicar las compensaciones adecuadas

9 EFECTOS DE EXPLOSIÓN N NUCLEAR El estudio de los problemas civiles y militares ocasionados por las explosiones atómicas, ha dado un mayor ímpetu a la dinámica de suelos Aplicaciones Civiles Las explosiones nucleares tienen potencial en las excavaciones rápidas de grandes masas de tierra: canales, puertos y cortes profundos y largos de carreteras y ferrocarriles Se ha estudiado un nuevo Canal de Panamá El costo de excavación con explosiones nucleares es mucho menor que el costo de una excavación convencional

10 Construcción n de Protección Las estructuras subterráneas de protección de bombas nucleares varían de personales hasta misiles balísticos intercontinentales

11 INGENIERÍA A SISMORRESISTENTE Relación entre las condiciones del suelo y los daños durante terremotos. Especial atención después de los sismos de Chile de 96, Alaska y Niigata en 964. La construcción de Centrales Nucleares ha contribuido al conocimiento de la Dinámica de Suelos. Cimentaciones de Edificios Cimentación de Centrales Nucleares en suelo, a diferencia de aquellas construidas en roca Amplificación sísmica de edificaciones sobre suelo en relación a roca, tal como ocurrió en Caracas en 967 y México en 985 Pérdida de capacidad portante como resultado de licuación de suelos en Niigata, Japón en 964

12 Deslizamientos Han ocurrido grandes deslizamientos durante terremotos. El de Turnagain en Alaska destruyó 75 casas y muchas vidas. En el lago Riñihue en Chile un deslizamiento involucró 3 millones de metros cúbicos. En Santa Tecla, El Salvador en el causó 6 muertos. Presas de Tierra Análisis de licuación y flujo Respuesta dinámica de la presa Análisis de deformaciones sísmicas Mejoramiento de la cimentación

13 HINCADO DE PILOTES Interpretación del hincado de pilotes con martillo Teoría de la propagación de ondas Máquinas vibratorias para el hincado de pilotes. Condición de resonancia Posibles daños a edificaciones vecinas

14 COMPACTACIÓN N POR VIBRACIÓN Rodillos vibratorios para compactar suelos Alternativa de mejoramiento de suelo para licuación en comparación a vibroflotación o uso de pilotes Métodos de laboratorio por vibración para determinar densidades máximas de suelos granulares

15 OTROS PROBLEMAS DE INGENIERÍA Refracción sísmica para determinar la estratigrafía y propiedades del suelo Efecto del tráfico en pavimentos y subrasantes Daño a edificaciones por explosiones en canteras o excavaciones

16 DEFINICIÓN N DE DINÁMICA DE SUELOS Problemas de ingeniería geotécnica que involucran aplicación rápida de carga Evaluación de las propiedades esfuerzo-deformación del suelo aplicadas a carga dinámica Técnicas para calcular o estimar el rol de las fuerzas de inercia presentes durante la carga dinámica Procedimientos y experiencia para aplicar este conocimiento a la solución de problemas prácticos

17 Capítulo II SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD

18 Comportamiento de sistemas con parámetros concentrados La masa está concentrada en uno o más cuerpos rígidos y éstos están conectados por resortes y amortigüadores. Sistemas de un grado de libertad Tanque elevado de agua Viga en cantilever Un sistema de parámetros concentrados es lineal si la resistencia de los elementos que conectan las masas es proporcional al movimiento o a la velocidad de movimiento.

19 M M (a) k x (b) k δ x FIGURA. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

20 M M Resorte de corte Resorte de extensión (b) Modelo idealizado (a) Tanque real FIGURA. TANQUE ELEVADO DE AGUA

21 M (c) Viga real Resorte de corte M M (b) Aproximación de masas concentradas FIGURA.3 VIGA EN CANTILIVER

22 VIBRACIONES LIBRES Ecuación de movimiento M && x + kx = Solución x = A sen k t + B cos k t A y B son constantes M M

23 Para que la masa se mueva x o para carga estática Fo = k x o x = x cos k M t Período T = π M k Frecuencia f n = π k M Frecuencia circular ω = k M t = x cos ωt = x cos π f nt = x cos π T x

24 Energía E = k x = Mω x Vibración libre amortiguada M && x + δ x& + kx = δ cr = D = δ δ cr km -ωdt x = x e (cos ω t D ω + sen ω ω t) Decremento logarítmico Δ = π D

25 x X e -wdt X t -X -X e -wdt Punto de tangencia casi en en el punto de movimiento máximo FIGURA.4 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA

26 VIBRACIONES FORZADAS POR LA APLICACIÓN DE CARGAS PERIÓDICAS M&& x + δx& + kx = P o sen Ω t Solución para (x = x& = para t = ) x = Po k - Ω ω sen Ω t - D Ω ω cos Ω t + e - Ω ω -ω Dt D Ω ω + 4 D cos ω Ω ω t + Ω ω D + Ω ω - sen ω t Amortiguamiento pequeño x = P o k sen Ω t - e - -ω Dt Ω ω Ω ω sen ω t

27 x Movimiento libre t Movimiento forzado Movimiento total FIGURA.5 VIBRACIÓN FORZADA AMORTIGUADA

28 Vibración Forzada o ω Ω 4D ω Ω cos Ω t ω Ω D sen Ω t - ω Ω - k P x + = o ω Ω 4D ω Ω sen (Ω t - α) k P x + = Ω - ω D ω Ω α tg =

29 Masa Excéntrica sen Ωt LΩ Me P = ω Ω 4D ω Ω DLF + = DLF k P x o o =

30 5 D = 4 D =. 3 X P / k D = f / fn (a) En Función de la fuerza de excitación FIGURA.6 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMIENTO

31 5 D = 4 D =. 3 X M M e l f/fn (b) Para el caso de masa desbalanceada FIGURA.6 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMIENTO

32 Relación de amortiguamiento crítico D X k p X M ó Mel en resonancia FIGURA.7 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMENTO EN RESONANCIA

33 Ángulo de fase, 8 9 D ω Ω FIGURA.8 ÁNGULO DE FASE

34 Tabla. Propiedades de la Relación Factor de Carga Dinámica vs. Frecuencia Fuerza Actuante Sistema Masa Excéntrica Respuesta adimensional cuando f = Respuesta adimensional cuando f Relación de frecuencia resonante fr/fn D D Respuesta adimensional cuando f = fr D D D D Respuesta adimensional para f << fr o f >> fr f fn f fn f fn

35 VIBRACIONES DEBIDAS A CARGAS TRANSITORIAS Carga escalón Carga rampa Pulso cuadrado Carga sinusoidal de duración limitada

36 P P x p k p k t t FIGURA.9 RESPUESTA A UNA CARGA ESCALÓN P P Xk P T T τ = τ = 4 3 τ t τ τ 3τ 4τ tiempo FIGURA. RESPUESTA A UNA CARGA RAMPA

37 X max P k 3 4 τ/t FIGURA. MÁXIMA RESPUESTA A UNA CARGA RAMPA P 5 τ = 4 T P Xk P τ = T 4 τ t τ τ 3τ 4τ 5τ FIGURA. RESPUESTA A UNA CARGA PULSO X max P k τ/t FIGURA.3 MÁXIMA RESPUESTA A UNA CARGA PULSO

38 X ωt max = Xk P Xk P D t t D t = T ω (a) No - Amortiguado (b) Amortiguado FIGURA.4 AUMENTOS DE LA CONDICIÓN INICIAL DE REPOSO PARA FUERZAS SINUSOIDAL CON Ω = ω

39 X max k P..5 P P. X max X max durante vibraciones residuales τ = π Ω t τ/t FIGURA.5 MÁXIMA RESPUESTA PARA PULSO SENO MEDIO

40 VIBRACIONES FORZADAS PRODUCIDAS POR MOVIMIENTOS PERIÓDICOS DE CIMENTACIÓN M & y + δ y& + ky = - Ms & Movimientos sinusoidales de cimentación S = S o sen Ωt P o = -M S o Ω y o = S o Ω ω DLF

41 M x y s FIGURA.6 SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR CON MOVIMIENTO DE APOYO

42 VIBRACIONES DEBIDAS A MOVIMIENTOS TRANSITORIOS DE CIMENTACIÓN Movimiento seno-verso Espectro de respuesta Varios pulsos de seno-verso Dos movimientos superpuestos Efecto del amortiguamiento

43 y + s S τ = T 4 y + s S y + s S 3 - t/τ S o - t /τ FIGURA.7 RESPUESTAS TÍPICAS A UN MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO (UN CICLO)

44 Y R S max 3 4τ/T Y + S S o max 3 4 τ/t Y max S o ω 3 4 τ /T = Ω FIGURA.8 CURVAS DE RESPUESTA PARA UN MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO (UN CICLO)

45 5 5 g g g 5 g 5 g g Aceleración, g s 5.5 Desplazamiento, pulg 5 5 g g.5 g 5. g g.5.. g g. g.5 g.5 g.5 g. g.5 g Frecuencia, cps. FIGURA.9 LAMINA ESPECTRAL PARA GRAFICAR EL ESPECTRO DE RESPUESTA Pseudo Velocidad, pulg/seg.

46 5 n 5 Desplazamiento, pulgs n = 4 g Aceleración g 5 5 g Pseudo Velocidad, pulg/seg g.5 g. 5 g g 5 g 5.5. g.. g Seno verso S n = pulgada F = cps Frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad. FIGURA. ESPECTRO DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO

47 5 S S 5 Aceleración, pulg. 5 5 π W t FIGURA. DOS MOVIMIENTOS SENO VERSO SUPERIMPUESTOS Respuesta al movimiento combinado del terreno 5 Pseudo Velocidad, pulg/seg Desplazamiento, pulg ciclos a cps. 5 ciclos a 5 cps... S dado por ec. 6.5 con S = pulg. F = cps. n = Frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad FIGURA.. ESPECTROS DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTOS DEL TERRENO SENO VERSO SUPERIMPUESTOS

48 Rango controlado por desplazamiento Rango medio Rango controlado por aceleración Pseudo-Velocidad S v (escala logarítmica) Y max = S max Rango de frecuencias contenidas en el terremoto Altamente amortiguado & máx = X S& No amortiguado máx Frecuencia natural (escala logarítmica) FIGURA.3 CARACTERÍSTICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTOS TRANSITORIOS DEL TERRENO CONTENIENDO MUCHAS FRECUENCIAS

49 S v -pie/seg S v -pie/seg PERIODO-SEGUNDOS PERIODO-SEGUNDOS Espectro de Velocidad para el Sismo de Olympia, Washigton, 3 de Abril 949 Componente S 8 W Espectro de Velocidad para el Sismo de El Centro, 8 de Mayo 94 Componente E-W FIGURA.4 ESPECTRO DE RESPUESTA DE SISMOS REALES

50 Capítulo III SISTEMAS LINEALES DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

51 INTRODUCCIÓN Con un sistema de dos grados de libertad, la respuesta dinámica puede evaluarse por solución directa de las ecuaciones diferenciales. Para más grados de libertad es tedioso obtener soluciones directas, por lo que se utiliza el método de los modos.

52 VIBRACIÓN N LIBRE DE SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD Vibración Libre de Sistema no Amortiguado de Masas Vibración Libre Acoplada de Sistema no Amortiguado de Masa Vibraciones Libres con Amortiguamiento

53 Dos masas, cada una con un grado de libertad a Una masa, con dos grados de libertad independientes b Una masa, con dos grados de libertad acoplados FIGURA 3.. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

54 X M K X M K FIGURA 3.. EDIFICIO DE DOS PISOS CON COLUMNAS QUE RESISTEN MOMENTOS A - + A A A A Modo Fundamental Segundo Modo FIGURA 3.3. PATRÓN DE DISTORSIÓN PARA MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN (EJEMPLO 3.)

55 . -. K.7 X o cos.68 M t X o cos M 8 9 π t K K M t. Movimiento Resultante -. FIGURA 3.4. MOVIMIENTO DE LA MASA SUPERIOR EN EL EJEMPLO 3.

56 VIBRACIONES DE SISTEMAS FORZADOS DE GDL POR CARGAS PERIÓDICAS Vibraciones Forzadas Acopladas de Sistema no Amortiguado de una Masa Vibración Forzada Acoplada de Sistema de una Masa Amortiguada

57 I θ CG L ky δ y Z Y K e, δ e FIGURA 3.5. SISTEMA CON MOVIMIENTOS HORIZONTAL Y CABECEO ACOPLADOS

58 5..4 ω y θ ωθ I I I I ω y ω θ ω y θ ωθ FIGURA 3.6 GRÁFICO PARA DETERMINAR LAS DOS FRECUENCIAS NATURALES ACOPLADAS Acoplado Inferior Cabeceo Horizontal Acoplado Superior 5 5 Frecuencia cps FIGURA 3.7 FRECUENCIAS NATURALES EN EL EJEMPLO 3.

59 3 C E n C X c Y c = (8.5) θ =.483 (cos 37.9t - cos.9 t) en pies = Y + 6 (θ) =.99 cos 37.9t -.99 cos.9 t en pies 6 X Y E n D X D = X c Y = D Y =.9 cos 37.9 t +.79 cos.9 t en pies. Z D.8.6. x c e Y D -Pies Y c -Pies Y C FIGURA 3.8. MOVIMIENTOS EN EL EJEMPLO 3. X C Y D

60 CG Z (a) Fuerzas Aplicadas T P (b) Fuerzas y Momentos Equivalentes FIGURA 3.9. FUERZAS APLICADAS AL SISTEMA CON MOVIMIENTOS ACOPLADOS Y o θ o ω θ ω y ωθ Ω ω y Ω ω yθ I ω II yθ ω yθ I ω yθ II FIGURA 3.. NATURALEZA GENERAL DE LAS CURVAS DEL FACTOR DE CARGA DINÁMICA DE MOVIMIENTOS ACOPLADOS

61 3.5 P o = 455 lbs. a 3 cps Movimiento en C (en -4 pulg) en el momento que la fuerza es máxima hacia arriba Debido a movimiento horizontal Debido a cabeceo CG 6 Debido a movimiento vertical 7.5 Movimiento resultante Z Debido a cabeceo FIGURA 3.. FUERZA APLICADA Y MOVIMIENTO RESULTANTE EJEMPLO 3.3

62 ANÁLISIS MODAL DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Conceptos Básicos Aplicación a Problemas Sísmicos Para Fuerzas Aplicadas a las Masas Para Movimiento de la Cimentación Respuesta de Sistema GDL por Superposición Modal

63 II ω Yθ ω Y. H L.5 ω θ ω Y H L.5. I ω Yθ ω Y ω/ω y θ o. H y o 5 5 FIGURA : IMPORTANCIA RELATIVA DE TRASLACIÓN Y CABECEO DE BLOQUE DE CIMENTACIÓN RECTANGULAR (L/B=) EN LA SUPERFICIE DE CUERPO ELÁSTICO (ν =.35)

64 3 3 ω Y ω θ I ω Yθ ω Y II ω Yθ ω θ ω Y ω θ H L ω ω θ estático θ. H Y o FIGURA. EFECTO DE LA FRECUENCIA HORIZONTAL RESONANTE EN LA RESPUESTA DE UN BLOQUE DE CIMENTACIÓN RECTANGULAR (I / I O = ) SUJETO A CABECEO

65 Capítulo IV PROPAGACIÓN N DE ONDAS

66 INTRODUCCIÓN Estudio de la propagación de ondas en semiespacios infinitos homogéneos o estratificados, así como en barras de longitud finita. Se presentan los fundamentos de propagación de ondas que se requieren para el manejo de los conceptos que se tratan en la dinámica de suelos.

67 PROPAGACIÓN N DE ONDAS EN UN MEDIO INFINITO Ondas de compresión o primarias Ondas cortantes o secundarias

68 Z τ z xz ( τ xz + Δz) Δ y τ xy σ x Δz Y + σ X ( σ x x Δx) x τ xz ( τ + τ xy xy Δy) y Δx FIGURA 4.. ESFUERZOS ACTUANDO SOBRE UN ELEMENTO PEQUEÑO

69 (a) (b) (c) (d) FIGURA 4.. NATURALEZA DE LOS DESPLAZAMIENTOS DE LAS PARTÍCULAS DE UN SUELO DURANTE EL PASO DE a) ONDAS DE COMPRESIÓN P, b) ONDAS CORTANTES S, c) ONDAS RAYLEIGH R Y d) ONDAS LOVE L

70 PROPAGACIÓN N DE ONDAS EN UN MEDIO SEMI-INFINTO INFINTO Ondas Rayleigh Ondas Love

71 Superficie Frente de ondas X Y Z Porción de semiespacio elástico FIGURA 4.3. SISTEMA DE COORDENADAS EN UN SEMIESPACIO ELÁSTICO

72 ρ G 4 4 v Valores de = v v s 3 Ondas P 3 Ondas S Ondas R Relación de Poisson, ν FIGURA 4.4. RELACIÓN ENTRE V S, V P, y V R CON ν

73 ...4 Componente horizontal [ U(z) ] z L R Profundidad Longitud de onda.6.8. ν =.5 ν =.33 ν =.4 ν =.5 ν =.5 ν =.33 ν =.4 ν =.5. Componente vertical [ W (z)] Amplitud a la prof. z Amplitud en la superficie FIGURA 4.5. RELACIÓN DE LA AMPLITUD DE LAS ONDAS RAYLEIGH VS LA PROFUNDIDAD (Ref. )

74 A Amplitud Tiempo Longitud = Velocidad de onda frecuencia FIGURA 4.6. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA LONGITUD DE ONDA

75 u Onda P Onda S Onda R (+ en la dirección de propagación) t (a) Movimiento menor Mov. mayor W (+ hacia abajo) t (b) FIGURA 4.7. SISTEMA DE ONDAS ORIGINADAS POR LA EXCITACIÓN EN UN PUNTO DE LA SUPERFICIE DE UN MEDIO IDEALIZADO (Ref. )

76 PROPAGACIÓN N DE ONDAS EN UN MEDIO ESTRATIFICADO Ondas llegan a las superficies de contacto de dos estratos con propiedades diferentes. Ley de Snell

77 S E SV Plano vertical de incidencia SH s Rayo incidente Plano perpendicular al rayo incidente FIGURA 4.8. COMPONENTES SV Y SH DE UNA ONDA CORTANTE S (Ref. )

78 P θ θ SV θ P SV θ θ P SV FIGURA 4.9. REFLEXIÓN EN LA SUPERFICIE DE UNA ONDA INCIDENTE P FIGURA 4.. REFLEXIÓN DE UNA ONDA INCIDENTE SV EN UNA SUPERFICIE LIBRE P θ cr θ cr SV SV FIGURA 4.. REFLEXIÓN HORIZONTAL DE UNA ONDA P CUANDO UNA ONDA SV INCIDE CON UN ÁNGULO CRÍTICO

79 4 θ cr 3 Para ondas SV FIGURA 4.. ÁNGULO DE INCIDENCIA CRÍTICO PARA LAS ONDAS SV, EN FUNCIÓN DE LA RELACIÓN DE POISSON ν

80 d d d a a a a d Superficie rayo θ = rayo θ = rayo rayo d θ = 3 θ = 34 Superficie a θ = 3 6 rayo d d d d Superficie a a a a rayo rayo rayo rayo θ = 37 θ = 37 / θ = 4 θ = 45 a d rayo a d a rayo d Sup. rayo a d rayo a d = θ = 5 θ = 63 θ = 75 θ = 85 θ = 9 FIGURA 4.3. DESPLAZAMIENTOS (AMPLITUD Y DIRECCIÓN) DE UNA PARTÍCULA SUPERFICIAL PRODUCIDOS POR UNA ONDA SV QUE TIENE UN ÁNGULO DE INCIDENCIA θ (Ref. ).

81 θ θ SH SH FIGURA 4.4. INCIDENCIA Y REFLEXIÓN DE UNA ONDA SH

82 (a) Onda incidente P (b) Onda incidente SV c) Onda incidente SH P a b a P-P SV SV-SV SH SH-SH b P-SV b SV-P b b a Medio P, v P, v S f e P-SV Medio P-P P, v P, v e S SV-P f SV-SV f SH-SH sen a V P = sen b V S = sen e V P = sen f V S FIGURA 4.5. DISTRIBUCIÓN DE ONDAS ELÁSTICAS EN LA INTERFASE DE DOS MEDIOS ELÁSTICOS

83 Punto de excitación (P) (P - S) (P P ) (P P ) P, v P, v S (P P ) P, v P, v S P 3, v P3, v S3 P 4, v P4, v S4 FIGURA 4.6: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN MÚLTIPLE DE ONDAS EN UN SISTEMA ESTRATIGRÁFICO (Ref. )

84 PROPAGACIÓN N DE ONDAS EN BARRAS

85 x x σ σ + σ Δ x x u Área A x FIGURA 4.7. FUERZAS ACTUADO SOBRE UN ELEMENTO DE UNA BARRA CONTÍNUA

86 u Movimiento observado en el tiempo t t t Movimiento observado en el tiempo t x V L (t t ) x FIGURA 4.8. DESPLAZAMIENTOS OBSERVADOS EN LOS TIEMPOS t y t, PARA UN FUNCIÓN DEL TIPO SEÑALADO POR LA EC. -5

87 x ( a ) ( b ) l A 4 A 4 A 4 π l x 4 = u = A sen (n ) π l 3 x 4 = u = A sen (n 3) u π l 5 x 3 = A 4 sen (n = 5 ) Figura 4.9. PRIMEROS TRES MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN DE UNA BARRA CON UN EXTREMO FIJO Y EL OTRO LIBRE