Tema 9: Introducción a la Dinámica

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1 Tema 9: Introducción a la Dinámica 1º Ingenieros Aeronáuticos Escuela Técnica Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla 1

2 Situación en la asignatura Primer Parcial Introducción Mecánica Cinemática Estática Dinámica 9 Introducción a la Dinámica 10 Dinámica de un sistema de partículas 2

3 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 3

4 Introducción La Dinámica estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos Junto con la Cinemática, permite determinar los movimientos de los cuerpos Estas causas se caracterizan con la magnitud física de fuerza Una fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de equilibrio o movimiento de un cuerpo, o de producir en él estados de tensión Se representa con un vector La masa de un cuerpo determina la intensidad con que una fuerza afecta a su estado de movimiento 4

5 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 5

6 Leyes de Newton Fueron enunciadas por Isaac Newton en 1687: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Primera Ley o Ley de Inercia Introduce el concepto de inercia y sistema de referencia inercial Segunda Ley Relaciona fuerza, masa y aceleración Tercera Ley o Principio de acción y reacción Relaciona las fuerzas mutuas que ejercen los cuerpos Esta relacionada con la conservación de la cantidad de movimiento 6

7 Primera Ley de Newton Todo punto material libre, no sometido a ninguna interacción, se mantiene indefinidamente en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme respecto a un sistema de referencia inercial Un sistema de referencia inercial (SRI) es un sistema en reposo o con velocidad constante Su rotación es cero Un sistema que se traslada con velocidad uniforme respecto a un SRI también es un SRI Todos los SRI miden la misma aceleración para un punto material cualquiera 2 Z1 1 SRI SRI Y1 O1 X1 ap21 =ap20 P 0 v01 t ras =(cte) O X0 Y0 7

8 Segunda Ley de Newton Todo punto material sometido a una fuerza experimenta una aceleración en la misma dirección y sentido en que actúa la fuerza y de módulo proporcional al módulo de la fuerza La magnitud m es la masa inercial de la partícula Mide la resistencia de la partícula a cambiar su estado de movimiento (su inercia) La fuerza se mide en Newtons en el S.I. : 1 N = 1 kg m s-2 Si se conoce la fuerza proporciona una ecuación diferencial para describir el movimiento v a F Si se conoce la aceleración y la masa permite medir la fuerza 8

9 Tercera Ley de Newton Si un punto material B ejerce una fuerza (FAB ) sobre otro punto material A, entonces A responde con otra fuerza sobre B (FB A ) de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario A B Cada fuerza se aplica en cuerpos diferentes La aceleración que adquiere cada partícula depende de su masa inercial Aceleración de la masa Aceleración de la Tierra Tierra 9

10 Principio de superposición Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma vectorial de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las fuerzas por separado Cuando la partícula está sometida a n fuerzas se generaliza 10

11 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 11

12 Dinámica del punto material Punto libre No hay ligaduras Las fuerzas que actúan sobre él son fuerzas activas, Fi (muelle, gravedad, etc) Punto vinculado Tiene vínculos que restringen los movimientos posibles Las fuerzas sobre él son fuerzas activas, Fi y fuerzas de reacción vincular, i Las fuerzas dependen del tiempo, la posición y la velocidad: Descripción del movimiento Ecuación diferencial Ecuaciones de ligadura Condiciones iniciales 12

13 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 13

14 Teoremas de conservación Existen una serie de magnitudes físicas que, según en que circunstancias, se mantienen invariantes en el tiempo Energía Cantidad de movimiento o momento lineal Momento cinético Desde el punto de vista matemático son integrales primeras Las ecuaciones que definen el movimiento son ecuaciones diferenciales de segundo grado Las magnitudes conservadas involucran derivadas de primer grado (la velocidad) Estas magnitudes dan información sobre el comportamiento del sistema sin tener que resolver las ecuaciones de movimiento 14

15 Trabajo mecánico F Trabajo mecánico de una fuerza sobre una partícula v dr r(t) El signo depende del sentido relativo si F dr no hay trabajo mecánico Se mide en Julios (J) En un recorrido finito el trabajo total es la suma de los trabajos infinitesimales F(r) F(r) dr r(t) A v B 15

16 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 16

17 Energía cinética Teniendo en cuenta la definición de velocidad y la Segunda Ley de Newton F v dr r(t) En un recorrido finito el trabajo total es la variación de la magnitud entre paréntesis F va dr B A vb 17

18 Energía cinética Definición de la energía cinética de una partícula Se mide en Julios (J) Teorema de la energía o de las fuerzas vivas Versión local Versión finita Definición de potencia instantánea Se mide en Watios(W) Versión instantánea 18

19 Conservación de la energía cinética Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o perpendicular a su trayectoria, su energía cinética se conserva constante a lo largo del tiempo Ejemplos Partícula libre Movimiento de la Tierra respecto al Sol (considerando la órbita circular) 19

20 Energía potencial Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un punto material que se desplaza entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida dr dr 2 F dr A B F dr 1 F F La diferencia de energía potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por la fuerza conservativa cuando la partícula se mueve entre esos dos puntos, cambiando el signo El orígen de la energía potencial es arbitrario 20

21 Energía potencial gravitatoria dr 2 Trabajo realizado B dr Fuerza gravitatoria por Fg en un desplazamiento infinitesimal F dr Z A F F dr 1 z F g Diferencia de energía potencial entre dos puntos Fijando una referencia arbitraria en z=0 21

22 Energía potencial de un muelle ideal Fuerza del muelle Trabajo realizado por Fg en un desplazamiento infinitesimal O P Fijando una referencia de energía potencial en l0 22

23 Fuerza a partir de energía potencial Energía potencial gravitatoria Fuerza gravitatoria Energía potencial elástica Fuerza elástica Esta operación se llama hacer el gradiente de la función potencial 23

24 Energía mecánica Se define como la suma de la energía cinética y la energía potencial total (una energía potencial por cada fuerza conservativa) Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre una partícula son conservativas su energía mecánica se conserva Demostración Si hay fuerzas no conservativas el trabajo que realizan varía la energía mecánica 24

25 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 25

26 Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es el producto de su masa por su velocidad [p] = kg m s-1 Teorema de la cantidad de movimiento Es un enunciado alternativo de la Segunda Ley de Newton Impulso mecánico (Teorema de la cantidad de movimiento en forma elemental y finita) Es útil cuando la partícula sufre una fuerza en un intervalo de tiempo pequeño 26

27 Conservación de la cantidad de movimiento Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula se conserva su cantidad de movimiento Demostración Si la dirección de la fuerza es constante, se conserva la cantidad de movimiento en las direcciones perpendiculares a la fuerza Ejemplo Z v0 p px F=mg px p X 27

28 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 28

29 Momento cinético El momento cinético de un punto material respecto a un punto O es el producto vectorial [L] = kg m2 s-1 O P Teorema del momento cinético 29

30 Conservación del momento cinético Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o es central con centro en un punto fijo O, su momento cinético respecto a O es constante Demostración Si el momento de la fuerza es perpendicular a un vector n, se conserva la proyección del momento cinético sobre n Ejemplo: en el movimiento central se conserva el momento cinético O P En este caso 30

31 Índice Introducción Leyes de Newton Dinámica del punto material Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Dinámica en sistemas de referencia no inerciales 31

32 Sistemas de referencia no inerciales Un punto material realiza un movimiento circular con velocidad angular constante Z1,Z0 01 Y0 Y1 O R X1 Z2 F a P21 P v P21 X0,X2 Aplicamos la Segunda Ley de Newton en el sistema OX1Y1Z1 para obtener la fuerza Es una fuerza centrípeta Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton pues el sistema 1 es un S.R.I. 32

33 Sistemas de referencia no inerciales Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton en el sistema 0? Es un sistema no inercial No se puede aplicar la Segunda Ley Hay alguna forma de analizar el problema desde el sistema 0? Z1,Z0 R Z2 01 Y0 Y1 O X1 F P -map01 X0,X2 En el sistema 0 la partícula está en reposo Para poder analizar la dinámica en el sistema 0 hay que introducir fuerzas de inercia -map01 es la fuerza centrífuga, que no es la reacción de la centrípeta 33

34 Sistemas de referencia no inerciales Segunda Ley de Newton en un sistema no inercial ( 01 0 y/o ao01 0 ) m 2 Farr es la fuerza de arrastre Fcor es la fuerza de Coriolis Propiedades de la fuerzas de inercia Farr Fcor F F es la fuerza real en el S.R.I. P 0 O S.R. no inercial 1 S.R.I. Son aparentes o ficticias para el observador inercial, pero para el no inercial tienen los mismos efectos que una fuerza real (realizan trabajo, pueden ser conservativas) Son proporcionales a la masa No añaden incógnitas al problema dinámico {20} (conocido el movimiento {01}) 34

35 Fuerza de Coriolis El sólido 2 es un punto P moviéndose con velocidad v0 paralela la superficie de la Tierra Z1,Z0 Fcor = -2m 01 vp20 01 P vp20 El término de Coriolis empuja el sólido hacia la derecha en vp20 el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur X1 X0 Y0 P Y1 Fcor = -2m 01 vp20 Este efecto se deja sentir sólo en sistemas de tamaño muy grande o que se mueven muy rápido, o en los que se acumula el efecto en el tiempo Huracanes Péndulo de Foucault El efecto en el sentido de giro del agua en los desagües es despreciable 35

36 Fuerza de Coriolis: sentido de giro de los huracanes En las tormentas, una zona de bajas presiones relativas atrae el aire formando un corriente convergente de aire En el hemisferio norte el flujo de aire se desvía hacia la derecha, y en el hemisferio sur hacia la izquierda, formando la estructura espiral del torbellino Hemisferio norte Hemisferio sur 36

37 Fuerza de Coriolis: péndulo de Foucault El término de Coriolis hace girar el plano de oscilación de un péndulo vp20 0 Fcor =-2m 01 vp20 En cada oscilación, el término de Coriolis empuja al péndulo hacia la derecha (en el hemisferio norte) 2 Z1,Z0 B1 01 Y0 X1 Y1 X0 A2 A1 B2 A lo largo del tiempo, el plano de oscilación gira respecto a la Tierra, pero no respecto al espacio. Esto demuestra que la Tierra tiene un movimiento de rotación 37

38 Fuerza de Coriolis: péndulo de Foucault Experimento de Foucault en el Pantheon en París, 1851 Péndulo de Foucault en el Pantheon en París 38

39 Resumen Concepto de fuerza Leyes de Newton Ley de inercia Segunda Ley Principio de ación y reacción Principio de superposición Dinámica del punto material Ecuación diferencial, ligaduras y condiciones iniciales 39

40 Resumen Magnitudes cinéticas Trabajo, energía Cantidad de movimiento Momento angular Sistemas de referencia no inerciales 40

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