( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1

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1 .8 CRITERIOS DE COVERGECIA PARA SERIES (.8_CvR_T_6, Revisió: -9-6, C8, C9, C).8.. ITRODUCCIÓ. Forma geeral de ua serie: S = = a = a + a + a a Suma de térmios. Si es fiito, la suma (S ) tambié es fiita. Problema fudametal: Qué asa cuado? Si S tiee u valor fiito cuado, se dice que la serie coverge. Cosideremos S = a = + a + a a = Forma cerrada: S = a = a + a = a a + a = Para : S = a = a, a < = Prueba fudametal de covergecia: Ua serie coverge a S si: Serie geométrica S S < ε, ara > (ε) TEOREMA DE COVERGECIA DE CAUCHY S suma de térmios, ε úmero ositivo arbitrariamete equeño Para la serie geométrica: S S = a a + a + a < ε a + (ε) a < ε a + < ε( a) = ( ) L(a) L ε( a) > (ε) = Lε( a) L(a) Siemre que a < odemos ecotrar u valor de que satisfaga este criterio y la serie coverge..8.. PRUEBAS DE COVERGECIA. Utilicemos la serie geérica dada or: S = a = 55

2 Prueba de comaració. Dada ua serie covergete co térmios b, a coverge si a b,. Si la serie co térmios b diverge y a > b, etoces a tambié diverge. Si embargo, si b coverge y a > b, esta rueba o determia si a es divergete; similarmete, si b diverge y a < b, a uede o o ser divergete. Ejemlo : = = térmios térmios 8 térmios Podemos acotar cada suma arcial otado que: + 9 < + = < 6 = < < 8 6 = = = = 8 < es covergete = Ejemlo : = Comarada co: = Serie divergete = 3 + > = > 8 = > > la serie diverge = = = SERIE GEOMETRICA Prueba de la razó. a+ La serie geérica coverge si: r = lim < a Si r> la serie diverge, y si r = el criterio o es suficiete ara decidir; si embargo, si ara r = odemos demostrar que: a + : r r > a r < r = 56 covergete divergete la rueba o decide

3 Ejemlos: a) = lim = lim = < la serie es covergete r 3 + = b) = r = lim = el criterio o decide + c) Serie-: = = ζ() = FUCIO ZETA DE RIEMA a + r = lim = lim lim = + = o hay decisió. a ( ) + Eadiedo e ua serie de Taylor e = ( + ) = f () + f () + f () +... = + ( )!! +... ( + ) = ( ) +! +... d) = cos cos < a < a = O Prueba de la itegral. > serie covergete < serie divergete = o hay decisió = la serie es covergete or comaració co ua serie (=). f () co f dismiuyedo mootóicamete coverge o diverge si f ( ) d coverge o diverge cuado L. L 57

4 f Área de rectágulos f () < lim L L f ()d si f ()d coverge serie coverge f 3, f ( ) d > f ( ) d Si f ()d o coverge la serie o coverge 3, Ejemlos: L d a) diverge ues lim lim L( L) L = L b) coverge ues L d lim lim L = L L Otros ejemlos: cos Cosideremos la serie =. ótese que: ótese que es irrelevate el límite iferior de la itegral, lo que imorta es el límite cuado L cos cos <, a = < < Podemos establecer etoces que: = =, m= a <, m m m a = a + a < y es ua serie- covergete. m m = m= cos = coverge. 58

5 Series-. La forma geeral de la serie es: de la itegral obteemos:. Aalizado la covergecia mediate la rueba L d L lim lim, L =. E este caso: si > y diverge si <. L L d lim lim L ( L), L = = L coverge si >, y diverge si. Podemos tambié aalizar el orde de los térmios de la serie. Por ejemlo, si cosideramos: f( ) = cuado Co la rueba de la itegral lim L d, odemos ver que la serie es covergete. L Similarmete: f () = e + < + <. E este caso odemos cosiderar: lim L d y la serie L es covergete. Series co sigos alterates. Si: (i) a cuado (ii) os sigos de a altera etre ( iii) a + a la serie coverge. Co esto odemos ver que: a = es ua serie covergete. 3 Similarmete, se uede ver que L( + ) = + es covergete l COVERGECIA ABSOLUTA/ CODICIOADA. Ua serie co térmios alterates coverge absolutamete si: 59

6 La serie co valores absolutos coverge; si la serie o coverge absolutamete ero la serie co térmios alterates coverge, etoces coverge codicioalmete. Ejemlo: ( ) + a) coverge codicioalmete ues b) ( ) + coverge absolutamete ues diverge. ( ) + = coverge. ótese que si ua serie coverge absolutamete serie alterate es covergete..8.. SERIES DE POTECIA. a ; aquí queremos saber ara que valores de hay covergecia (si = covergecia). Utilizamos el criterio de la razó. + a+ a+ r = lim = lim < a a si + a < lim etoces teemos covergecia y a a R = lim es el radio de covergecia a + olo R Itervalo de covergecia Cosideremos e = coverge ara! < R= lim! ( + )! = lim + =, R =. Covergecia ara < o < < = coverge ara < R = lim = < < (olo e = ) + = +... coverge ara < (olo e = -) 6

7 + = +... coverge ara < < olos e ±i Series como f()= se o coverge uiformemete ie s = a coverge a S si s s < ε > (ε) = hay covergecia uiforme. Si = ( ε, ) e el caso de series de otecias si (ε ) o hay covergecia uiforme. Se uede decir que se y etoces: f () f () coverge ues Pero covergecia o es uiforme y o se uede derivar térmio a térmio. coverge Series de: se, cos, seh, cosh, coverge ara toda deomiador). < (debido al factorial e el Igualdad de series. Cosideramos f () = a g() = b Si f ( ) g( ) a = b Cotradictoria a a+b = c+d a=c, b=d 5+ = 3+6 E el caso de las series teemos u úmero ifiito de sumados ero or otro lado si R> odemos geerar u úmero ifiito de igualdades f( ) = g( ) ; f( ) = g( )... ues ua líea cotiee u úmero ifiito de utos. Co el úmero ifiito de ecuacioes a = b a es el coeficiete geerado de la serie de Taylor a = f () ()! Difereciació e itegració de series. Detro del radio de covergecia se uede derivar e itegrar la serie térmio a térmio, siemre y cuado haya covergecia uiforme. Cosideremos los siguietes ejemlos: 3 5 se se = ! 5! 6

8 d d se = d d 3 3! + 5 5!... =! +... cos! se u u udu = u +... du = u u + u... = ! 5!!! 6!!! 6! du = ta = + u du = + u ( u + u u u ) du = cos + cost. de itegració ta = π ta = = π = e 9 se calculó π co, decimales u du = l( + ) = ( u + u u )du 3 l( + ) = Comosició de fucioes: Cosideremos e La easió e = icluye e =, d d e =,... E vez de calcular la serie de Taylor utilizamos lo que ya sabemos de e = e = L 3 ( ) + ( ) + (...) 3 = = = f() = se(cos) = se! +!

9 utilizamos se(a + B) = seacos B + cos AseB f () = secos! +! cosse! +! 3 se..... cos = = se cos + cos se Idetidades: cosideremos se + cos = se = + ( 3 ) se + cos = + ( 3 ) cos = + ( ) ( ) + = / = + ( + ( ) ( ) + ( ) + () + ( ) ) ( ) 63

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