Tema 5: Dinámica del punto II

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1 Tema 5: Dinámica del punto II FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1

2 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Oscilaciones

3 Leyes de Newton Lasa leyes de Newton de la Dinámica permiten calcular el movimiento de una partícula provocado por las interacciones que actúan sobre ella Ley de inercia Segunda ley Principio de acción y reacción Principio de superposición 3

4 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Oscilaciones 4

5 Dinámica de una partícula Conocidas las fuerzas, la Segunda Ley proporciona la ecuación diferencial del movimiento en un sistema de referencia inercial Elementos para resolver un problema de dinámica del punto Ecuación diferencial Ligaduras Condiciones iniciales A la inversa, conocida la aceleración y los vínculos, podemos determinar las fuerzas 5

6 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Oscilaciones 6

7 Trabajo mecánico: fuerza constante y movimiento unidireccional La fuerza realiza un trabajo sobre el cuerpo durante su movimiento B A El signo depende del sentido relativo si F dr no hay trabajo mecánico En el SI internacional la unidad base es el Julio 7

8 Trabajo mecánico: fuerza variable y trayectoria arbitraria Se divide el trayecto en segmentos infinitesimales Trabajo de la fuerza sobre la partícula cuando esta se desplaza un dr (t) Z O Y X En un recorrido finito el trabajo total es la suma de los trabajos infinitesimales Z A X O B Y 8

9 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Oscilaciones 9

10 Energía cinética Teniendo en cuenta la definición de velocidad y la Segunda Ley de Newton Puede interpretarse diciendo que, al realizar trabajo sobre la partícula, la fuerza le transfiere la cantidad d(mv/) en el trayecto dr 10

11 Energía cinética Definición Es un escalar Está relacionada con la capacidad de la partícula de realizar trabajo Se mide en Julios Depende de las propiedades de la partícula: masa y velocidad Combina la inercia (m) con la cinemática (v) No es igual que caiga en el pie una pluma que una bola de plomo, aunque tengan la misma velocidad 11

12 Energía cinética: relación con el trabajo Trabajo total de una fuerza sobre una partícula en el trayecto A - B B A Teorema de las fuerzas vivas o de la energía cinética Versión finita Versión local El trabajo modifica el valor de la energía cinética de la partícula Es válido para cualquier tipo de fuerza Si hay varias fuerzas actuando 1

13 Potencia Potencia instantánea Mide la tasa con la que se realiza trabajo Se mide en Watios Potencia transferida por una fuerza sobre una partícula en movimiento Versión instantánea del teorema de las fuerzas vivas 13

14 Conservación de la energía cinética Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o perpendicular a su trayectoria, su energía cinética se conserva constante a lo largo del tiempo Ejemplos Partícula libre Movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra Movimiento de la Tierra respecto al Sol (considerando la órbita circular) Movimiento de una carga eléctrica en el seno de un campo magnético 14

15 Energía potencial Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un punto material que se desplaza entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida B 1 A La diferencia de energía potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por la fuerza conservativa cuando la partícula se mueve entre esos dos puntos, cambiando el signo El origen de la energía potencial es arbitrario 15

16 Energía potencial gravitatoria Fuerza gravitatoria cerca de la superficie B Trabajo realizado por Fg en un desplazamiento Z 1 z A infinitesimal Diferencia de energía potencial entre dos puntos Energía potencial gravitatoria (con una referencia arbitraria en z=0) 16

17 Energía potencial de un muelle ideal Fuerza del muelle Trabajo realizado por Fk en un O P desplazamiento infinitesimal Energía potencial elástica (con referencia de potencial en l0) 17

18 Energía mecánica Se define como la suma de la energía cinética y la energía potencial total (una energía potencial por cada fuerza conservativa) Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre una partícula son conservativas su energía mecánica se conserva Demostración Si hay fuerzas no conservativas el trabajo que realizan varía la energía mecánica 18

19 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Oscilaciones 19

20 Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es el producto de su masa por su velocidad [p] = kg m s-1 Teorema de la cantidad de movimiento Es un enunciado alternativo de la Segunda Ley de Newton Impulso mecánico (Teorema de la cantidad de movimiento en forma elemental y finita) Es útil cuando la partícula sufre una fuerza en un intervalo de tiempo pequeño 0

21 Conservación de la cantidad de movimiento Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula se conserva su cantidad de movimiento Demostración Si la dirección de la fuerza es constante, se conserva la cantidad de movimiento en las direcciones perpendiculares a la fuerza Ejemplo Z X 1

22 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Oscilaciones

23 Momento cinético El momento cinético de un punto material respecto a un punto O es el producto vectorial [L] = kg m s-1 O P Teorema del momento cinético 3

24 Conservación del momento cinético Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o es central con centro en un punto fijo O, su momento cinético respecto a O es constante Demostración Si el momento de la fuerza es perpendicular a un vector n, se conserva la proyección del momento cinético sobre n Ejemplo: en el movimiento central se conserva el momento cinético O P En este caso 4

25 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Oscilaciones 5

26 Oscilaciones Movimiento periódico: la posición, velocidad y aceleración del cuerpo se repiten cada cierto intervalo de tiempo Ejemplos Barca en el mar Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido Voltaje e intensidad en circuitos de corriente alterna En general cualquier objeto desplazado ligeramente de una posición de equilibrio realiza un movimiento periódico 6

27 Dinámica del MAS Cuerpo unido a un muelle Constante del muelle k Fuerza restauradora proporcional al desplazamiento Segunda Ley de Newton en una dimensión Ecuación diferencial del MAS Si la ecuación de un movimiento tiene esa forma, es un MAS 7

28 Representación matemática del MAS Problema Ecuación diferencial Condiciones iniciales Solución general Forma 1 Forma Relación 8

29 Representación matemática del MAS Significado físico de las constantes A es la amplitud es la frecuencia angular es la constante de fase La constante de fase indica cuando comienza la función 9

30 Período y frecuencia Período: es el tiempo necesario para completar una oscilación [T] = s Frecuencia: número de oscilaciones por T segundo [f] = Hz = s-1 T Frecuencia angular 30

31 Ejemplos: muelle vertical Muelle de longitud natural Una masa colgando en equilibrio Se tira de la masa y se suelta MAS Problema de movimiento Solución La frecuencia no depende de la amplitud ni de la velocidad inicial 31

32 Aplicaciones del muelle El hecho de que la frecuencia no dependa de la amplitud ni la velocidad inicial tiene aplicaciones interesantes Medida de masas a partir del período de oscilación El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa en el segundo viaje del Skylab (1973) En los instrumentos musicales la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda o se apriete la tecla de un piano 3

33 Condiciones iniciales Aplicación de las condiciones iniciales x Representación gráfica A0 x t A0 33

34 Velocidad y aceleración Posición A T T 3T Amplitud máxima: -A Velocidad Aω Velocidad máxima: T T 3T Desfase de / con la posición -Aω Aceleración Aω Aceleración máxima: T -Aω T 3T Desfase de / con la velocidad Desfase de con la posición 34

35 Velocidad y aceleración A x T T 3T x -A Aω T T 3T x -Aω x Aω T T 3T x -Aω 35

36 Energía mecánica: muelle Despreciando el rozamiento la energía mecánica es constante No depende de la masa La energía se trasvasa E= Ec 1 ka continuamente de cinética a potencial y viceversa 36

37 Energía mecánica: muelle E= Ec 1 ka x E= Ec E= Ec 1 ka 1 ka x E= Ec E= Ec x 1 ka 1 ka x x 37

38 Energía mecánica: muelle E= Ec 1 ka x E= Ec E= Ec 1 ka 1 ka x E= Ec E= Ec x 1 ka 1 ka x x 38

39 Energía: energía mecánica del muelle Despreciando el rozamiento la energía mecánica es constante Posición y velocidad Energía cinética: Energía potencial: Energía mecánica 39

40 Resumen Introducción Leyes de Newton Trabajo mecánico dw = F dr Energía Energía cinética: conservación Energía potencial Energía mecánica: conservación Cantidad de movimiento Impulso mecánico Conservación Momento cinético Conservación 40

41 Resumen Oscilaciones Amplitud, período frecuencia Posición, velocidad y aceleración Energía 41

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