Factorización de matrices totalmente no positivas y totalmente negativas

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1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp. 1 8) Factorización de matrices totalmente no positivas y totalmente negativas R. Cantó 1, B. Ricarte 1, A.M. Urbano 1 1 Institut de Matemàtica Multidisciplinar, Universidad Politécnica de Valencia, E Valencia. s: rcanto@mat.upv.es, bearibe@mat.upv.es, amurbano@mat.upv.es. Palabras clave: de rango completo, LDU y QR. Matrices totalmente no positivas, matrices totalmente negativas, factorizaciones Resumen Una matriz real A de tamaño n m se dice que es totalmente no positiva (totalmente negativa) si todos sus menores son no positivos (negativos). En este trabajo se estudia, a partir de la factorización de rango completo en forma escalonada de una matriz A totalmente no positiva (totalmente negativa), la reducción significativa del número de menores que se deben estudiar para decidir sobre la total negatividad de una matriz. Además, en el caso de las matrices cuadradas totalmente no positivas (totalmente negativas) se obtiene una caracterización a partir de su factorización QR. 1. Introducción Una matriz A R n m es totalmente no positiva (totalmente negativa) y se denota como matriz t.n.p. (t.n.) si todos sus menores son no positivos (negativos). En el caso de matrices cuadradas totalmente negativas, en [7] se analizan propiedades espectrales y factorizaciones del tipo LDU y en [10] se obtiene una caracterización en términos de los parámetros de la eliminación de Neville. Para matrices invertibles totalmente no positivas, en [2] se estudia su caracterización a partir de la factorización LDU lo que permite, por una parte, reducir el número de menores a estudiar para saber si una matriz es totalmente no positiva y, por otra, obtener propiedades similares a las conocidas para las matrices totalmente positivas, TP, es decir matrices cuyos menores son todos no negativos. Recordamos que una matriz está en forma escalonada superior si cumple las tres condiciones siguientes: 1. Su primer elemento no nulo situado más a la izquierda en cada fila es un 1 llamado 1 principal de dicha fila. 1

2 R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano 2. Cada 1 principal está situado a la derecha de los 1 s principales de las filas anteriores. 3. Las filas nulas se sitúan debajo, en las últimas filas de la matriz. Diremos que una matriz está en forma escalonada inferior si su traspuesta está en forma escalonada superior. Dada una matriz A R n m con rank(a) = r, se llama factorización de rango completo en forma escalonada de A a la factorización de rango completo de la forma A = LDU, donde L R n r es una matriz en la forma escalonada inferior, D = diag(d 1, d 2,..., d r ) es una matriz diagonal e invertible, y U R r m es una matriz en la forma escalonada superior. Es conocido que no todas las matrices tienen factorizaciones de este tipo, pero si dicha factorización existe entonces es única [3]. Cuando A tiene rango completo por filas (columnas) diremos que L (U) es triangular inferior (superior) unitaria. En este trabajo, a partir de la caracterización para las matrices rectangulares totalmente no positivas (totalmente negativas) en términos de su factorización de rango completo [4], obtenemos una reducción significativa del número de menores a estudiar para saber si una matriz rectangular es totalmente no positiva o totalmente negativa. Estos resultados son análogos a los conocidos para las matrices totalmente positivas, TP, y para las matrices estrictamente totalmente positivas, STP, matrices cuyos menores son todos positivos. Además, en el caso cuadrado e invertible trasladamos a las matrices t.n.p. y t.n. una caracterización a partir de su factorización QR similar a la obtenida para matrices totalmente no negativas y totalmente positivas en [9, Teorema 4.7]. Denotaremos por A[α β] la submatriz de A formada por las filas de índices α {1, 2,..., n} y las columnas de índices β {1, 2,..., m}. La submatriz principal A[α α] se denota por A[α]. Además, dados k, n N, 1 k n, Q k,n denota el conjunto de todas las sucesiones crecientes de k números naturales menores o iguales que n. Cuando los números naturales son consecutivos, la secuencia se denota por Q 0 k,n. Obsérvese que A es una matriz t.n.p. (t.n.) si det A[α β] 0 (< 0), para todo α Q k,n y β Q k,m con k = 1, 2..., min{n, m}. Del mismo modo, A es una matriz TP (STP) si det A[α β] 0 (> 0), para todo α Q k,n y β Q k,m con k = 1, 2,..., min{n, m}. Diremos que una matriz A en forma escalonada inferior (superior) es STP si todos sus menores no triviales son positivos. 2. Caracterización de matrices t.n. y t.n.p. por menores En esta sección obtenemos una caracterización de las matrices totalmente negativas (t.n.) y de las matrices totalmente no positivas (t.n.p.) a partir del signo de determinados menores, teniendo en cuenta su factorización de rango completo en forma escalonada. Resultados similares para matrices STP se pueden encontrar en [8] y para TP en [5]. Los siguientes Teoremas, cuyas demostraciones pueden seguirse en [4], nos permiten obtener la factorización de rango completo de las matrices t.n.p. y t.n. Teorema 1 (Teorema 5 de [4]) Sea A = (a ij ) = LDU R n m con a nm < 0 y n m. A es una matriz t.n. si y sólo si A admite una factorización de rango completo en forma escalonada A = LDU, donde L R n n es una matriz escalonada inferior STP, U R n m es una matriz escalonada superior STP y D = diag( d 1, d 2,..., d n ) con d i > 0, i = 1, 2,..., n. 2

3 Factorización de matrices totalmente no positivas y totalmente negativas Teorema 2 (Teorema 9 de [4]) Sea A = (a ij ) R n m con a 11 < 0, a nm 0 y rank(a) = r. A es una matriz t.n.p. si y sólo si A admite una factorización de rango completo en forma escalonada A = LDU, donde L R n r es una matriz TP escalonada inferior, U R r m es una matriz TP escalonada superior, rank(l) = rank(u) = r, todos los elementos de L y de U que no son nulos por la estructura triangular de las matrices deben ser necesariamente positivos, y D = diag( d 1, d 2,..., d r ) con d i > 0, i = 1, 2,..., r. Definición 1 Dada una matriz A R n m, sus menores det A[α 1, 2,..., k] con α Q 0 k,n y k = 1, 2,..., mín{n, m}, se llaman menores iniciales por columnas de A, y los menores det A[1,..., k β] con β Q 0 k,m y k = 1, 2,..., mín{n, m}, se conocen como menores iniciales por filas de A. A partir de los Teoremas 1 y 2 y de la definición anterior damos una caracterización de las matrices rectangulares totalmente negativas (t.n.) en términos del signo de sus menores iniciales por filas y por columnas. Esta caracterización es análoga al resultado obtenido para matrices rectangulares STP en [8]. Teorema 3 Sea A R n m con a nm < 0 y n m. A es una matriz t.n. si y sólo si para cada k = 1, 2,..., n, las siguientes desigualdades se satisfacen: det A[α 1, 2,..., k] < 0, para todo α Q 0 k,n (1) det A[1, 2,..., k β] < 0, para todo β Q 0 k,m (2) Demostración: Si A es t.n. las desigualdades (1) y (2) se satisfacen. Recíprocamente, a partir de (1) obtenemos la factorización de rango completo en forma escalonada A = LDU, donde L R n n es una matriz triangular inferior unitaria, D = diag( d 1, d 2,..., d n ) con d i > 0, i = 1, 2,..., n y U R n m es una matriz escalonada superior con la submatriz U[1, 2,..., n] triangular superior unitaria. Por (1) se tiene que y de (2) det L[α 1, 2,..., k] > 0 para todo α Q 0 k,n, k = 1, 2,..., n det U[1, 2,..., k β] > 0 para todo β Q 0 k,m, k = 1, 2,..., n. Por [8, Teorema 4.1] L es una matriz triangular inferior unitaria STP y U es escalonada superior STP. Utilizando el Teorema 1, A es t.n. El siguiente resultado es la caracterización de las matrices rectangulares totalmente no positivas con rango completo por columnas, que permite reducir el número de menores que se deben comprobar para estudiar la no positividad de una matriz. El resultado equivalente para las matrices totalmente no negativas (TP) viene dado en [5]. Teorema 4 Sea A = (a ij ) R n r con rank(a) = r, a nr 0 y el resto de sus elementos menores que cero. Sea A 1 R r r la submatriz invertible de A formada por sus primeras r filas linealmente independiantes. Entonces, A es t.n.p. si y sólo si para cada k = 1, 2,..., r, las siguientes desigualdades se satisfacen: det A[α 1, 2,..., k] 0, para todo α Q k,n (3) det A 1 [1, 2,..., k β] 0, para todo β Q k,r (4) det A 1 [1, 2,..., k] < 0. (5) 3

4 R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano Demostración: Si A es t.n.p. la desigualdad (3) se satisface. Por otra parte, puesto que A 1 es una matriz t.n.p. invertible, (4) y (5) se obtienen a partir de [2]. Recíprocamente, por (3) para todo α Q k,r la siguiente desigualdad se satisface det A 1 [α 1, 2,..., k] 0. (6) Entonces, por (4), (5), (6) y [2, Teorema 4.1] tenemos que A 1 es una matriz t.n.p. invertible. Por tanto, A 1 admite una factorización A 1 = L A1 D A1 U A1, donde L A1 R r r es una una matriz TP triangular inferior unitaria, D A1 = diag( d 1, d 2,..., d r ) con d i > 0, i = 1, 2,..., r, y U A1 R r r es una matriz TP triangular superior unitaria. Puesto que A = F A 1, donde F R n r es una matriz escalonada inferior, se obtiene que A = F A 1 = F (L A1 D A1 U A1 ) = (F L A1 )D A1 U A1 = LDU, donde D = D A1, U = U A1 y L = F L A1 es una matriz escalonada inferior tal que det A[α 1, 2,..., k] = k d i det L[α 1, 2,..., k] 0 = L[α 1, 2,..., k] 0. i=1 Por [5, Proposición 2] L es TP y por [4] se concluye que A es t.n.p. Obsérvese que la matriz A 1 formada por las r primeras filas linealmente independientes de A son las r columnas con un 1 principal que se obtienen al calcular la forma escalonada de A T. 3. Una caracterización de las matrices t.n. y de las matrices t.n.p. invertibles a partir de su factorización QR En [9] los autores introducen los conceptos de lowerly TP (lowerly STP) y de γ-matriz (γ-matriz estricta) para matrices TP (STP) invertibles, los cuales permiten obtener una caracterización para este tipo de matrices a partir de su factorización QR. La extensión de esos conceptos y caracterizaciones a matrices TP singulares o rectangulares viene dada en [5]. En esta sección damos una caracterización similar para matrices t.n.p. (t.n.) invertibles utilizando para ello los conceptos de lowerly t.n.p. (lowerly t.n.) y quasi γ-matriz (quasi γ- matriz estricta), respectivamente. Representamos por I ( 1) a la matriz diag( 1, 1,..., 1). Definición 2 Una matriz invertible A R n n es lowerly t.n.p. (lowerly t.n.) si y sólo si A se descompone en la forma A = LDU, donde L R n n es triangular inferior unitaria, D = diag( d 1, d 2,..., d n ) con d i > 0, i = 1, 2,..., n, U R n n es triangular superior unitaria y LDI ( 1) es una matriz TP ( STP). Nótese que si LDI ( 1) es una matriz TP, entonces L y DI ( 1) = diag(d 1, d 2,..., d r ) son matrices TP. Las siguientes proposiciones dan una caracterización de las matrices lowerly t.n.p. y lowerly t.n., respectivamente. Proposición 1 Una matriz invertible A R n n es lowerly t.n.p. si y sólo si para cada k = 1, 2,..., n, se verifican las siguientes desigualdades: det A[α 1, 2,..., k] 0, para todo α Q k,n (7) det A[1, 2,..., k] < 0. (8) 4

5 Factorización de matrices totalmente no positivas y totalmente negativas Demostración: Por ser A lowerly t.n.p. obtenemos la factorización A = LDU donde, L R n n es triangular inferior unitaria, D = diag( d 1, d 2,..., d n ) con d i > 0, i = 1, 2,..., n, U R n n es triangular superior unitaria y LDI ( 1) es una matriz TP. Por tanto det A[1, 2,..., k] < 0, para todo k = 1, 2,..., n. Teniendo en cuenta que L es TP, por la identidad de Binet-Cauchy [1, Eq.(1.23)] obtenemos que para todo α Q k,n y k = 1, 2,..., n se cumple ( k ) det A[α 1, 2,..., k] = d i det L[α 1, 2,..., k] 0. i=1 Recíprocamente, por (8) A puede ser descompuesta, aplicando el método de eliminación de Gauss sin intercambio de filas, en la forma A = LDU, con L (U) triangular inferior (superior) unitaria y D = diag( d 1, d 2,..., d n ) con d i > 0, i = 1, 2,..., n. Por la identidad de Binet-Cauchy, para todo α Q k,n y k = 1, 2,..., n se verifica det ( LDI ( 1) ) [α 1, 2,..., k] = det A[α 1, 2,..., k] 0 Por [1] tenemos que LDI ( 1) es TP y, como consecuencia, A es lowerly t.n.p. Proposición 2 Una matriz invertible A R n n es lowerly t.n. si y sólo si para cada k = 1, 2,..., n, se verifica la siguiente desigualdad: det A[α 1, 2,..., k] < 0, para todo α Q 0 k,n (9) Demostración: La demostración es análoga a la anterior pero teniendo en cuenta la caracterización de matriz STP que podemos encontrar en [6], [7] ó [9], entre otros. Definición 3 Una matriz invertible A R n n se dice que es una quasi γ-matriz (quasi γ-matriz estricta) si es lowerly t.n.p. (lowerly t.n.) y en la factorización A = LDU, (DUI ( 1) ) 1 es TP ( STP). Ejemplo 1 La matriz es quasi γ-matriz porque, A = siendo LDI ( 1) = A = , / ( DUI( 1) ) 1 = = LDU 1 5/6 1/3 0 1/6 1/ /5 matrices TP triangular inferior y triangular superior, respectivamente. 5

6 R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano Nota 1 Una condición suficiente para que una matriz invertible A R 2 2 sea quasi γ- matriz es que A sea t.n.p. Dicha condición no es necesaria como podemos ver con la siguiente matriz, la cual es quasi γ-matriz pero no es t.n.p., A = [ ] = [ 1 0 1/2 1 ] [ ] [ Por otra parte, es fácil comprobar que si una matriz invertible A R n n, con n 3, es t.n.p. entonces no es una quasi γ-matriz. ] La siguiente proposición nos permite dar una caracterización de las quasi γ-matrices. Este resultado es similar al obtenido en [9, Proposición 4.6]. Proposición 3 Si A y (A T ) 1 son matrices lowerly t.n.p., entonces A es quasi γ-matriz. Demostración: Como A es lowerly t.n.p. tenemos que A = LDU, donde L R n n (U R n n ) es triangular inferior (superior) unitaria, D = diag( d 1, d 2,..., d n ) con d i > 0, i = 1, 2,..., n y LDI ( 1) es TP. Sólo nos queda probar que (DUI ( 1) ) 1 es TP. Como por hipótesis (A T ) 1 es lowerly t.n.p. se verifica que det(a T ) 1 [γ 1, 2,..., k] 0 para todo γ Q k,n y k = 1, 2,..., n. Por tanto, det ( (D T ) 1 (U T ) 1 I ( 1) ) [α 1, 2,..., k] = De donde obtenemos que = det ( (L T )(A T ) 1 ) I ( 1) [α 1, 2,..., k] = det L T ( [α γ] det (A T ) 1 ) I ( 1) [γ 1, 2,..., k] 0. γ Q k,n ( DUI( 1) ) 1 = I 1 ( 1) U 1 D 1 = ( (D T ) 1 (U T ) 1 I ( 1) ) T es una matriz TP triangular superior y, como consecuencia, A es quasi γ-matriz. Una caracterización análoga puede obtenerse para las quasi γ-matrices estrictas. Proposición 4 Si A y (A T ) 1 son matrices lowerly t.n., entonces A es quasi γ-matriz estricta. Los recíprocos de las Proposiciones 3 y 4 no son ciertos, en general, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 2 Las matrices A 1 = / / /7 y A 2 =

7 Factorización de matrices totalmente no positivas y totalmente negativas son quasi γ-matriz y quasi γ-matriz estricta, respectivamente. Obviamente A 1 y A 2 son lowerly t.n.p. y lowerly t.n., sin embargo, las matrices (A T 1 ) 1 = 0 5/14 11/ y (A T 2 ) 1 = no son lowerly t.n.p. ni lowerly t.n., respectivamente. 25/2 29/5 7/5 5 11/5 3/5 1 2/5 1/5 Nota 2 Si A es lowerly t.n.p. la condición necesaria y suficiente para que (A T ) 1 sea lowerly t.n.p. es que A verifique las siguientes desigualdades: det A[k, k + 1,..., n] > 0, para todo k = 2, 3,..., n ( 1) n k i=1 α i+((k+1+n)(n k)/2) det A[α 1, α 2,..., α n k k + 1, k + 2,..., n] 0, para k = 1, 2,..., n 1 y {α 1, α 2,..., α n k } Q n k,n Si A es lowerly t.n. la condición necesaria y suficiente para que (A T ) 1 sea lowerly t.n. es que A verifique para k = 1, 2,..., n 1 y {α 1, α 2,..., α n k } Q n k,n las siguientes desigualdades: ( 1) n k i=1 α i+((k+1+n)(n k)/2) det A[α 1, α 2,..., α n k k + 1, k + 2,..., n] > 0. A partir del concepto de quasi γ-matriz (quasi γ-matriz estricta) vamos a dar la siguiente caracterización para las matrices t.n.p. (t.n.) teniendo en cuenta su factorización QR. Teorema 5 Sea A = (a ij ) R n n una matriz invertible con a nn 0 y el resto de sus elementos negativos. Entonces, A es una matriz t.n.p si y sólo si existen dos quasi γ- matrices ortogonales Q 1 R n n y Q 2 R n n, y dos matrices TP triangulares superiores e invertibles R 1 R n n y R 2 R n n, tales que A = Q 1 R 1 y A T = Q 2 R 2. Demostración: Supongamos que A es t.n.p. Por ser A invertible sabemos que admite una única factorización Q 1 R 1, donde Q 1 R n n es una matriz ortogonal y R 2 R n n es triangular superior invertible, siendo el factor superior de Cholesky de A T A y por [5] TP. Por otra parte, como A es una matriz t.n.p. invertible, A verifica las desigualdades (7) y (8), y por la identidad de Binet-Cauchy tenemos que las matrices Q 1 y (Q T 1 ) 1 = Q 1 también las verifican. Por tanto, por la Proposición 3, Q 1 es quasi γ-matriz ortogonal. Razonando de manera análoga obtenemos el resultado para A T. Recíprocamente, supongamos que A = Q 1 R 1 y A T = Q 2 R 2. Como Q 1 es quasi γ- matriz es, por definición, lowerly t.n.p. y por la Proposición 1 verifica las desigualdades (7) y (8). De nuevo, por Binet-Cauchy tenemos que para todo k = 1, 2,..., n se verifica que det A[α 1, 2,..., k] 0, para todo α Q k,n (10) det A[1, 2,..., k] < 0. (11) 7

8 R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano Análogamente, Q 2 verifica las desigualdades (7) y (8) y, por tanto, para todo k = 1, 2,..., n tenemos que det A T [α 1, 2,..., k] 0, para todo α Q k,n (12) det A T [1, 2,..., k] < 0. (13) A partir de las desigualdades (10), (11) y (12) y de [2, Teorema 4.1] podemos afirmar que A es t.n.p. Teorema 6 Sea A R n n una matriz invertible con todos sus elementos negativos. Entonces, A es una matriz t.n. si y sólo si existen dos quasi γ-matrices estrictas y ortogonales Q 1 R n n y Q 2 R n n, y dos matrices triangulares superiores STP R 1 R n n y R 2 R n n, tales que A = Q 1 R 1 y A T = Q 2 R 2. Demostración: La demostración es análoga a la del teorema anterior pero teniendo en cuenta la Proposición 2 y [2, Remark 4.2]. Agradecimientos Trabajo financiado por el proyecto DGI MTM y por el proyecto de incentivación de la investigación de la Universidad Politécnica de Valencia. Referencias [1] T. Ando, Totally positive matrices, Linear Algebra Appl. 90 (1987), [2] R. Cantó, P. Koev, B. Ricarte, A. M. Urbano, LDU-factorization of Nonsingular Totally Nonpositive Matrices, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 30 n o 2 (2008), [3] R. Cantó, B. Ricarte, A. M. Urbano, Full rank factorization and Flanders Theorem, Submitted. [4] R. Cantó, B. Ricarte and A. M. Urbano, Full rank factorization in echelon form of totally nonpositive (negative) rectangular matrices, Submitted. [5] R. Cantó, B. Ricarte and A. M. Urbano, Characterizations of rectangular totally and strictly totally positive matrices, Submitted. [6] C. W. Cryer, The LU-factorization of Totally Positive Matrices, Linear Algebra Appl. 7 (1973), [7] S. M. Fallat, P. Van Den Driessche, On matrices with all minors negative, Electronic Journal of Linear Algebra 7 (2000), [8] M. Gasca, J. M. Peña, Total positivity and Neville elimination, Linear Algebra Appl. 44 (1992), [9] M. Gasca, J. M. Peña, Total positivity, QR factorization and Neville elimination, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 4 (1993), [10] M. Gasca, J. M. Peña, A test for strict sign-regularity, Linear Algebra Appl. 197/198 (1994),