ECBTI/ZSUR/FÍSICA GENERAL. Conservación de la Energía Mecánica y Conservación del momento lineal Edson Daniel Benitez Rodriguez

Transcripción

1 ECBTI/ZSUR/FÍSICA GENERAL Conservación de la Energía Mecánica y Conservación del momento lineal Edson Daniel Benitez Rodriguez Ibagué 2016

2 ENERGÍA POTENCIAL. La energía potencial de un objeto es la energía asociada a la posición del objeto con respecto a un sistema de referencia. Los objetos que se encuentran dentro del campo gravitacional terrestre, poseen una energía potencial gravitatoria. Para un objeto que cae libremente, se tiene que: W g = F s = W g = mg j s mg s W g = ( mg j) (y f y 0 ) j W g = mgy 0 mgy f y o y f mg DondeU g = mgy (1) se llama energía potencial gravitatoria, por lo que: W g = U 0 U f (2)

3 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS. Las fuerzas que actuan en la naturaleza pueden dividirse en dos : *Fuerzas conservativas y * Fuerzas NO conservativas.

4 FUERZAS CONSERVATIVAS Una fuerza es conservativa, si el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera, es independiente de la trayectoria seguida por la partícula. Además, el trabajo hecho por una fuerza conservativa ejercida sobre una partícula que se mueve en una trayectoria cerrada es cero.

5 CARACTERISTICAS DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS Puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una función de energía potencial. El trabajo es reversible (No hay pérdida de energía). El trabajo es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende sólo de los puntos inicial y final.(esto se cumple para casos unidimensionales, en general, esto no es el caso para un movimiento que incluye desplazamientos en dos y tres dimensiones). Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero.

6 FUERZAS CONSERVATIVAS(EJEMPLOS) *La fuerza gravitacional es conservativa: W g = mgy 0 mgy f (3) La ecuación anterior es independiente de la trayectoria de la particula. *La fuerza de un resorte sobre un objeto unido a él es conservativa: W s = 1 2 kx i kx f 2 (4) Donde x es la elongación ó deformación del resorte a partir de su posición de equilibrio. La expresión 1 2 kx2 se conoce con el nombre de energía potencial elástica.

7 FUERZAS NO CONSERVATIVAS Una fuerza es NO conservativa si el trabajo realizado por élla no puede representarse con una función de energía potencial. Algunas fuerzas no conservativas o también conocidas como fuerzas disipadores, como la fricción cinética o la resistencia en fluidos (Estado líquido y gaseoso), hacen que se pierda o se disipe energía mecánica.

8 FUERZAS NO CONSERVATIVAS La cantidad de energía mecánica disipada por una fuerza no conservativa depende de la trayectoria cuando un objeto se mueve de una posición a otra; tambien puede depender de la velocidad del objeto o de otras cantidades. Como el trabajo realizado por una fuerza NO conservativa no es una simple función de las coordenadas inicial y final, no hay función de energía potencial asociada a una fuerza NO conservativa.

9 FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL Debido a que el trabajo realizado sólo es función de las coordenadas inicial y final de la partícula, podemos definir una función de energía potencial U tal que el trabajo efectuado por una fuerza conservativa sea igual a la reducción en la energía potencial de la partícula, esto es: W = x f F x dx = U = U i U f x i (5)

10 FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL Cuáles tipos de energía potencial hay en el siguiente sistema? Momento 1 Momento 2 x 1 = 0. 0 m

11 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA La suma de las energías cinética y potencial (E=K+U), conocida como energía mecánica E, permanece constante en el tiempo. Este es un ejemplo del principio de conservación de la energía: E i = E f (6) O lo que es igual a: K i + U i = K f + U f (7) Donde la expresión U indica que la energía potencial puede estar conformada por una sumatoria de las energías potencial gravitatoria y elástica, como lo es el ejemplo de una masa unida a un resorte oscilando verticalmente. El principio de la conservación de la energía se cumple para cualquier sistema aislado de objetos que interactuan sólo a traves de fuerzas conservativas.

12 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Ejemplo No 1: Una bola de masa m se deja caer desde una altura h sobre el suelo. a) Ignore la resistencia del aire y determine la velocidad de la bola cuando está a una altura y sobre el suelo. b) Determine la velocidad de la bola si se le da una velocidad inicial Vi en la altura h (Propuesto).

13 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA E 1 = K 1 + U 1 Momento 1 m v 1 = 0m/s y = h y h W = m g m v 2 0m/s Momento 2 y W = m g E 2 = K 2 + U 2

14 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA E 1 = E 2 K 1 + U 1 = K 2 + U mv mgh = 1 2 mv mgy v 1 = 0 m/s mgh = 1 2 mv mgy mgh mgy = 1 2 mv 2 2 mg(h y) = 1 2 mv g(h y) = v 2 2 La velocidad en la altura " y" es 2 g y = v 2 2 g y = v 2

15 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Ejemplo 2: Dos objetos se conectan mediante una cuerda ligera que pasa sobre una polea ligera sin fricción. El objeto de 5.00 kg de masa se libera desde el reposo. Con el modelo de sistema aislado. Determine la rapidez del objeto de 3.00 kg justo cuando el objeto de 5.00 kg golpea el suelo

16 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA m 1 m 2 m 2 h h m 1 Momento inicial Momento final E i = K i + U i E f = K f + U f E i = 1 2 m 1v 2 i m 2 2v i2 + m 2 g(0) + m 1 gh 1 E i = m 1 gh E f = 1 2 m 1v 2 f1 E f = 1 2 m 1v 2 f m 2 2v f2 + m 2 gh + m 1 g(0) m 2 2v f2 + m 2 gh 1

17 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA E i = E f m 1 gh = 1 2 m 1v 2 f m 2 2v f2 1 + m 2 gh m 1 gh = 1 2 m 1v f m 2v f 2 + m 2 gh v 2 f1 = v 2 f2 = v f 2 m 1 gh m 2 gh = 1 2 v f 2 m 1 + m v f 2 m 1 + m 2 = gh m 1 m 2 v f 2 = 2gh m 1 m 2 m 1 + m 2 v f = Remplazando valores 2(9. 81m/s2 )(4. 00m) 5. 00kg 3. 00kg 5. 00kg kg v f = 2. 21m/s v f = 2gh m 1 m 2 m 1 + m 2 2

18 ENERGÍA MECÁNICA AFECTADA POR LA PRESENCIA DE FUERZAS NO CONSERVATIVAS. En presencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica NO es constante, por lo que no se cumple el teorema de la conservación de la energía mecánica. No es posible calcular el valor de W, pues para fuerzas NO conservativas W no es independiente de la trayectoria. Sin embargo, es posible calcular K.

19 MOMENTO LINEAL Ó CANTIDAD DE MOVIMIENTO. 19

20 CANTIDAD DE MOVIMIENTO El momento lineal de una masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto entre la masa y la velocidad: p mv (8) UNIDADES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO p mv = kg. m s 20

21 CANTIDAD DE MOVIMIENTO EJEMPLO: un jugador de rugby es tacleado por dos jugadores, el primero se mueve con una velocidad de 5.0 m/s y tiene una masa de 84 Kg, el segundo tiene una masa de 70 kg y se acerca con una velocidad de 6.0 m/s. Cuál de los dos jugadores tiene mayor cantidad de movimiento y por ende taclea mas fuerte? SOLUCIÓN: Para el jugador No 1, el momento lineal es: m 1 = 84 kg ; v 1 = 5. 0 m s, como p 1 = m 1 v 1, entonces: p 1 = 84kg 5. 0 m s entonces p 1 = 420kg m s = kg m s Para el jugador No 2, el momento lineal es: m 2 = 70 kg ; v 2 = 6. 0 m s como p 2 = m 2 v 2, entonces: p 2 = 70 kg 6. 0 m s entonces p 1 = 420kg m s = kg m s Por lo tanto, se tiene que p 1 = p 2 21

22 RELACIÓN ENTRE LA 2a LEY DE NEWTON Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La segunda ley de Newtom( F = ma) en posible escribirla en forma diferencial como: F = m dv dt Clásicamente m es constante, entonces: F = d(mv) dt O lo que es lo mismo: F = dp dt (9) 22

23 RELACIÓN ENTRE LA 2a LEY DE NEWTON Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO F = dp dt donde p = mv Qué sucede si F = 0? dp dt = 0 Esto implica que la variación del p es nula y por ende el momento líneal p es constante. 23

24 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Consideremos el caso de dos partículas 1 y 2 dentro de un campo gravitacional, tales que la fuerza externa aplicada es cero: las partículas tienen momentos p1 y p2 respectivamente, entonces, la segunda ley de Newton para cada una de ellas se expresa como: F 12 = dp 2 dt F 21 = dp 1 dt Donde F 12 es la fuerza ejercida sobre la partícula 2 por la partícula 1 y F 21 es la fuerza ejercida sobre la partícula 1 por la partícula 2. 24

25 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Gráficamente Por la tercera ley de Newtom: F 12 = F 21 entonces F 12 + F 21 = 0 es decir que F = 0 Por lo que se concluye que: p 1 + p 2 = p Total (Constante) O lo que es igual: p 1i + p 2i = p 1f + p 2f n i=1 p i = Este resultado se conoce como el teorema o ley de la conservación del momento lineal. Siempre que dos o más partículas interactúan en un sistema aislado, el momento total del sistema permanece constante. n i=1 p f (10) 25

26 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (EJEMPLO) Un jugador de ping pong utiliza una máquina lanzadora para ayudarse a mejorar su promedio de golpe a la pelota con la raqueta. Coloca la máquina de 60 Kg sobre un estanque congelado. La máquina dispara horizontalmente una bola de ping pong de 0,18 g con una velocidad de 8.0 m i. Cuál es la velocidad s de retroceso de la máquina? Imagen tomada de 26

27 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (EJEMPLO) m P = 8. 0 g (masa pelota); v p(f) = 8. 0 m s (Velocidad final de la pelota) m m = 60 kg (masa máquina); v m(i) = 0. 0 m s = v p(i) Por el teorema de la conservación del momento lineal es posible afirmar que: n i=1 p i = n i=1 Siendo el momento inicial, el instante antes de disparar la pelota y el instante final, el instante en que se dispara la pelota; se tiene que: p f p m(i) + p p(i) = p m(f) + p p(f) m m v m(i) + m p v p(i) = m m v m(f) + m p v p(f) 0 = 60 kg v m(f) g kg m/s g 27

28 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (EJEMPLO) 0 = 60 kg v m(f) g kg 10 3 g 8. 0m/s 60 kg v m f = kg 8. 0m/s v m f = kg 8. 0m/s 60 kg v m f = m s 28

29 IMPULSO DE UNA FUERZA En el caso en que esté actuando una fuerza resultante sobre el sistema: dp = Fdt Integrando para encontrar el cambio en el momento de la partícula: p fdp = p = pf p i = t f Fdt p i t i Donde la cantidad del lado derecho, recibe el nombre de Impulso de la fuerza F, en el intervalo de tiempo t = t f t i : t f Fdt = I = p t i SÍ la fuerza es constante F t = I = p (11) 29

30 COLISIONES En un choque las fuerzas impulsivas del choque que son internas, (las cuales se eliminan entre sí por pares), no cambian el momento total, solamente las fuerzas externas pueden hacerlo, por lo tanto, se concluye que : El momento total del sistema exactamente antes del choque es igual al momento total del sistema después del choque. 30

31 CHOQUES ELÁSTICOS E INELÁSTICOS A pesar de que el momento total se conserva en cualquier tipo de colisión, con la cantidad de energía cinética no sucede lo mismo durante la colisión. 31

32 CHOQUES INELÁSTICOS EN UNA DIMENSIÓN Un objeto sufre una colisión inelástica, si presenta una deformación lo suficientemente significativa, tal que, genera una variación en la energía cinética; ahora, la colisión es perfectamente inelástica, sí después del choque los dos objetos quedan unidos. En general: m 1 V 1i + m 2 V 2i (m 1 + m 2 )V f m 1 V 1i + m 2 V 2i = (m 1 + m 2 )V f V f = m 1V 1i + m 2 V 2i m 1 + m 2 (12) 32

33 CHOQUES ELÁSTICOS EN UNA DIMENSIÓN En un choque elástico, la cantidad de movimiento y la energía cinética se conservan, por lo tanto: En general: m 1 V 1i + m 2 V 2i = m 1 V 1f + m 2 V 2f (13) Y 1 2 m 1v 2 1i m 2v 2 2i = 1 2 m 1v 2 1f m 2v 2 2f (14) 33

34 CHOQUES ELÁSTICOS EN UNA DIMENSIÓN Mediante procesos matemáticos y suponiendo que se conocen las masas y las velocidades iniciales de ambas partículas, a partir de las ecuaciones: m 1 V 1i + m 2 V 2i = m 1 V 1f + m 2 V 2f Y 1 2 m 1v 2 1i m 2v 2 2i = 1 2 m 1v 2 1f m 2 2v 2f Pueden resolverse para las velocidades finales en función de las velocidades iniciales, de tal manera que se llega a: v 1f = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1i + 2m 2 m 1 + m 2 v 2i (15) v 2f = 2m 1 m 1 + m 2 v 1i + m 1 m 2 m 1 + m 2 v 2i (16) En las anteriores ecuaciones, se debe incluir los signos apropiados para las velocidades v 1i y v 2i, por ejemplo, si la masa 1, se mueve hacia la izquierda v 1i, debe ser negativa. 34

35 CHOQUE INELÁSTICO (EJEMPLO) El péndulo balístico es un sistema con el que se mide la velocidad de un proyectil que se mueve con una rapidez (Magnitud de la velocidad). La bala se dispara hacia un gran bloque de madera suspendido de algunos alambres ligeros. La bala es detenida por el bloque y el sistema (Bala- Bloque) se equilibra hasta alcanzar una altura h. El choque es perfectamente inelástico y el momento se conserva. Supongamos que h= 5.00cm, m1=5.00g y m2=1kg. Encuentre a) la velocidad inicial del proyectil y b) La perdida de energía por el bloque. CHOQUES EN UNA DIMENSIÓN- EJERCICIO- 35

36 CHOQUE INELÁSTICO (EJEMPLO) Teniendo en cuenta que el choque es perfectamente inelástico, la velocidad final del sistema está dada por la ecuación (12): V f = m 1V 1i + m 2 V 2i m 1 + m 2 V 2i = 0 entonces; V f = m 1V 1i m 1 + m 2 (A) La energía cinética después de choque es: K = 1 2 m 1 + m 2 v f 2 (B) Se sustituye (A) en (B) y se concluye que la energía cinética del Sistema es: K = m 1 2 v 1i 2 2(m 1 + m 2 ) (C) La expresión anterior, representa la energía cinética después del choque, la cual es menor que la energía cinética inicial de la bala, sin embargo, la energía mecánica durante la colisión se conserva. 36

37 CHOQUE INELÁSTICO (EJEMPLO) Teniendo en cuenta que la energía mecánica se conserva, podemos plantear el teorema de la conservación de la energía para los puntos B y C: K B + U B = K C + U C Donde las energías potencial y cinética son cero en los puntos bajo (B) y alto respectivamente, por lo tanto: m 1 2 v 1i 2 2(m 1 + m 2 ) = m 1 + m 2 gh (D) Despejando la v 1i en (D) se tiene que: v 1i = m 1 + m 2 m 1 2gh 37

38 CHOQUE BIDIMENSIONALES Para dos partículas que se encuentran en plano, es importante que el momento en las cordenadas x e x se conserve, esto implica que se generan dos ecuaciones, una para cada componente, por lo tanto: En general: m 1 V 1ix + m 2 V 2ix = m 1 V 1fx + m 2 V 2fx (17) m 1 V 1iy + m 2 V 2iy = m 1 V 1fy + m 2 V 2fy (18) Para el caso en el que una de las partículas se encuentra en reposo y teniendo en cuenta que la partícula de masa m1 se mueve un ángulo θ (Anti horario) respecto a la horizontal y la partícula m2 a un ángulo φ (Horario) respecto a la horizontal 38

39 CHOQUE BIDIMENSIONALES m 1 V 1i = m 1 V 1f Cos θ + m 2 V 2f Cos 0 = m 1 V 1f Sen θ m 2 V 2f Sen Horizontal Vertical NOTA: Para que el sistema de ecuaciones formado tenga solución, debe cumplirse que sólo dos de las cantidades anteriores sean desconocidas. Ahora, como el choque es elástico, por el teorema de la conservación de la energía cinética, se tiene que: 1 2 m 1v 1i 2 = 1 2 m 1v 1f m 2v 2f 2 (Para ésta situación) 39

40 CHOQUE BIDIMENSIONALES (EJEMPLO) Un auto de 1.50*10 3 kg de masa se dirige hacia el este con una velocidad de 25.0 m/s y colisiona en un cruce con otro vehículo de 2.50*10 3 kg de masa que viaja hacia el norte con una velocidad de 20.0 m/s. Determine la velocidad y la dirección de los vehículos después de la colisión, asumiendo que la colisión es perfectamente inelástica, es decir, que los vehículos permanecen unidos, después del choque. Imagen tomada de : Physics for scientistits and engineers-serway- 40

41 CHOQUE BIDIMENSIONALES (EJEMPLO) m 1 V 1ix + m 2 V 2ix = (m 1 + m 2 )V fx m 1 V 1iy + m 2 V 2iy = (m 1 + m 2 )V fy Por lo tanto: m 1 V 1ix = m 1 + m 2 V f Cos θ (i) m 1 (masa del carro que se dirige al este) m 2 (masa del carro que se dirige al norte) m 2 V 2iy = m 1 + m 2 V f Sen θ ii Dividiendo término a término (2) en (1): m 2 V 2iy = m 1 + m 2 V f Sen θ m 1 V 1ix m 1 + m 2 V f Cos θ m 2 V 2iy m 1 V 1ix = tan θ 41

42 CHOQUE BIDIMENSIONALES (EJEMPLO) Remplazando: kg 20. 0m/s kg 25. 0m/s tan θ = = tan θ m 1 (masa del carro que se dirige al este) m 2 (masa del carro que se dirige al norte) tan 1 tan θ = tan θ = o (iii) 42

43 CHOQUE BIDIMENSIONALES (EJEMPLO) m 1 V 1ix = m 1 + m 2 V f Cos θ (1) Despejar la magnitud de la velocidad en (i): Remplazando m 1 V 1ix m 1 + m 2 Cos θ = V f V f = kg 25. 0m/s kg kg Cos (53. 1 o ) V f = m/s 43

44 CENTRO DE MASA Podemos replantear el principio de conservación del momento lineal en una forma útil usando el concepto de centro de masa. Supongamos que tenemos varias partículas con masas m1, m2,, mn. Las coordenadas de m1 son (x1, y1), las de m2, (x2, y2), y así sucesivamente, hasta llegar a las coordenadas de la n-ésima partícula (xn, yn), Definimos el centro de masa del sistema como el punto con coordenadas (xcm, ycm) dadas por x CM = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x m n x n = i=1 m i x i m 1 + m 2 + m m n n n i=1 m i y CM = m 1y 1 + m 2 y 2 + m 3 y m n y n = i=1 m i y i m 1 + m 2 + m m n n n i=1 m i 44

45 CENTRO DE MASA De manera similar para zcm se tiene que z CM = i=1 n i=1 n m i z i m i Por lo tanto, el vector rcm, se escribe como O lo que es igual: r CM = x CM i + y CM j + z CM k r CM = i=1 n m i x i i + n n i=1 m i y i j + i=1 m i z i k M = i=1 n m i r i M Donde M = n i=1 m i y r i = x i i + y i j + z i k 45

46 CENTRO DE MASA (EJEMPLOS) Determine las coordenadas del centro de masa de los siguientes sistemas: 46

47 Referencias Bibliográficas FÍSICA UNIVERSITARIA, VOLUMEN 1, SEARS ZEMANSKY. FÍSICA UNIVERSITARIA, VOLUMEN 1, SERWAY. NOTA: Las imagenes se tomaron del libro Serway and Jewett - Physics for Scientists and Engineers 6E 47

48 Movimiento Bidimensional Referencias Todas las imágenes, las definiciones y los ejemplos de la presentación fueron tomados de los siguientes textos: Serway, Raymond A., and Jewett, John W.. Física para Ciencias e Ingeniería Vol I. Mexico, Distrito Federal, México: Cengage Learning Editores S.A. de C.V Young Hugh D. and Freedman Roger A. Física Universitaria Vol I. Mexico, Distrito Federal, México: Pearson Educación, 2009

49 ECBTI/ZSUR/FÍSICA GENERAL. GRACIAS POR SU ATENCIÓN