La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural.

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1 L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se se que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo n = se tiene un situción muy especil. En este cso l función en el integrndo es f() = /, l cul no est definid en = 0. Sin emrgo, est función es continu en (0, ), y, cundo 0 < <, l integrl, represent el áre jo l curv y = / en el intervlo [, ]. Un propiedd muy importnte de est integrl es que pr culquier número rel q > 0, q. q Antes de vnzr más, puede ser conveniente consultr en l yud en líne de Mthemtic l func su uso con integrles definids e indefinids. El símolo de integrl se introduce usndo l plette. Por ejemplo, pr = y = 2 se otiene: In[]:= 2.0 y con q = 3, se otiene: In[2]:= Lo nterior se puede interpretr geométricmente de l siguiente mner: El áre jo l curv y = / en el intevlo [, 2] es igul l áre jo l mism curv en el intervlo [3, 6]. L siguiente gráfic ilustr est situción: In[3]:= Grphics FilledPLot

2 35 funcionlogritmo.n In[4]:= Show FilledPlot,,, 2, DisplyFunction Identity, Plot,, 0., 7, DisplyFunction Identity, FilledPlot,, 3, 6, DisplyFunction Identity, Grphics Tet "y ", 4, 0.5, AesOrigin 0, 0, PlotRnge 0,.5, AesLel "", "y", PlotLel " Ls áres son igules", Se dee insistir en que el número q es culquier número positivo, rcionl o irrcionl. Por ejemplo con q = 2, se otiene: In[5]:= Este el mismo vlor que se otuvo en los dos csos nteriores. L propiedd justmente vist tiene implicciones muy importntes. Pr ver ests implicciones, hágse = y vrile e igul pr definir l siguiente función: In[6]:= F _ :.0 t t; Osérvese que se h cmido el nomre de l vrile de integrción de t, y que hor se h usdo l vrile en el límite superior de l integrl. Est es un función ien definid pr en (0, ). Evlundo en, por ejemplo, = 2 y = 3, se otiene: In[7]:= F 2 In[8]:= F 3 L función sí definid es precismente l función logritmo nturl. Pr verificr esto se hce uso de l función logritmo nturl definid en Mthemtic: Log z proporcion el logritmo nturl de z logritmo de se e. Log, z proporcion el logritmo de se de z. Ver el liro de Mthemtic : Section..3 y Section Si se evlu l función logritmo nturl en = 2 y = 3, se otiene: In[9]:= Log 2.0 In[0]:= Log 3.0 Estos son los mismos resultdos que los otenidos con l función integrl F() que se definió rri. De hecho, si se us l instrucción Epnd sore l función F() se otiene: In[]:= Epnd F Esto indic que F() y l función logritmo nturl coinciden y son l mism función. Así que Log() represent el áre jo l curv y = /t en el intervlo [, ]. Es decir Log.0 t t. Por ejemplo, Log(3) represent el áre jo l curv y = /t en el intervlo [, 3]. En l siguiente figur se muestr el áre correspondiente:

3 funcionlogritmo.n 36 In[2]:= Show FilledPlot,,, 3, DisplyFunction Identity, Plot,, 0., 4, DisplyFunction Identity, Grphics Tet "y t", 2, 0.7, AesOrigin 0, 0, PlotRnge 0,.5, AesLel "t", "y", PlotLel " Log 3 áre somred", Propieddes de l función logrtimo nturl Ahor se estudirán ls importntes consecuencis de l propiedd q t t t t, q con, y q números reles positivos. Un de ells es que pr > 0 y y > 0, se tiene: ddo que y y y Log y t t t t t t t t t t Log Log y, y y t t t t. Vmos verificr est propiedd con Mthemtic.Por ejemplo: In[3]:= Log Por otro ldo: In[4]:= Log 2.0 Log 2 L propiedd nterior es l propiedd más importnte de los logritmos, y puede interpretrse geométricmente de l siguiente form: El áre jo l curv y = /t en el intervlo [, y] es numéri cmente igul l sum de ls áres jo l mism curv en los intervlos [, ] y [, y]. Ls demás propieddes de los logritmos son consecuenci de l propiedd nterior. Por ejemplo pr cul quier > 0 lo cul implic que 0 Log Log Log Log, Log Log. Est identidd se puede interpretr como sigue: si > ( < ), entonces el áre jo l curv y = /t en el intervlo [, ] ([, ]) es igul, pero de signo contrrio, l áre jo l mism curv en el intervlo [/, ] ([, /]). Por ejemplo, con = 3 otenemos

4 37 funcionlogritmo.n In[5]:= In[6]:= Log.0 3 Log 3.0 Es decir, el áre jo l curv y = /t en el intervlo [/3, ] es igul l áre jo l mism curv en el intervlo [, 3]. Ls áres correpondientes se diujn continución seprds por un segmento verticl: In[7]:= Show FilledPlot,, 3,, DisplyFunction Identity, FilledPlot,,, 3, DisplyFunction Identity, Plot,, 0., 4, DisplyFunction Identity, Grphics Tet "y t",.755,., Grphics Line, 0,,, AesOrigin 0, 0, PlotRnge 0, 4, AesLel "t", "y", PlotLel " Log 3 Log 3 ", Con ls dos propieddes nteriores podemos deducir l ley de cocientes de los logritmos: Log(/y) = Log() + Log(/y) = Log() Log(y), que puede interpretrse en términos de áres en l siguiente form: Si > y y >, entonces el áre jo l curv y = /t en el intervlo [, /y] es numéricmente igul l diferenci de ls áres jo l mism curv en los intervlos [,] y [/y, ]. Por ejemplo con = 2, y = 3, otenemos: In[8]:= Log In[9]:= Log 2.0 Log 3.0 Por lo tnto, l diferenci de ls áres jo l curv y = / en los intervlos [, 3] y [/3, ] es proimdmente. El vlor negtivo de l diferenci indic que el áre jo l curv en el intervlo [/3, ] es myor que el áre jo l curv en el intervlo [, 2]. Ls regiones correspon dientes se diujn continución seprds por un line verticl: In[20]:= Show FilledPlot,, 3,, DisplyFunction Identity, FilledPlot,,, 2, DisplyFunction Identity, Plot,, 0., 3, DisplyFunction Identity, Grphics Tet "y t",.5,.2, Grphics Line, 0,,, AesOrigin 0, 0, PlotRnge 0, 4, AesLel "t", "y", PlotLel " Log 2 3 Log 2 Log 3 ", Gráfic de l función logritmo nturl. L gráfic de l función logritmo nturl se muestr continución: In[2]:= In[22]:= glog Plot Log,, 0.35, 7.39, PlotRnge 2, 2, AspectRtio, AesLel "", "y", DisplyFunction Identity Show glog, Grphics Tet "y Log ", 4, 2,

5 funcionlogritmo.n 38 Osérvese que l gráfic es creciente y cóncv. De los cursos de cálculo, se se que si l derivd de un función es myor que cero en todo su dominio, entonces l función es creciente. Asímismo, si l segund derivd de l función es negtiv en todo su dominio, entonces su gráfic es cóncv. Vemos que este es el cso pr l función logritmo nturl: In[23]:= Log que es myor que cero pr todo > 0. In[24]:= Log que es clrmente menor que cero. Por otro ldo, el límite cundo tiende cero por l derech es: In[25]:= Limit Log, 0, Direction Esto indic que l función logritmo nturl tiene l síntot verticl = 0 (el eje y). De cuerdo con ls oservciones nteriores, l función Log:(0, ) (, ) es creciente y cóncv siendo, demás, un función y sore. Deido ls últims dos propieddes, eiste su función invers. L función invers de l función logritmo nturl se denomin función eponencil. Derivds implícits Encontrr dy/d de 2 y y y 2 6. Primero derivmos mos ldos de l ecución In[]:= In[2]:= D 2 y y 4 6, D 8 y 2 6, y luego resolvemos pr y [] In[3]:= Solve 6 2 y 2 y 4 y 3 y 6 y y, y Por supuesto que todo el procedimiento se puede otener en un solo pso In[6]:= Solve D 2 y y 4 6, D 8 y 2 6,, y Encontrr l derivd dy d de y 2 ln y In[7]:= Solve D y 2 Log y 4 3, 0, y

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