LAS FÓRMULAS DEL AGREGADO ELEMENTAL DE UN ÍNDICE DE PRECIOS DE CONSUMO DESDE EL ENFOQUE ECONÓMICO. UNA NUEVA PROPUESTA

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1 LAS FÓRMULAS DEL AGREGADO ELEMENTAL DE UN ÍNDCE DE PRECOS DE CONSUMO DESDE EL ENFOQUE ECONÓMCO. UNA NUEVA PROPUESTA Santago Rodríguez Fejoó Deartamento de Métodos Cuanttatvos en Economía y Gestón Unversdad de de Las Palmas de Gran Canara e-mal: srfejoo@dmc.ulgc.es Alejandro Rodríguez Caro Deartamento de Métodos Cuanttatvos en Economía y Gestón Unversdad de de Las Palmas de Gran Canara e-mal: arcaro@dmc.ulgc.es Carlos González Correa Deartamento de Métodos Cuanttatvos en Economía y Gestón Unversdad de de Las Palmas de Gran Canara e-mal: cgoncor@canarastelecom.com Resumen El objetvo del trabajo es rooner una nueva fórmula ara calcular los índces elementales de un Índce de Precos de Consumo. Para ello, en rmer lugar, se demuestra que las fórmulas habtualmente utlzadas ara este fn or las Agencas de Estadístca no reflejan adecuadamente el comortamento eserado del Consumdor. En segundo lugar, se demuestra que el índce elemental defndo como la meda armónca onderada nversamente or los recos en el eríodo base es, desde el unto de vsta económco y axomátco, sueror a cualquer otra fórmula usada habtualmente cuando sólo se dsone de nformacón de recos y los msmos se referen a benes homogéneos. Palabras clave: Teoría del Consumdor, Coste de la vda, Índce de Precos Elementales Área temátca: 7, Métodos Cuanttatvos.

2 . ntroduccón El cálculo del Índce de Precos de Consumo (PC) se realza, al menos, en dos fases. En la rmera se estman los Índces de Precos Elementales (PE). En la segunda y osterores fases se combnan estos PE, junto con nformacón sobre la mortanca del gasto, ara obtener índces de recos ara dstntos nveles de agregacón, hasta llegar al PC general. Como aso revo al cálculo del PE y osterormente del PC, se defne el conjunto de benes y servcos que se consderan de consumo. Éstos se agruan en estratos, denomnados agregados elementales o estratos elementales, en funcón de su homogenedad a la hora de satsfacer las necesdades del consumdor. Es decr, el estrato elemental lo forman todos los benes cuyo consumo tene una msma fnaldad. En la actualdad la cas totaldad de Índces de Precos de Consumo utlzan la Clasfcacón del Consumo ndvdual or Fnaldades (COCOP- Classfcaton Of ndvdual COnsumton by Puruse) ara defnr, tanto los benes y servcos a consderar en un PC, como los agregados elementales y sus dstntos nveles de agregacón. La clasfcacón de los benes y servcos de consumo en funcón del crtero de fnaldad tene mlcacones mortantes a la hora de analzar el comortamento del consumdor dentro de cada uno de los estratos elementales. Esto se debe a que el consumdor tene una alta osbldad de susttucón dentro del estrato elemental. Sn embargo, esta osbldad dsmnuye y uede llegar a ser nula cuando los benes y servcos satsfacen necesdades de naturaleza muy dstnta. Por ejemlo, s se defnese el estrato elemental sguendo la COCOP a 4 dígtos, un estrato elemental sería la Carne y otro los alquleres efectvos agados or los nqulnos. Es evdente que el consumdor no roetaro de vvenda tene una alta osbldad de susttucón entre los roductos que conforman el agregado elemental de carnes ara satsfacer sus necesdades nutrconales. De forma smlar se uede razonar con los alquleres, dado que el consumdor ara satsfacer sus necesdades de alquler de vvenda tene múltles alternatvas. Ahora ben, dfíclmente se odría hablar de susttubldad

3 entre los roductos que se encuentran en el agregado elemental de carnes y los que se encuentran en el de alquler. S lo que se quere es calcular un PE que refleje correctamente el comortamento del consumdor, no se uede olvdar el carácter homogéneo descrto, máxme s, además, se arte de que las Agencas de Estadístca sólo dsonen de datos de recos ara calcular los PE. El objetvo de análss en este trabajo es la fórmula a usar ara obtener el PE, con las lmtacones que hemos comentado y que son las habtuales ara cualquer Agenca de Estadístca encargada de elaborar el PC. La eleccón de la fórmula ara el PE no ha sdo muy estudada en la lteratura, sendo las fórmulas más utlzadas la rouesta or Carl en 764 y or Dutot en 738 [Referenca extraída de OT (003), caítulo 0, ágnas -3]. Sn embargo, Fsher (9) ya había recomendado no usar la fórmula de Carl debdo al sesgo al alza que ntroducía [Fsher (9), ágnas 9-30]. A lo largo del sglo XX dstntos autores sgueron buscando la fórmula deal amlando los osbles enfoques con los que abordar el tema: el enfoque de Dvsa, el enfoque estocástco, el enfoque económco y el enfoque axomátco. El resumen fnal de los estudos realzados se uede concretar en la recomendacón que en 996 se resentó a la Advsory Commsson To The Study The Consumer Prce ndex medante el nforme fnal ttulado "Toward a More Accurate Measure of The Cost of Lvng. Este nforme, tambén conocdo como nforme Boskn, roone el uso de una meda geométrca de los índces de recos del estrato elemental como la fórmula más dónea ara el PE, fórmula atrbuda a Jevons en 983 [Referenca extraída de OT (003), caítulo 0, ágnas -3]. OT (003) analza las dstntas alternatvas ara calcular el PE y tambén concluye que, desde dstntos enfoques, la fórmula de Jevons, aun no sendo la deal, es la que más se aroxma desde todos los enfoques osbles. Sn embargo, Rodríguez, González y Rodríguez (005) demuestran que tanto la fórmula de Jevons, como la de Carl y la de Dutot son ncongruentes con la Teoría del Consumdor y roonen una nueva fórmula que, cuando los benes que 3

4 reresentan al agregado elemental son homogéneos, se muestra sueror desde el unto de vsta axomátco a la de Jevóns y, or tanto, a las de Carl y Dutot. En este trabajo se aborda el estudo de la eleccón de la fórmula ara el PE desde el enfoque económco con la fnaldad de comarar, tambén desde este enfoque, la valdez de la fórmula rouesta or Rodríguez, González y Rodríguez (005). Para ello, en el eígrafe sguente, se resentan los asectos más destacados ara la elaboracón del PE. En el unto tercero, se analza el comortamento del consumdor y sus consecuencas a artr de tres funcones de utldad habtualmente utlzadas en la lteratura relaconada con el PC. En el eígrafe 4, se dervan los índces de recos ara cada una de las funcones de utldad y se relaconan con las fórmulas rouestas or Dutot, Carl, Jevons y Rodríguez, González y Rodríguez (005). En el eígrafe 5 se resumen las rncales conclusones.. Algunos asectos fundamentales en la elaboracón de un PE El PE es el índce de recos de un agregado elemental. Para su cálculo úncamente se dsone de la nformacón de los recos ara los dos nstantes de temo en comaracón. En teoría se deberan conocer todos los recos de los roductos consumdos en ambos nstantes de temo. Sn embargo, en la ráctca lo que se hace es estmar el PE medante los datos rocedentes de una encuesta que se rete en los dos nstantes de temo consderados y que se realza en los untos de venta de los roductos (establecmentos), no a los consumdores. Por tanto, el lan de muestreo de esta encuesta tene que defnr ara cada agregado elemental: a) cuáles son los establecmentos que van a formar arte de la muestra, b) cuales son los roductos sobre los que se recogen recos. Los crteros ara selecconar a los establecmentos son varos, ero todos ellos están orentados a alcanzar el mayor nvel osble de reresentatvdad de los hábtos de consumo de la oblacón. Los crteros ara selecconar los roductos que se van a muestrear son fundamentalmente dos: o ben se selecconan roductos fjos que reresentan al estrato (este es el caso del PE esañol), o ben se realza un muestreo aleatoro 4

5 smle dentro de los roductos que conforman el estrato elemental. El usar una alternatva o la otra tene consecuencas mortantes. La seleccón de artículos fjos se fundamenta en su caacdad de reresentacón. Es decr, son los que con más frecuenca consume la oblacón. S se usa esta alternatva ara reresentar los roductos de un estrato, de forma ndrecta se está asumendo que todos los roductos de estrato tenen, en recos, una tendenca común. S la decsón es realzar un muestreo aleatoro smle dentro de los roductos que contene el estrato, no se realza dcha asuncón, ero nos odemos encontrar con que los recos meddos no son reresentatvos de los hábtos de consumo de la oblacón. Dado que la característca fundamental de un PC es que mda el cambo que se roduce en los recos de un conjunto de benes y servcos que sean reresentatvos de los hábtos de consumo, la alternatva basada en el muestreo aleatoro smle uede arrojar resultados oco realstas. Por ejemlo, sguendo con la defncón de estrato elemental, dada en la ntroduccón, un muestreo aleatoro smle odría llevarnos a utlzar los recos de la carne de camello, caballo y jabalí ara calcular el PE del estrato elemental carne. Es evdente que es este caso, este índce no reresentaría los hábtos de consumo de las oblacones occdentales. Otra característca mortante asocada a la decsón de cómo selecconar los roductos a muestrear es la naturaleza homogénea/heterogénea del conjunto de recos fnales. S se utlza la reresentacón del estrato elemental medante roductos fjos, los recos se corresonderán con roductos muy homogéneos. ncluso en el caso esañol, que se dentfca estrato con roducto, estos son comletamente homogéneos ya que todos los recos de un estrato elemental se referen a un msmo roducto. S el estrato elemental se reresenta medante una muestra aleatora smle de roductos, el nvel de heterogenedad de los roductos uede ser alto y la comarabldad esacal de los recos muy baja. Cuanto mayor sea el nvel de heterogenedad de los benes, se hace más dfícl la nterretacón económca del PE. S los benes son homogéneos, no tendría sentdo consderar dentro del estrato elemental el nvel roducto y odríamos nterretar que cada reco se corresonde 5

6 con un establecmento. En la ráctca, ara un nstante de temo se odría dsoner de varos recos ara un msmo establecmento, debdo a que realmente no se mden los recos en dos nstantes de temo, sno ara dos eríodos de temo. Por ejemlo, lo más habtual es que los PC se calculen ara eríodos mensuales, con lo cual en un mes se ueden realzar dstntas medcones en un msmo establecmento ara un determnado estrato. S entendemos que las crcunstancas del consumdor son dstntas cada vez que retende satsfacer una determnada necesdad, el dentfcar cada reco como rocedente de un establecmento dstnto se ajusta a la realdad del consumdor y faclta la nterretacón económca del PE. 3. Estudo de las rncales funcones de utldad del consumdor utlzadas en el ámbto del PC y su donedad en al ámbto del estrato elemental El enfoque económco de los números índces arte de la Teoría del Consumdor y del trabajo de Konus [Konus (939)]. En un mercado con k roductos, el consumdor se enfrenta a la decsón de que cantdad consume de cada uno de ellos. Deendendo de la combnacón de roductos consumdos, el consumdor alcanzará un determnado nvel de satsfaccón. Ello mlca que, de alguna forma, el consumdor tene unas referencas a la hora de consumr que se determnan en funcón de la ordenacón realzada or la utldad que cada combnacón de roductos le roduce. Esta ordenacón se formalza en la funcón de utldad del consumdor, que no es más que una funcón defnda en el conjunto de las cantdades de los roductos de consumo dsonbles en el mercado con magen en el conjunto de los números reales. Es decr, s en el mercado hay k roductos y denotamos or q a la cantdad del artículo ={,,,k}, la funcón de utldad del consumdor es una funcón en la cual ara cualquer vector Q={q,q,,q k } nos da el valor de la utldad que alcanza el consumdor al consumr esa combnacón de cantdades. El objetvo del consumdor será maxmzar su nvel de utldad, sujeto a una restrccón resuuestara. S denotamos or U=U(q,q,,q k ) a la funcón de utldad y or Y a la restrccón resuuestara, la resolucón de la maxmzacón 6

7 condconada a Y, nos ermte obtener las funcones de demanda ordnaras, que, dado un vector de recos P={,,, k }, mden las cantdades que deben ser consumdas ara alcanzar el máxmo nvel de utldad osble ara cada resuuesto. Susttuyendo las funcones de demanda ordnaras en la funcón de utldad se obtene la funcón de utldad ndrecta, que mde el nvel de utldad máxmo que el consumdor uede alcanzar dado un determnado resuuesto y un vector de recos. Por últmo, desejando Y de la funcón de utldad ndrecta se obtene la funcón de costes C(P,U), que, dado un conjunto de recos, mde el gasto mínmo en que debe ncurrr el consumdor ara alcanzar un determnado nvel de utldad. Dado un vector de recos en el nstante base, P 0, y el vector de recos en el nstante actual, P t, el índce del coste de la vda [Konus (939)] o índce de recos se defne como el cocente entre las funcones de costes asocadas a cada uno de los vectores de recos y a una msma utldad. Es decr, C( P, U ) ( P, P0, U ) = [] C( P, U ) 0 Las rncales funcones de utldad que han sdo utlzadas en el contexto de los PC son las conocdas en la lteratura or referencas to Leontef y referencas to Cobb-Douglas, rovenentes ambas de la Teoría de la Produccón. Además, en este trabajo se roone el uso de una funcón de utldad to Bergson, debdo a las roedades que cumle y que se señalarán a lo largo del trabajo. La característca común a las tres es que resentan una elastcdad renta gual a la undad. Esto sgnfca que el ncremento de un % en la renta modfca la cantdad consumda de cada uno de los roductos en el msmo orcentaje. Para smlfcar las exresones, en lo que sgue se consderan úncamente dos roductos. Por tanto, los vectores de recos y cantdades se reducen a P={, } y Q={q,q } y la restrccón resuuestara es Y= q + q. 7

8 3.. Las referencas to Leontef como funcón de referencas ara el cálculo del PC y su donedad en el ámbto del estrato elemental La funcón de referencas to Leontef se defne medante la funcón U de la forma que se ndca en [], sendo a y a dos constantes ostvas, cuya relacón mde las referencas entre los roductos y los establecmentos. U = mn{ aq, aq} [] Analzando esta funcón, se deduce que cualquer undad adconal de un únco roducto no mlca nnguna mejora en el nvel de utldad. Para que se roduzca ésta es necesaro que se ncrementen ambas cantdades. En consecuenca, la utlzacón de las referencas to Leontef suone que los roductos son comlementaros. Es más, el uso de una funcón de utldad del to [] establece una relacón fja entre las cantdades consumdas de ambos roductos en la roorcón que determnan las constantes a. Es decr, se cumle que aq = aq. Desde el unto de vsta gráfco, en un eje cartesano formado or las cantdades de ambos roductos, las funcones de utldad tenen forma de L con el vértce haca el orgen de coordenadas. En consecuenca, ncrementar la cantdad consumda de uno de los dos roductos no ermtrá alcanzar un mayor nvel de utldad. Para ello habría que ncrementar ambos benes y en la roorcón que establecen las a. Tenendo en cuenta que otmzacón de [] equvale al cumlmento de aq = aq, e ncororando la ecuacón que reresenta la restrccón resuuestara, se obtene un sstema de ecuacones del cual es nmedato obtener las funcones de demanda ordnaras que se muestran en [3]. q Y Y = q = [3] a + a ; a + a Para analzar el grado de susttubldad que ermte este to de referencas, usando las funcones de demanda ordnaras, es nmedato calcular las elastcdades reco de la demanda. Así, or ejemlo, ara el roducto las elastcdades de la 8

9 demanda con resecto a su roo reco y al reco del roducto se muestran en [4]. ε a q = ; ε q = a a + + a a a [4] Como se uede observar y debdo al carácter comlementaro de las referencas to Leontef, la elastcdad reco cruzada es negatva. Es decr, s se ncrementa el reco del roducto se roducrá una reduccón de la cantdad consumda de ambos roductos. Este resultado dfíclmente es comatble con el comortamento del consumdor dentro de un estrato elemental, ya que, recordemos que éste está formado or un conjunto bastante homogéneo de benes, lo que sgnfca que son benes que resentan un elevado nvel de susttubldad. El comortamento eserado or arte del consumdor dentro del conjunto de roductos que ertenecen a un msmo estrato elemental tene que analzarse sobre las bases que se defne en el eígrafe. Esto es, cada uno de los recos se uede dentfcar como rocedente de un establecmento dstnto ara un únco ben o servco y el hecho de que el reco en un establecmento se ncremente, rovocaría el deslazamento de la demanda del consumdor haca el otro. En defntva, el uso de una funcón de referencas del consumdor del to Leontef como base teórca del cálculo del PE no es adecuada uesto que se corresonde con benes comlementaros y no ermte nngún nvel de susttubldad, n entre los roductos n entre los establecmentos que los venden. 9

10 3.. Las referencas to Cobb-Douglas como funcón de referencas ara el cálculo del PC y su donedad en el ámbto del estrato elemental La funcón de referencas to Cobb-Douglas ara dos roductos se exresa tal y como se muestra en [5], sendo a + a = dos constantes cuya relacón mden las referencas or roductos y establecmentos. U = q [5] a q a La maxmzaxón de esta funcón sujeta a la restrccón resuuestara ermtría obtener las funcones de demanda ordnaras, cuya exresón se muestra en [6]. Ya q =, = {,} [6] El rmer elemento que destaca en [6] es que no exste efecto cruzado de recos. Es decr, el cambo del reco del roducto no afecta a la cantdad demandada del roducto. Esto es, la elastcdad reco cruzada es gual a cero. Además, la elastcdad del reco roo es constante e gual a -. Esto sgnfca que el gasto es fjo ara cada roducto al margen de la relacón de recos que mantengan los dos roductos. En concreto en el roducto -ésmo el consumdor gastaría una arte de la renta total dsonble gual a a /( a + a ) ara ={,}. Por tanto, la funcón de referencas to Cobb-Douglas, en sentdo estrcto, tamoco ermte las susttubldad entre los roductos. Lo que sí ermte es la susttubldad entre la cantdad y el reco del msmo roducto. Sn embargo, ésta es muy lmtada, uesto que un ncremento de un % en el reco del roducto roduce una reduccón tambén del % en su cantdad demandada, no afectando a las cantdades demandadas del resto de roductos. La traslacón de estos resultados al escenaro en el cual se elabora el PE, sgnfca que el consumdor gastaría lo msmo en cada establecmento, debdo a que en la ráctca se desconoce el valor de las constantes y se suonen guales. Además, cuando un reco se ncrementa, el consumdor reduce su demanda úncamente en dcho establecmento ero no la ncrementa en otro más barato. Esto conlleva una falta de otmzacón en la conducta del consumdor. 0

11 Abundando en las lmtacones del valor de la elastcdad recos de esta funcón de referencas, Tells (988) realza un meta-análss de la elastcdad reco de demanda de roductos esecífcos (no agregados) y estma que su elastcdad meda es de -.76, claramente sueror a la de la funcón de referencas Cobb-Douglas. Por tanto, de forma smlar al resultado obtendo con la funcón del to Leontef, tamoco la funcón de utldad del to Cobb-Douglas es la adecuada ara reresentar el comortamento del consumdor dentro del conjunto de benes que forman un estrato elemental Las referencas to Bergson como funcón de referencas ara el cálculo del PC y su donedad en el ámbto del estrato elemental La funcón de utldad que se consdera en este aartado ertenece al conjunto de funcones de referencas conocdas como famla Bergson. En concreto, trabajaremos con la funcón de utldad defnda en [7], sendo a dos constantes con una nterretacón general smlar a los casos anterores. [ a q a ] U = + [7] q Las funcones de demanda ordnaras corresondentes a esta funcón de utldad se obtenen maxmzando la exresón [7] sujeta a la restrccón resuuestara Y = q+ q. El resultado se muestra en [8]. q a Y a Y = [8] q = [ a + a ] [ a + a ] ; La observacón drecta de [8] muestra que las referencas defndas en [7] s ermten la susttubldad entre los roductos y. Analítcamente la demostracón se uede hacer calculando las elastcdades reco drecta y cruzada. Sus valores se muestran en [9].

12 a a ε = [9] + q = ; ε q a + a a a Como se uede observar, ara valores de las constantes ostvas, la elastcdad del reco roo esta comrendda entre - y -, deendendo, entre otras cosas, de la relacón que mantengan los recos, sendo comatble con el trabajo de Tells (988). Además, la elastcdad reco cruzada tene el sgno eserado or la Teoría del Consumdor ara benes susttutvos, estando su valor comrenddo entre cero y uno. En concreto, la forma de susttucón es [0] y en ella se muestra que la cantdad que se consume en cada establecmento y a cada reco es roorconal a la relacón que mantengan los recos de ambos benes. En consecuenca y bajo ceters arbus, se gastará más en el establecmento que tenga el reco más bajo. a = [0] q q a Por ejemlo, suongamos que y son los recos de un msmo roducto en dos establecmentos y que hay un sólo consumdor que comra en ambos. S es mucho más grande que, lo normal es que la cantdad gastada en este establecmento será muy equeña. Por el contraro, s los recos son guales, lo normal es que gaste lo msmo en ambos establecmentos. Todo ello está condconado or los valores de a y a. Es decr, en el ejemlo anteror ueden medr las referencas or los establecmentos. En el caso de los roductos que forman el estrato elemental, ueden medr la referenca or una determnada marca ara un msmo roducto. Por tanto, la funcón de referencas defnda en [7] sí uede ser reresentatva del comortamento del consumdor dentro de un estrato elemental y uede ser utlzada ara defnr cuál es el índce de recos teórco que debe utlzarse ara el cálculo del PE. Una vez vstas las tres funcones de referencas, se uede afrmar que las referencas to Leontef y Cobb-Douglas no se adatan a los suuestos utlzados en el cálculo de un estrato elemental, que recordemos, está formado or un conjunto

13 bastante homogéneo de benes, lo que sgnfca que son benes que resentan un elevado nvel de susttubldad. En efecto, las referencas to Leontef se corresonden con benes comlementaros y no ermte nngún nvel de susttubldad n entre los roductos n entre los establecmentos que los venden. Las Preferencas to Cobb-Douglas tamoco ermte las susttubldad entre los roductos en sentdo estrcto, uesto que, aunque ermte la susttubldad entre la cantdad y el reco del msmo roducto, ésta es muy lmtada, ya que no afecta a las cantdades demandadas del resto de roductos. Por su arte, la funcón de referenca to Bergson que se ha utlzado, no sólo uede medr las referencas or los establecmentos sno que, en el caso de los roductos que forman el estrato elemental, uede medr la referenca or una determnada marca ara un msmo roducto. Por tanto la conclusón a la que se llega es que, en el ámbto de los índces elementales, solamente la últma es congruente con la Teoría del Consumdor y con la evdenca emírca acerca la elastcdad reco, que ndca que es claramente sueror, en térmnos absolutos, a. 4. Las fórmulas de los índces de recos en funcón del to de referencas del consumdor. Alcacón al PE Una vez conocdas las funcones de referencas y sus demandas ordnaras se ueden calcular las funcones de utldad ndrectas y, a artr de estas, las funcones de coste asocadas, que de forma genérca defnmos en []. En la tabla se muestran las fórmulas de los índces de recos al alcar la defncón [] a cada una de las funcones de utldad estudadas en el eígrafe anteror, denotando or 0 y t a los recos del roducto ={,} en los nstantes de temo base, 0, y actual, t. Las fórmulas de los índces de recos ara las funcones de utldad Leontef y Cobb-Douglas de la tabla son amlamente conocdas y, en consecuenca, no se abunda en su demostracón. 3

14 Tabla. Índces de Precos teórcos Leontef Cobb-Douglas Bergson a a t a t 0 a a a t t 0 0 B = ( a + a ) t t t t t t ( + ) ( + ) ( a a) Para obtener la exresón del índce de recos ara la utldad to Bergson se susttuyen las funcones de demanda ordnaras de [8] en la funcón [7], con el objeto de obtener la funcón de utldad ndrecta ara estas referencas, obtene [], U. Esto es, se a Y a Y U = a + a a + a a + a [] Desarrollando el cuadrado y oerando adecuadamente se concluye que la funcón de utldad ndrecta es gual a []. a a ( ) U = + + [] Y a + a Desejando Y se obtene la funcón de costes, C(P,U), cuya exresón se muestra en [3]. U ( a + a ) CPU (, ) = aa ( + ) [3] Por últmo, tenendo en cuenta [], la fórmula del índce de recos ara la funcón de utldad to Bergson se uede escrbr como [4], que concde con la que se muestra en la tabla. 4

15 B = ( a + a ) t t t t t t ( + ) ( + ) ( a a) [4] Una vez obtendas las exresones teórcas de los índces de recos ara las funcones de referencas estudadas, en lo que sgue éstas se relaconan con las fórmulas utlzadas ara calcular los PE en el PC. Para obtener estas relacones tendremos en cuenta que, como ya comentó en la ntroduccón, en el ámbto del PE sólo se dsone de los recos y no se conocen los valores de las constantes a La funcón referencas to Leontef y su relacón con las fórmulas de Carl y Dutot En rmer lugar, s tomamos a =a =0.5, el índce de recos Leontef, L, se converte en el cocente de las medas artmétcas de los recos en t y en 0. Esta fórmula se conoce como fórmula de Dutot y, dado que rovene de la funcón de utldad to Leontef, hemos demostrado que no es la más adecuada ara el PE. En segundo lugar, artendo del índce de recos dervado de las referencas to Leontef, esto es de [5], a a t a t 0 a [5] dvdendo numerador y denomnador or 0 0, defnendo como t y t w como 0 t q Y t, se obtene que el índce de recos con base en la funcón de utldad de to Leontef tambén se uede exresar como [6], que no es más que la meda onderada de los índces smles. 5

16 0 = w [6] L = Esta últma exresón es el índce de Carl onderado. S volvemos a moner la restrccón sobre el valor de las constantes en el sentdo de que son guales a 0.5, se obtene la exresón del índce de Carl no onderado que no es más que la meda artmétca de los índces de recos smles. Nuevamente los resultados del eígrafe ndcarían la nconvenenca de utlzar esta fórmula ara el cálculo de los PE, uesto que tambén rocede de una funcón de referencas que no reresenta adecuadamente el comortamento de un consumdor dentro de un estrato elemental. En tercer lugar, volvendo a la fórmula general del índce de recos basados en las referencas to Leontef, y tenendo en cuenta que ara estas referencas se 0 0 cumle que a q = a, se uede escrbr [7]. q w a = a [7] w Susttuyendo [7] en la fórmula general del índce de recos basado en las referencas to Leontef, [5], se demuestra que este índce de recos se uede escrbr como [8]. L = = = w 0 w t 0 0 [8] Esta últma exresón es el índce de Dutot onderado. Esto es, el cocente entre las medas artmétcas de los recos en el nstante cero y t, con onderacones en el año base. S se toman éstas guales a 0,5, se obtene la fórmula de Dutot no onderada. Llegados a este unto, se debe señalar que el hecho de que las onderacones sean guales mlca que q = q y, dado que se cumle a q = a, el suuesto q que se está hacendo al utlzar en el PE la fórmula de Dutot no onderada es que las 6

17 constantes son guales a los recos. Es decr, los establecmentos con recos más altos en el nstante base son los referdos or arte de los consumdores. Para fnalzar con las referencas to Leontef, odemos conclur que éstas no reresentan de forma adecuada a la conducta del consumdor dentro de un estrato elemental. Dado que las fórmulas de Carl y Dutot se dervan de este to de referencas, ambas fórmulas no son adecuadas ara agregar la nformacón que rocede de los recos de los roductos dentro de un agregado elemental La funcón de referencas to Cobb-Douglas y su relacón con la fórmula de Jevons En el eígrafe 3 tambén se ha vsto que las referencas to Cobb-Douglas tamoco son las más adecuadas ara agregar los recos de los roductos de estrato elemental cuando el objetvo es calcular un PE. Dada la forma del índce que se muestra en la tabla ara estas referencas, se deduce claramente que la fórmula del índce de recos concde con la fórmula onderada del índce de Jevons, cuando todas las constantes son ostvas y su suma es gual a. Además, cuando no se dsone de nformacón sobre las constantes y éstas se toman guales a 0,5, se obtene la fórmula de Jevons no onderada. J = qq [9] Esto sgnfca que esta fórmula tamoco es adecuada ara calcular el PE, uesto que suone que se gasta la msma cantdad de renta en todos los establecmentos o a cada uno de los recos, sn que el cambo del reco de un establecmento modfque la demanda en otro. 7

18 4.3- La funcón de referencas to Bergson y su relacón con la fórmula rouesta or Rodríguez, González y Rodríguez (005) En rnco, lo que cabría eserar de la Teoría del Consumdor es que las cantdades gastadas en dos establecmentos fueran roorconales a las relacones de sus recos. Esto es lo que se roduce con las referencas to Bergson estudada. Como se ha demostrado, en este caso la fórmula del PE es [4]. Dado que se desconocen los valores de las constantes, s éstas se toman todas guales, la exresón [4] se converte en las exresón [0]. B t t t t t t a ( + ) t t t t ( + ) ( a ( + ) = = ( ) ( ) ) [0] Reordenando [0] tal y como se muestra en [], se obtene la fórmula ara el índce de recos teórco de la funcón to Bergson utlzada en este trabajo. ( + ) t t t 0 0 t t t t ( + ) ( + ) = B = = = = t t t t ( + ) ( + ) 0 0 t t ( + ) = 0 [] La fórmula obtenda en [] concde con la rouesta or Rodríguez, González y Rodríguez (005) ara el cálculo del PE del estrato elemental j cuando se dsone de recos ara cada nstante de temo. La obtencón de la exresón [] ara el caso genérco de trabajar con K j recos en vez de con dos no suone nnguna dfcultad. Para este caso, los autores demuestran que B es gual a la meda armónca de los índces de recos smles onderados or el nverso de los recos en el eríodo base, exresón []. K j j t j 0 j 0 B = A( t/0) =,con j 0 = K j = j 0 = w w j 0 [] 8

19 Asmsmo, Rodríguez, González y Rodríguez (005) demuestran que, desde el unto de vsta axomátco, [] es una fórmula sueror a la de Jevons cuando los benes del estrato elemental son homogéneos, ya que cumle una roedad deseable más que esta últma. Además, s se trabaja nuevamente con dos roductos y sn nformacón sobre las constantes, es fáclmente demostrable que el índce rouesto or estos autores, y que se derva de una funcón de referencas to Bergson, es el únco de los estudados en el cual el gasto en cada roducto es roorconal a la relacón entre sus recos. La demostracón de esta afrmacón se uede realzar estudando las onderacones mlíctas en gasto que tenen las dstntas fórmulas dervadas de las funcones de utldad estudadas. S se denota or G al gasto realzado en el roducto, la onderacón del roducto es gual a G /Y. Emezando or la fórmula de Carl, la onderacón mlícta es 0,5. Por tanto, se cumle [3]. G q = 0,5 = 0,5 Y q + q [3] Es evdente a artr de esta últma exresón que s este es el caso, se cumle que G =G. Es decr, al usar la fórmula de Carl sn onderar, conlleva una onderacón mlícta en térmnos de artcacón en el gasto que guala las cantdades gastadas. S se arte de la fórmula de Dutot, ésta se uede escrbr como [4] [Rodríguez, González y Rodríguez (005)]. D = [4] = = Retendo el roceso realzado con Carl en [3], esto es, gualando la exresón teórca de la artcacón en gasto con la onderacón mlícta en la fórmula del 9

20 índce, se obtene que la exresón de artda ara la fórmula de Dutot es la mostrada en [5]. G q = = Y q q + = = [5] Desejando q en [5] se concluye que el uso de la onderacón = en térmnos de artcacón en el gasto mlca que las cantdades de ambos benes son guales. Para el índce rouesto or Rodríguez, González y Rodríguez (005), el unto de artda es la exresón [6]. G Y = = [6] Desarrollando [6] se demuestra que es equvalente a [7]. [ ] q = q + q + [7] Desejando q de esta últma exresón es obtene ka relacón [8] q = q [ + ], [8] + a artr de donde es nmedato demostrar que con el índce rouesto or Rodríguez, González y Rodríguez (005) la onderacón en gasto mlca que el gasto en el roducto es roorconal al gasto en el roducto, sendo la constante que los relacona el cocente de sus recos. Esto es, mlca [9]. 0

21 q = q [9] La alcacón de este rocedmento a la fórmula de Jevons es más comleja dado el carácter multlcatvo con el que artcan los índces smles. Sn embargo, ara el caso de dos benes se uede realzar la sguente aroxmacón. El índce de Jevons sn onderar ara dos roductos es guala a =. Este equvale a un índce J 0,5 0,5 adtvo genérco de la forma J = S + S, sendo S + S =. Por tanto se cumle [30]. S + S 0,5 0,5 = [30] Esta últma relacón se uede rescrbr como [3], en donde α =. Sα + S = [3] α Tenendo en cuenta que S + S =, se demuestra el cumlmento de [3]. S = ; S = + + [3] Ahora s se uede alcar el rocedmento general que se le alcó a los índces de Carl, Dutot y al rouesto or Rodríguez, González y Rodríguez (005). Esto es, gualar la onderacón en gasto a la onderacón mlícta, tal y como se muestra en [33]. q = q + q + [33]

22 Manulando esta últma exresón se llega a la conclusón de que los gastos son roorconales a la raíz cuadrada de los índces smles, tal y como se muestra en la exresón [34]. q = q [34] Este resultado es mortante uesto que nos dce que la relacón entre las cantdades gastadas en dos roductos no deende de la relacón de sus recos sno de la relacón de los cambos en sus recos. Por tanto, tal y como demuestran Rodríguez, González y Rodríguez (004), odemos decr que este resultado es comatble con un objetvo de establdad de recos ero no así de convergenca de los msmos. En cualquer caso, este resultado no es más que un caso artcular defndo or la restrccón que mone la exresón [30] y que no es totalmente comarable con el resto de exresones. 5. Conclusones A lo largo del trabajo se ha demostrado la nconsstenca, desde el unto de vsta económco, de utlzar las fórmulas de Carl, Dutot y Jevons ara el cálculo de un PE ara estratos homogéneos, debdo a que estas fórmulas se dervan de unas funcones de referencas que no son adecuadas ara reresentar el comortamento eserado or la Teoría de Consumdor. Una solucón más coherente con dcha teoría es la que se derva de una funcón de referencas to Bergson. En concreto, el uso de una funcón de referencas defnda como el cuadrado de la suma de las raíces cuadradas de las cantdades, da lugar a un índce de recos teórcos que se calcula como el cocente entre el sumatoro de los nversos de los recos en el nstante cero dvddo or el msmo sumatoro de los recos ero ahora en el nstante actual. Este índce concde con el rouesto or Rodríguez, González y Rodríguez (005) defndo como la meda

23 armónca de los índces de los recos smles onderados or la nversa de los recos en el nstante base. La nueva fórmula ara el PE se muestra comatble con la Teoría del Consumdor y cumle con todas las roedades deseables ara el número índce de un agregado elemental homogéneo. Además, es comatble con las estmacones de la elastcdad reco ara roductos susttubles. Por últmo, la fórmula rouesta mlca que el gasto realzado es roorconal a la relacón de recos, mostrándose, en consecuenca, sueror al resto de fórmulas las cuales mlcan gualdad entre las cantdades, entre el gasto o roorconal a la relacón entre los índces de recos. Por todo lo demostrado, la conclusón básca es que debe estudarse or arte de las Agencas de Estadístca la susttucón de la fórmula del agregado elemental or la fórmula rouesta en este trabajo, máxme s se tene en cuenta que su mlementacón no suone nngún coste adconal ara dchas agencas. Bblográfcas. Advsory Commsson To The Study The Consumer Prce ndex (996): "Toward a More Accurate Measure of The Cost of Lvng", Fnal Reort To The Senate Fnance Commttee, Washngton, December 4.. Dewert, W. (976): Exact and Suerlatve ndex numbers, Journal of Econometrcs, 4-, Fsher,. (9): The Makng of the ndex Numbers, Houghton-Mffln, Boston. 4. Konus, A. (939): The Problem of the True ndex of the Cost of Lvng, Econometrca, 7,

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