EJERCICIOS UNIDADES 3 y 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES

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1 IES Padre Poveda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES y : INTEGRACIÓN DE FUNCIONES (5-M-A-) (5 puntos) Calcula el valor de a > sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y + a y la recta y es (5-M-B-) Sea f la función definida por ( ) ( ) primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, ln( ) ) + f para y y sea F la P ( ln denota logaritmo neperiano) a) (5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de F en el punto P b) ( puntos) Determina la función F ln (5-M-A-) Sea f la función definida por f ( ) para > (ln denota la función logaritmo neperiano) y sea F la primitiva de f tal que F ( ) a) (5 puntos) Calcula F ( e) b) ( puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa e (5-M5-A-) (5 puntos) Calcula d + (Sugerencia: + t ) ( ) 5 (-M;Jun-A-) Sean f : R R y g : R R las funciones definidas respectivamente por f ( ) y g( ) + a) ( punto) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas b) (5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g f para > (ln denota el logaritmo neperiano) Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,) 6 (-M;Jun-B-) (5 puntos) Sea f la función definida por ( ) ln ( +) 7 (-M-A-) (5 puntos) Calcula ln( ) ( ) d (ln denota el logaritmo neperiano) 8 (-M-A-) (5 puntos) Determina una función derivable f : R R sabiendo que si < f () y que f ( ) e si 9 (-M-B-) Considera el recinto limitado por las siguientes curvas y, y, y a) ( punto) Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas b) (5 puntos) Calcula el área del recinto (-M;Sept-A-) (5 puntos) Calcula d π (-M;Sept-B-) (5 puntos) Calcula cos d (Sugerencia: integración por partes) (-M5-A-) Sea : R R f la función definida por f ( ) + Unidades y : Integración de Funciones

2 IES Padre Poveda (Guadi) a) (75 puntos) Halla, si eiste, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es y b) (75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta del apartado anterior (-M5-B-) (5 puntos) Sea f : (, ) R la función definida por f ( ) Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,) (-M6-A-) (5 puntos) Calcula d + ( ) (Sugerencia: cambio de variable 5 (-M-A-) Sean f y g las funciones definidas por f ( ) y ( ) a) (5 puntos) Calcula los puntos de corte entre las gráficas de f y g b) (5 puntos) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes c) (5 puntos) Halla el área del recinto limitado por las gráficas de f y g e 6 (-M-B-) (5 puntos) Calcula d + e Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t e + 9 ( + )( ) t ) g para + 7 (-M;Sept-B-) Sea g : R R la función definida por g ( ) a) (75 puntos) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en el punto de abscisa b) (75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta y + Calcula el área de este recinto π 8 (-M-B-) (5 puntos) Calcula sen( ) + 9 (-M-A-) (5 puntos) Halla d + d Sugerencia: cambio de variable t (-M-B-) Sea g : (, + ) R la función definida por g( ) ln( ) (donde ln denota el logaritmo neperiano) a) (5 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta y Calcula los puntos de corte entre ellas b) (5 puntos) Calcula el área del recinto anterior (-M5-A-) (5 puntos) De la función f : R R definida por f ( ) a + b + c + d se sabe que alcanza un máimo relativo en, que la gráfica tiene un punto de infleión en 5 (, ) y que f ( ) d Calcula a, b, c y d (-M6;Jun-A-) Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f ( ) ( ) y ( ) + g a) (5 puntos) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas b) (5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g Unidades y : Integración de Funciones

3 IES Padre Poveda (Guadi) (-M6;Jun-B-) (5 puntos) Sea : R R g ln + (donde ln denota el logaritmo neperiano) Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas g la función definida por ( ) ( ) f las funciones definidas por f ( ) sen ( ) y g( ) cos( ) (-M-A-) Sean, g : R R respectivamente π a) (75 puntos) Realiza un esbozo de las gráficas de f y g en el intervalo, b) (75 puntos) Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las π rectas y 5 (-M-A-) Sea f : R R la función definida por f ( ) a) (75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa b) (75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y, determinando los puntos de corte de ambas gráficas c) ( punto) Calcula el área del recinto anterior 6 (-M-B-) Sean, g : R R ( ) + g respectivamente f las funciones definidas por f ( ) y a) (75 puntos) Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan b) (75 puntos) Calcula el área de dicho recinto 7 (-M;Jun-A-) Sea I d + a) (75 puntos) Epresa la integral I aplicando el cambio de variable t b) (75 puntos) Calcula el valor de I 9 8 (-M;Jun-B-) Sea f : R R la función definida por f ( ) a) (75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa b) (75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta + y 5 y el eje de abscisas Calcula el área de dicho recinto 9 (-M;Sept-A-) Sea f una función continua en el intervalo [, ] primitiva de f tal que F ( ) y F ( ) Calcula: a) (75 puntos) f ( ) d b) (75 puntos) ( f ( ) 7) 5 d c) ( punto) ( ( ) ) F f ( ) (-M;Sept-B-) Sea la función f definida por ( ) d y F una función f para y a) (5 puntos) Halla una primitiva de f b) (5 puntos) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo [, k] sea ln ( ), donde ln denota el logaritmo neperiano Unidades y : Integración de Funciones

4 IES Padre Poveda (Guadi) (-M5-A-) Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y, y 8 y la curva y a) (5 puntos) Realiza un esbozo de dicho recinto b) ( puntos) Calcula su área (-M5-B-) (5 puntos) Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f : (, + ) R definida por f ( ) a + bln( ), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un etremo relativo en y que f d 7 8ln ( ) ( ) (-M6-A-) (5 puntos) Sea la función : R R Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,) (-M6-B-) Sean las funciones : R R ( ) g respectivamente f definida por f ( ) ( ) e f y g :[, + ) R definidas por ( ) f y a) (75 puntos) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g Realiza un esbozo del recinto que limitan b) (75 puntos) Calcula el área de dicho recinto 5 (-M-A-) (5 puntos) Calcula el valor de b >, sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva 6 (-M;Sept-B-) Sean, g :R R g ( ) y y la recta y b es de unidades cuadradas f las funciones definidas por ( ) + f y a) (75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa b) (75 puntos) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y + 5 Calcula el área de este recinto 7 (-M-A-) Sean f :R R y g :R R las funciones definidas por ( ) y g ( ) f a) ( punto) Esboza las gráficas de f y g Determina sus puntos de corte b) (5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g 8 (-M-B-) Dada la función f :R R definida por f ( ) + a) (5 puntos) Prueba que las rectas y + e y son tangentes a su gráfica b) ( puntos) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior 9 (-M5-A-) (5 puntos) Determina la función f : (, + ) R tal que f ( ) gráfica tiene tangente horizontal en el punto P (, ) (-M6;Jun-A-) Sea f : (, + ) R la función definida por f ( ) ln ( +) y su, donde ln denota la función logaritmo neperiano a) (75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje OY y la recta y Calcula los puntos de corte de las gráficas b) (75 puntos) Halla el área del recinto anterior Unidades y : Integración de Funciones

5 IES Padre Poveda (Guadi) (-M6;Jun-B-) (5 puntos) Halla: e + ( e )( e ) Sugerencia: efectúa el cambio de variable t e d (-M;Jun-A-) (5 puntos) Calcula sen( ) d π Sugerencia: Efectúa el cambio t (-M-B-) Considera la función f : R R definida por f ( ) a) ( punto) Esboza su gráfica b) (5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta de ecuación (-M-B-) Dada la función f : (, + ) R definida por ( ) ln, f donde ln es la función logaritmo neperiano, se pide: a) (75 puntos) Comprueba que la recta de ecuación y e + + e es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa e b) (75 puntos) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a) 5 (-M6-B-) Sean f, g : R R las funciones definidas por f ( ) + y g ( ) + a) ( punto) Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte b) (5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas 6 (9-M-B-) La recta tangente a la gráfica de la función f : R R, definida por f ( ) m + n, en el punto (, 6), es paralela a la recta de ecuación y a) (5 puntos) Determina las constantes m y n Halla la ecuación de dicha recta tangente b) (5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas 7 (9-M;Sept-B-) (5 puntos) Sea f la función definida por f ( ) primitiva F de f que cumple F ( ) (Sugerencia: utiliza el cambio de variable Halla la 9 t ) 8 (9-M;Jun-B-) Considera la curva de ecuación y a) (5 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa b) ( puntos) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y 9 (9-M-A-) Sea f : (, + ) R la función definida por f ( ) + ln( ), siendo ln la función logaritmo neperiano a) ( punto) Comprueba que la recta de ecuación y + es la recta tangente a la e gráfica de f en el punto de abscisa e b) (5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado a) 5 Unidades y : Integración de Funciones

6 IES Padre Poveda (Guadi) 5 (9-M5-B-) Las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : (, + ) R definida por f ( ) + ln( ) y a la de sus derivada f : (, + ) R (ln denota logaritmo neperiano) a) (5 puntos) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f b) ( puntos) Calcula el área de la región sombreada 5 (9-M6-B-) (5 puntos) Calcula un número positivo a, menor que, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación 8 un área de unidades cuadradas y y las dos rectas de ecuaciones y e y a, tenga 5 (8-M-A-) (5 puntos) Dadas las funciones f : [,+ ) R y :[,+ ) R por f ( ) y ( ) g definidas g Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g 5 (8-M-A-) Sean f : R R y g :R R las funciones definidas por ( ) y g ( ) 6 f a) (75 puntos) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g b) (75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas 5 (7-M;Sept-B-) (5 puntos) Determina una función f :R R sabiendo que su derivada viene dada por f ( ) + 6 y que el valor que alcanza f en su punto de máimo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo) 55 (7-M-A-) Considera las funciones f : R R y g : R R definidas por f ( ) e y g( ) e a) (5 puntos) Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte b) (5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g 56 (7-M6-A-) (5 puntos) Calcula β > para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f : R R y g : R R definidas por f ( ) y g ( ) + β sea 7 (unidades de área) 57 (6-M;Sept-B-) (5 puntos) Halla la función f : R R sabiendo que f ( ) 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa tiene de ecuación y 7 58 (6-M;Jun-A-) Sea I d + a) (5 puntos) Epresa I aplicando el cambio de variable t + b) (5 puntos) Calcula el valor de I 59 (6-M;Jun-B-) (5 puntos) El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y a e y a, con a >, vale Calcula el valor de a 6 (6-M-A-a) (5 puntos) Sea : R R valores de a y b sabiendo que ( ) d 6 de la función f en el punto de abscisa vale 6 f la función dada por f ( ) a + b Halla los f y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica 6 Unidades y : Integración de Funciones

7 IES Padre Poveda (Guadi) 6 (6-M-B-) (5 puntos) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f sen y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisas y π ( ) 6 (5-M;Jun-A-) Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : R R definida por f ( ) e y a su función derivada f a) ( punto) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f b) (5 puntos) Calcula el área de la región sombreada 6 (5-M-B-) Se sabe que la función f : [,+ ) R definida por f ( ) es continua en [,+ ) a) (5 puntos) Halla el valor de a f d b) ( puntos) Calcula ( ) a si 8 si > 8 6 (5-M5-A-) Se sabe que la gráfica de la función f :R R definida por f ( ) + a + b+ c es la que aparece en el dibujo a) (5 puntos) Determina f b) (5 puntos) Calcula el área de la región sombreada 65 (-M;Sept-A-) (5 puntos) Halla el área de la superficie sombreada 66 (-M;Sept-B-) (5 puntos) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y y por las curvas y e y 67 (-M-B-) (5 puntos) En la figura adjunta, la gráfica puedes ver representada en el intervalo [ ] de la parábola de ecuación y Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales 7 Unidades y : Integración de Funciones

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