SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

Transcripción

1 de SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sergio Stive Solano Septiembre de 2012

2 de SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sergio Stive Solano Septiembre de 2012

3 de Una serie de potencia es aquella que tiene la forma c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + Donde x es una variable y las c n son constantes llamados coeficientes de la serie. Una serie de puede convergir para ciertos valores de x y divergir ante otros. La suma de la serie es una función f(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n +

4 de Una serie de potencia es aquella que tiene la forma c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + Donde x es una variable y las c n son constantes llamados coeficientes de la serie. Una serie de puede convergir para ciertos valores de x y divergir ante otros. La suma de la serie es una función f(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n +

5 de Una serie de potencia es aquella que tiene la forma c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + Donde x es una variable y las c n son constantes llamados coeficientes de la serie. Una serie de puede convergir para ciertos valores de x y divergir ante otros. La suma de la serie es una función f(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n +

6 de Ejemplo 1.1 La serie x n = 1 + x + x 2 + x x n + converge cuando x < 1 y diverge cuando x 1. Ejemplo 1.2 Para qué valores de x la serie n=1 (x 3) n n?. Una serie de la forma c n (x a) n = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + se llama serie de en (x a), o una serie de centrada en a, o serie de sobre a.

7 de Ejemplo 1.1 La serie x n = 1 + x + x 2 + x x n + converge cuando x < 1 y diverge cuando x 1. Ejemplo 1.2 Para qué valores de x la serie n=1 (x 3) n n?. Una serie de la forma c n (x a) n = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + se llama serie de en (x a), o una serie de centrada en a, o serie de sobre a.

8 de Ejemplo 1.1 La serie x n = 1 + x + x 2 + x x n + converge cuando x < 1 y diverge cuando x 1. Ejemplo 1.2 Para qué valores de x la serie n=1 (x 3) n n?. Una serie de la forma c n (x a) n = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + se llama serie de en (x a), o una serie de centrada en a, o serie de sobre a.

9 de de De la serie geométrica con a = 1 y r = x, se tiene que 1 1 x = 1 + x + x2 + x x n + = x n x < 1 Es decir, la serie x n expresa la función f(x) = 1/(1 x) en forma de una suma de una serie de. Ejemplo 2.1 Exprese 1/(1 + x 2 ) como la suma de una serie de y determine el intervalo de convergencia. 1 1 Solución. = 1+x 2 1 ( x 2 ) = ( x 2 ) n = ( 1) n x 2n.

10 de de Ejemplo 2.2 Deduzca una representación de 1/(x + 2) como serie de. Solución. 1 x + 2 = 1 2 ( x ) = 2 2 [ 1 ( x )] 2 = 1 ( x ) n = 2 2 ( 1) n 2 n+1 xn. Esta serie converge cuando x/2 < 1, es decir, x < 2. Entonces el intervalo de convergencia es ( 2, 2).

11 de Teorema 3.1 Si c n (x a) n tiene radio de convergencia R > 0 [es decir converge cuando x a < R], entonces la función f definida por f(x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + = c n (x a) n es derivable (y como consecuencia continua) en el intervalo (a R, a + R) y (I) f (x) = c 1 ) + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 + = nc n (x a) n 1. n=1 (II) (x a) f(x)dx = C + c 0 (x a) + c 2 (x a) c = C + (x a) c n+1 n n+1. Los radios de convergencia son R.

12 de Ejemplo 3.1 Exprese a 1/(1 x) 2 en forma de una serie de, derivando 1 1 x = x n. Ejemplo 3.2 Deduzca una representación de ln(1 x) en forma de una serie de y determine su radio de convergencia. Solución. ln(1 x) = 1 1 x dx = x < 1. Si x = 0 se tiene que C = 0. Por tanto, ln(1 x) = n=1 x n n x n+1 n+1 +C = n=1 x n n +C;

13 de Teorema 4.1 Si f tiene una representación en forma de serie de en a; esto es, si f(x) = c n (x a) n x a < R entonces los coeficientes están expresados por la fórmula c n = f n (a) n! La serie del teorema se llama serie de la función f en a (o alrededor de a o centrada en a).

14 de En el caso especial en que a = 0 Taylor se convierte en f n (0) f(x) = x n n! y se llama serie de Maclaurin. Ejemplo 4.1 Encuentre Maclaurin de la función f(x) = e x, asi como su radio de convergencia.

15 de GRACIAS POR SU ATENCIÓN