1. Serie de Potencias

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1 . Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada e c. Tal serie de potecias puede verse como ua fució de x: a (x c) Etoces os pregutamos: Para qué valores de x teemos que f(x) < (es fiito o coverge)? Para respoder esta preguta veamos u ejemplo coocido: la serie geométrica. Recordemos que ua serie geométrica de razó r esta dada por a r = =0 { a0 r Notemos que al itercambiar r por x obteemos a x = =0 si < r < (coverge) ± e otro caso (diverge) { a0 x si < x < (coverge) ± e otro caso (diverge) Es decir, ua serie geométrica de razó r es e realidad ua serie de potecias cetrada e x = 0, además, tal serie de potecias es covergete para x ], [ y divergete e otro caso. E geeral, ua serie de potecias cetrada e c siempre es covergete al meos para el valor x = c, de hecho, f(c) = a (c c) = a 0 = 0 < El siguiete resultado debe explicar las opcioes posibles sobre la covergecia de ua serie de potecias:

2 Teorema: Cosidere la serie de potecias: a (x c) Etoces, ocurre ua, y sólo ua de las siguietes 3 afirmacioes:. La serie sólo coverge para x = c; 2. Existe R > 0 tal que la serie f(x) coverge si c R < x < c + R y diverge e otro caso; 3. La serie f(x) coverge para cada x R; Podemos ver que ua serie de potecias es siempre covergete, e el peor de los casos, coverge sólo para x = c, es decir, e el valor dode la serie se ecuetra cetrada. Aquel valor R del teorema aterior es llamado radio de covergecia y se calcula como sigue: a R ó R a + a Para uificar los 3 casos del teorema aterior, diremos que e el caso () el radio de covergecia es cero y e el caso (3) el radio de covergecia es ifiito, es decir, R a 0 R R = 0 La serie sólo coverge para x = c; a + a < La serie f(x) sólo coverge si c R < x < c + R ; a + a a + = La serie f(x) coverge para cada x R; Podemos ver que el campo de covergecia de la serie de potecias f(x) es siempre u itervalo de la forma ]c R, c + R[. Veamos alguos ejemplos:. Calcule el radio de covergecia para la serie:!x = x + 2x 2 + 3!x 3 + 4!x !x + ( + )!x Notemos que esta es ua serie de potecias cetrada e x = 0 y que a =! Así, el radio de covergecia de esta serie es: R a! a + ( + )!!!( + ) ( + ) = 0 Así, caemos e el caso () del teorema, luego, la serie sólo coverge para x = 0. 2

3 2. Calcule el radio de covergecia para la serie: x Notemos que esta es ua serie de potecias cetrada e x = 0 y que a = Así, el radio de covergecia de esta serie es: R a ( ( 2 +) (2+) Como la fució expoecial crece mucho más rápido que la fució poliomial e el deomiador de la fracció, teemos que ) R = Luego, caemos e el caso (3) del teorema y la serie coverge para cada x R. E muchos casos, cuado el radio de covergecia es fiito (como e el caso (2) del teorema), la covergecia e los extremos del itervalo de covergecia ]c R, c + R[ o esta clara, puesto existe veces e que la covergecia de la serie f(x) se da tambié e c R y/o e c + R. Para ilustrar u caso, calculemos el radio de covergecia de la serie cetrada e : Notemos que e este caso (x + ) a = 3

4 Etoces, el radio de covergecia es a... R... a Así, el itervalo de covergecia para la serie f(x) es ] R, + R[ = ] 2, 0[ ( + ) ( + ) =... pero qué pasa co la covergecia e los extremos -2 y 0 del itervalo? La respuesta sólo puede ser revelada evaluado la serie f(x) e 2 y 0 respectivamete: ( 2 + ) ( ) f( 2) = = (0 + ) f(0) = = Sabemos que f(0) correspode a la serie armóica y, por lo tato, diverge. Para determiar si f( 2) es covergete podemos usar el criterio de la razó: ( ) f( 2) = a = ( ) Luego, debemos determiar el límite a + lím a ( ) + + ( ) ( ) + ( + )( ) ( )( ) ( + )( ) ( + ) = Como tal límite es meor que, el criterio de la razó os dice que f( 2) coverge. Así, el itervalo exacto de covergecia de la serie f(x) es [ 2, 0[ (se icluye el extremo 2). Para lo que viee coviee saber lo siguiete: 2 Teorema: Cosidere la fució f defiida como sigue a (x c) es decir, f(x) es ua serie de potecias cetrada e c y supoemos que su radio de covergecia es R > 0. Etoces,. La fució f es cotiua sobre el itervalo ]c R, c + R[ ; 2. La fució f es derivable sobre el itervalo ]c R, c + R[, además a (x c) y esta última serie f (x) tambié tiee radio de covergecia R. 4

5 2. Expasió e Serie de Taylor Bajo ciertas codicioes es posible aproximar fucioes por u poliomio de grado. Tal aproximació viee dada por el trucamieto de ua serie asociada (a ua cierta fució) coocida como expasió de Taylor. Defiició: Sea f ua fució ifiitamete derivable sobre u itervalo ]c R, c + R[. Defiimos la expasió e serie de Taylor (cetrada e c) de la fució f a la serie: f (i) (c)(x c) i i=0 i! = f(c) + f (c)(x c)! + f (c)(x c) 2 2! + f (c)(x c) 3 3! + f (4) (c)(x c) 4 4! +... E el caso particular e que c = 0, tal serie se deomia serie de Maclauri. Del mismo modo, defiimos la expasió de Taylor de grado de la fució f como: T (x) = f (i) (c)(x c) i i=0 i! = f(c) + f (c)(x c)! f () (c)(x c)! Dada esta defiició, el siguiete resultado os hace eteder el cocepto de aproximar ua fució f por u poliomio de grado : 3 Teorema: Sea f ua fució cotiua y + veces derivable sobre u itervalo ]c R, c + R[. x I, etoces existe u puto ξ etre c y x (e medio de ambos) tal que dode f(c) + f (c)(x c)! f () (c)(x c)! } {{ } T (x) = T (x) + R (x) R (x) = f (+) (ξ) (x c)+ ( + )! + f (+) (ξ) (x c)+ ( + )! }{{} R (x) se cooce como el resto o residuo de Lagrage de la aproximació de grado. Diremos que la serie de Taylor coverge a la fució f e x si, y sólo si se cumple que lím R f (+) (ξ) (x) ( + )! (x c)+ = 0 5

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