RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES

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1 RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete por a = 2 y a+ = 2 + a para. Se puede vericar fácilmete que {a } es acotada y creciete (ver otas de la clase). Por el teorema., {a } es covergete. Teorema.3 (Teorema del Sadwich). Supoga que las sucesioes {a }, {b } y {c } satisface las siguietes codicioes: () a b c para toda (2) lim a = lim c = L Etoces lim b = L. Ejemplo.4. Sea b = 2 + ( ). Esta sucesió se puede pillar etre las sucesioes a = 2 y c = 2 +, que coverge a 2. teorema del Sadwich, la sucesió b tambié coverge a 2. Por el 2. Series Teorema 2.. Si la serie a coverge, etoces lim a = 0. De igual maera, si la sucesió {a } = o tiede a cero, etoces la serie a diverge. Ejemplo 2.2. La serie = + diverge, pues lim + Teorema 2.3 (Teorema de la Serie Geométrica). La serie = 0. r coverge si y solo si r <. Para r <, la suma de la serie está dada

2 2 MATE DR. UROYOÁN R. WALKER por Ejemplo 2.4. La serie r = r ( ) coverge, y suma 3/ Series de Térmios Positivos Teorema 3. (Prueba de la Itegral). Sea f(x) ua fució cotiua y positiva e el itervalo [, ) y je a = f() para todo etero. Etoces la serie a coverge si y solo si f(x) dx coverge. = Ejemplo 3.2. La itegral Por el teorema 3., la serie dx coverge a π/4 (½ Vericalo!). + x2 + 2 coverge. = Teorema 3.3 (Teorema de las p-series). La serie solo si p >. Ejemplo 3.4. La serie harmóica = 2 coverge. = = coverge si y p diverge, mietras que la serie Teorema 3.5 (Estimado del Residuo). Sea f(x) ua fució como la del teorema 3. y supoga que la itegral f(x) dx coverge. Fije a k = f(k) y sea S = a k y S = a k. Etoces k= + k= f(x) dx S S Teorema 3.6 (Prueba de la Comparació). Sea cuyos térmios so positivos. Etoces f(x) dx a y = b series () Si a b para toda y b coverge, etoces a coverge. =

3 SUCESIONES Y SERIES 3 (2) Si a b para toda y b diverge, etoces a diverge. Ejemplo 3.7. Teemos 2 + para todo (½Verique!). Como 2 la serie 2 = 2 diverge, la serie 2 tie tambié que + ser divergete. Teorema 3.8 (Teorema de la Comparació de Límites). Sea { = } a a b = y = b series de térmios positivos. Supoga que la sucesió coverge a u límite L 0. Etoces ambas series coverge o ambas series diverge. Ejemplo 3.9. Sea a = y sea b =. Se puede vericar 2 a fácilmete que (Ejercicio) lim = 2 0. Como b coverge (es b ua p-serie co p = 2, etoces a tambié coverge. 4. Serie Altera Teorema 4. (Prueba de la Serie Altera). Sea {a } = ua sucesió que satisface las siguietes codicioes: () a a + > 0 para todo. (2) lim a = 0. Etoces la serie altera ( ) + a coverge. = Ejemplo 4.2. La serie harmóica altera ( ) + coverge. Teorema 4.3 (Error Estimado para Series Alteras). Sea {a } = ua sucesió que satisface las codicioes del teorema 4.. Sea S la suma de la serie y sea S la -ésima suma parcial de la serie. Etoces para toda. S S < a + = 5. Covergecia Absoluta Teorema 5. (Teorema de la Covergecia Absoluta). Si la serie a coverge, etoces la serie a coverge.

4 4 MATE DR. UROYOÁN R. WALKER Ejemplo 5.2. Sea a = si() 2. Teemos a. Etoces, por 2 el teorema 3.6 la serie a coverge. Por el teorema 5. la serie si() coverge tambié. 2 Teorema 5.3 (Prueba de la Razó). Supoga que el límite ρ = lim a + a existe o es iito. () Si ρ <, etoces la serie a es absolutamete covergete. (2) Si ρ >, etoces la serie a es divergete. (3) Si ρ =, etoces la prueba es icoclusa. Ejemplo 5.4. Sea a = 2. Etoces a + = + a 2 (½ Verifícalo!). Por el teorema 5.3, la serie. Teemos lim es covergete. 2 Teorema 5.5 (Prueba de la Raiz). Supoga que el límite existe o es iito. ρ = lim a / () Si ρ <, etoces la serie a es absolutamete covergete. (2) Si ρ >, etoces la serie a es divergete. (3) Si ρ =, etoces la prueba es icoclusa. ( ) Ejemplo 5.6. Sea a = ( ) 2 3. Etoces a / = 2/. Teemos lim 2/ = (½ Vericalo!), así ρ = lim a / = /3 <. Por 3 ( ) 2 el teorema 5.5, la serie 3 es absolutamete covergete. a a + = /2 < Teorema 6.. Sea 6. Series de Potecia c (x a) ua serie de potecias. Hay solamete tres posibilidades: () La serie c (x a) coverge solo cuado x = a.

5 SUCESIONES Y SERIES 5 (2) Existe u úmero R > 0 tal que la serie c (x a) es absolutamete covergete para x a < R y divergete para x a > R. (3) La serie c (x a) coverge para toda x. El úmero R de (2) se llama el radio de covergecia de la serie. E el caso (), es decir, cuado la serie c (x a) coverge solo para x = a, se dice que el radio de covergecia es 0, y e el caso (3) - cuado la serie coverge para toda x - decimos que el radio de covergecia es iito. Ejemplo 6.2. () La serie!x coverge solo para x = 0, así que su radio de covergecia es R = 0. (2) La serie geométrica x es absolutamete covergete para x < y diverge para x > ; etoces su radio de covergecia es R =. x (3) La serie es absolutamete covergete para toda x; su! radio de covergecia es iito. La Prueba de la Razó se puede utilizar co bastate frecuecia para calcular el radio de covergecia. Resumimos el procedimieto e el siguiete teorema. c (x a) es tal Teorema 6.3. Supoga que la serie de potecia que L = lim c + c existe o es iito. Etoces el radio de covergecia de la serie c (x a) es R = (co las covecioes de que R = 0 si L = L y R = si L = 0.) Este teorema se puede demostrar fácilmete utilizado el teorema 5.3 co a = c (x a). Notese que e este caso ρ = L x a.

6 6 MATE DR. UROYOÁN R. WALKER x Ejemplo 6.4. Cosidere la serie 2. Aquí c = 2, etoces L = lim c + c = lim 2( + ) =, etoces el radio de covergecia de esta serie es R = /L = 2. 2 Teorema 6.5. Supoga que la serie c (x a) tiee radio de covergecia R > 0 (R = es posible). Dea f(x) = para x a < R. Etoces () f(x) es difereciable y f (x) = c (x a) ( ) c (2) f(x) dx = (x a) + C + c (x a) (3) Las series e () y (2) tambié tiee radio de covergecia R. Ejemplo 6.6. Difereciado la serie geométrica x = x obteemos la idetidad ( x)2 = x. Itegrado la serie geométrica x + teemos l( x) = (la costate de itegració se veri + ca fácilmete que es cero si se toma x = 0). Estas uevas series hereda el radio de covergecia de la serie geométrica R =. Teorema 6.7. Supoga que ua fució f(x) tiee represetació e series de potecia f(x) = c (x a) para x e u itervalo abierto que cotega a a. Etoces los coecietes c de la serie está dados por c = f () (a)! Notese que por el teorema 6.5 f(x) es iitamete difereciable. La fórmula de arriba se obtiee aplicado el teorema 6.5 (Parte ) veces para hallar f () (x) y tomado x = a.

7 SUCESIONES Y SERIES 7 Ua cosecuecia imediata e importate del teorema 6.5 es: Corolario 6.8. Si ua fució f(x) tiee ua represetació de series de potecias e a, esta represetació es úica. Deició 6.9. Sea f(x ua fució tal que f () (a) existe para todo. Etoces la Serie de Taylor de f(x) e a es la serie f () (a) f(x) = (x a)! Si a = 0 la serie se llama la Serie de MacLauri de f(x). Ejemplo 6.0. La serie de Taylor de f(x) = e x e 0 es Observe que f () (0) = e 0 = para toda.! x. La preguta fudametal de las series de Taylor es si coverge a la fució. Hay ejemplos (vea otas de la clase) para el cual este o es el caso. Para estudiar estas pregutas de covergecia, se itroduce los poliomios de Taylor, que so sumas parciales de las series de Taylor. Deició 6.. Asumiedo que todas las derivadas de orde hasta de f(x) existe e a, deimos el -ésimo poliomio de Taylor como la suma f (k) (a) T (x) = (x a) k k! k=0 El -ésimo residuo de Taylor como la diferecia R (x) = f(x) T (x) Ua cosecuecia imediata de esta deició es que la serie de Taylor de f(x) e a coverge a f(x) si y solo si lim R (x) = 0. Teorema 6.2 (Teorema de Taylor). Si f(x) tiee derivadas de orde hasta + e u itervalo abierto I que cotiee a a, etoces para x e I, x a, existe u úmero z co z a < x a tal que R (x) = f (+) (z) (x a)+ ( + )! Cometario. Observe que para = 0, el teorema de Taylor es equivalete al teorema del valor medio. E muchos ejemplos uo utiliza el Teorema de Taylor para demostrar que lim R (x) = 0.

8 8 MATE DR. UROYOÁN R. WALKER Ejemplo 6.3. Sea f(x) = cos(x) y sea a = 0. Como f (+) (z) = ±se(z) ó f (+) (z) = ± cos(z), depediedo de la paridad de, teemos f (+) (z), etoces, por el teorema de Taylor () Observe que R (x) ( + )! x + ( + )! x+ es el (+)-ésimo térmio de la serie! x, que sabemos que coverge para todo x. El térmio geeral de cualquier serie covergete tiee que teder a 0 (teorema 2.), así lim ( + )! x+ = 0. Por la desigualdad de arriba teemos lim R (x) = 0. Por lo tato la serie de MacLauri de cos x coverge a cos x para toda x. Uo puede determiar la serie mediate u cálculo directo usado (vea las otas de la clase): cos x = lim ( ) (2)! x2

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