Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

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1 Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de potecias. Los aspectos profudos de su estudio correspode a la teoría de fucioes de variable compleja más que a la teoría de fucioes de variable real, por lo que aquí damos simplemete alguas propiedades secillas, suficietes para uestros propósitos. Como referecia utilizamos [Apostol]. 9.. Series de potecias 9... Covergecia de las series de potecias Defiició 9... Recibe el ombre de serie de potecias toda serie de la forma a (x c). El úmero real a se deomia coeficiete -ésimo de la serie de potecias (obsérvese que el térmio -ésimo es a (x c) ). Si los coeficietes a 0, a, a m so ulos, la serie suele escribirse a (x c). =m E cierto modo, se trata de ua especie de poliomio co ifiitos térmios. Veremos que, a la hora de operar co ellas, las fucioes defiidas como suma de ua serie de potecias comparte muchas propiedades co los poliomios. Para qué valores de x coverge ua tal serie? Obviamete, es segura la covergecia para x = c, co suma a 0, y puede suceder que éste sea el úico puto e el que la serie coverge. Fuera de este caso extremo, la situació es bastate satisfactoria: veamos alguos ejemplos. Ejemplos. () La serie geométrica coverge (absolutamete) si y solo si x (, ) (co suma /( x), como sabemos). (2) La serie x coverge si y solo si x [, ). Si x (, ), coverge absolutamete. x 57

2 58 CAPÍTULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR (3) La serie 2 x coverge (absolutamete) si y solo si x [, ]. (4) La serie ( ) x 2 coverge si y solo si x [, ]. Si x (, ), coverge absolutamete. (5) La serie x! coverge (absolutamete) para todo x R (y la suma es e x ). (6) La serie! x coverge solamete para x = 0. Lema Si para algú r (0, + ) la sucesió (a r ) está acotada, etoces para cada x R tal que x c < r la serie a (x c) es absolutamete covergete. Demostració. Sea M tal que para todo 0 se tega a r M. Etoces ( ) x c 0 a (x c) = a r M r ( x c r ) y como la serie geométrica ( x c ) coverge, se deduce que la serie r a (x c) tambié coverge. Defiició Dada ua serie de potecias valor (fiito o ifiito) dado por R = sup{ x c : a (x c), su radio de covergecia es el a (x c) coverge}. Si R > 0, el itervalo (c R, c + R) se deomia itervalo de covergecia de la serie de potecias. Teorema Dada ua serie de potecias a) Si x c < R, la serie a (x c) co radio de covergecia R, se tiee: a (x c) coverge absolutamete.

3 9.. SERIES DE POTENCIAS 59 b) Si x c > R, la serie o coverge y la sucesió (a (x c) ) o está acotada. Nota. Segú los ejemplos previos, cuado R es fiito, ada puede decirse sobre la covergecia e los putos c + R, c R. Demostració. a) De la defiició de R se deduce que si x c < R, debe existir u puto x tal que x c < x c y a (x c) coverge. Aplicado el lema aterior, a (x c) debe coverger absolutamete. b) Cosecuecia directa de la defiició de R. Ejemplos. () La serie x tiee radio de covergecia. Para x = diverge a + y para x = es oscilate. x (2) La serie tiee radio de covergecia. Para x = diverge a + y para x = es covergete (pero o absolutamete). x (3) La serie 2 tiee radio de covergecia. Para x = y para x = es covergete (absolutamete). Observació. Existe ua fórmula que permite expresar el radio de covergecia de ua serie de potecias a (x c) e fució de sus coeficietes. Se trata de la fórmula de Cauchy- Hadamard: R = lím sup a. Si embargo, e los ejemplos que maejaremos e el curso, es más cómodo realizar directamete el estudio de la covergecia de las series para los distitos valores de x (geeralmete co ayuda del criterio del cociete o del criterio de la raíz). E la fórmula de Cauchy-Hadamard, a es exactamete el coeficiete de (x c), de modo que si se quiere utilizar por ejemplo para hallar el radio de covergecia de la serie x 2, hay que calcular (lím sup a ) dode a = si es par y a = 0 si es impar ( sabrías hacerlo?); por suerte, e este y e casi todos los ejemplos usuales podemos evitar este cálculo si recurrimos a la defiició de radio de covergecia y al estudio directo de la covergecia de las series. Este ejemplo muestra tambié por qué hay que usar obligadamete límite superior e la fórmula: el límite o tiee por qué existir Propiedades de las fucioes represetadas por series de potecias La suma de ua serie de potecias de radio o ulo defie e su itervalo de covergecia ua fució a (x c). Se dice etoces que la serie represeta a la fució f e el itervalo de covergecia y que es el desarrollo e serie de potecias de la fució f e el puto c. Se platea etoces de maera atural dos problemas (ver [Apostol, págs ]): () dada la serie, hallar propiedades de la fució suma; (2) dada ua fució, averiguar si se puede represetar por ua serie de potecias (suele decirse etoces que la fució es desarrollable e serie de potecias).

4 60 CAPÍTULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR Lema Sea serie a (x c) ua serie de potecias co radio de covergecia R. Etoces la a (x c) tiee tambié radio de covergecia R. Demostració. Se trata de probar que la serie a (x c) coverge (absolutamete) si x c < R y que o coverge si x c > R. Sea x c < R. Etoces podemos elegir algú y R tal que x c < y c < R. Como a (x c) = a (y c) (x c) (y c). lím (x c) (y c) = lím y c x c y c esta sucesió está acotada, es decir, hay algua costate M > 0 tal que para todo Por lo tato, para todo Segú el teorema 9..4, la serie (x c) (y c) M. a (x c) M a (y c). = 0, a (y c) coverge, así que la serie a (x c) coverge absolutamete. Si, por el cotrario, x c > R, etoces la sucesió (a (x c) ) o está acotada, luego la sucesió (a (x c) ) tampoco lo está y la serie o coverge. Teorema Sea a (x c) a (x c) ua serie de potecias de radio R > 0 y sea a (x c), defiida si x c < R. Etoces la fució f es derivable y si x c < R se tiee f (x) = a (x c). Demostració. Supogamos, para simplificar la otació, que c = 0. Es decir, a x,

5 9.. SERIES DE POTENCIAS 6 defiida si x < R, y se trata de probar que f es derivable y que f (x) = a x, si x < R. Sea x < s < R y sea y ( s, s), y x. Etoces, Segú el lema 9..5, la serie f(y) f(x) f(y) f(x) = a y x a x coverge. a x = Ahora bie, para cada 2, y x a [ y x = x a y x. ] = =2 a [ y x x = ( y + y 2 x + y 3 x yx 2 + x ) x x = () ( y 2 + 2y 3 x + 3y 4 x ( 2)yx 3 + ( )x 2). Tomado valores absolutos y teiedo e cueta que x < s, y < s, se deduce que y x x ( ( )) ( ) s 2 = s 2. 2 Segú el lema 9..5, aplicado dos veces, y el teorema 9..4, la serie absolutamete. Sea M = Por cosiguiete, f(y) f(x) ( ) a s 2. Hemos demostrado que =2 a x que es lo que teíamos que demostrar. a =2 f(y) f(x) lím y x ]. ( )a s 2 coverge =2 ( ) s 2 = 2 a x = 0, M. 2 La aplicació reiterada de este resultado permite afirmar: Corolario Sea a (x c) ua serie de potecias de radio R > 0 y sea a (x c) si x c < R. Etoces f tiee derivadas de todos los órdees e (c R, c + R), y se cumple f (k) (x) = ( ) ( k + ) a (x c) k. =k

6 62 CAPÍTULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR E cosecuecia a = f () (c),! de maera que las sumas parciales de la serie so los correspodietes poliomios de Taylor de f e el puto c. Demostració. La primera parte se prueba por iducció sobre k. Para la seguda, tomado e particular x = c, se sigue que f () (c) =! a. Corolario Si dos series de potecias a (x c) y b (x c) tiee la misma fució suma f e u cierto etoro del puto c, etoces las dos series tiee los mismos coeficietes: e realidad, para todo 0 se cumple a = b = f () (c).! El teorema muestra que la derivació de ua serie de potecias se hace derivado cada uo de sus térmios, como si fuese u poliomio ; esto permite sumar fácilmete determiadas series a partir de otras de sumas coocidas. Ejemplo. Puesto que x = x, x <, para tales x se tiee x = geeral, ( ) ( k + ) x k = k!( x) k. =k Tambié es útil comprobar que se puede itegrar térmio a térmio. Teorema Sea a (x c) ua serie de potecias de radio R > 0 y sea Etoces la serie a (x c), a (x c)+ + x (c R, c + R). y, e ( x) 2 tiee radio R, y si F es ua primitiva de f e (c R, c+r), para cada x (c R, c+r) se verifica a F (x) = F (c) + + (x c)+. Demostració. Ya sabemos, por el lema 9..5, que las series a + (x c)+, a (x c) tiee el mismo radio de covergecia. Sea a g(x) = + (x c)+, x (c R, c + R). El teorema aterior prueba que g tiee derivada e (c R, c + R) igual a f, es decir, que g es ua primitiva de f e (c R, c + R), por lo que F y g difiere e ua costate. Como g(c) = 0, se sigue que F (x) g(x) = F (c).

7 9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR 63 Ejercicios. () Probar que si x <, se tiee ( ) log( + x) = x. (2) Probar que si x <, se tiee arc tg x = ( ) 2 x2. Hemos visto que e los extremos del itervalo de covergecia la serie puede o coverger; si lo hace, es iteresate dispoer de algú resultado que, bajo ciertas codicioes, garatice que la fució defiida por la serie sea cuado meos cotiua, como el siguiete lema (su demostració puede verse e [Ross, Teor. 26.6, págs ]). Lema 9..0 (de Abel). Sea a (x c) ua serie de potecias de radio de covergecia R positivo y fiito, y supogamos que la serie a R = a R es covergete. Etoces lím x (c+r) Ejemplo. Demostrar mediate el lema de Abel que a (x c). ( ) = log 2 ; ( ) 2 + = π Desarrollos e serie de Taylor La fórmula de Taylor y el teorema de la secció aterior puede iducir a pesar que si ua fució f tiee derivadas de todos los órdees, es represetable como suma de su serie de Taylor f () (c)! (x c) (como ua especie de fórmula de Taylor llevada al límite ) e la parte del domiio de f dode tal serie coverja. Si embargo, la situació real o es ta satisfactoria. Por ejemplo, la fució { e /x2 si x > 0; 0 si x 0, tiee derivadas de todos los órdees e cada puto de R, y e 0 es f () (0) = 0 para cada N. f () (0) Por cosiguiete, la fórmula x solo se cumple para x = 0.! Se puede demostrar que para que ua fució f coicida co la suma de su serie de Taylor es ecesario que sus derivadas sucesivas o tega u tamaño desmesurado. E aplicacioes cocretas es suficiete comprobar que las derivadas está acotadas por potecias sucesivas de ua costate, como vamos a ver ahora.

8 64 CAPÍTULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR Proposició Sea f ua fució co derivadas de todos los órdees e u itervalo (c R, c + R). Supogamos que exista úmeros reales o egativos A y B tales que f () (x) B A siempre que x c < R. Etoces, para todo x (c R, c + R) se verifica f () (c)! (x c). Demostració. Sea x c < R. Si x c, dado m N, aplicado la fórmula de Taylor podremos escribir, para algú t m compredido etre x y c m f(x) f () (c)! (x c) = f (m+) (t m ) (m + )! x c m+ B Am+ (m + )! x c m+. Etoces la diferecia aterior tiede a 0 cuado m. E cosecuecia, la serie es covergete co suma f(x). Ejercicios. Obteer los desarrollos siguietes (ver [Apostol, págs ]): a) se x = ( ) (2 + )! x2+, x R. b) cos x = ( ) (2)! x 2, x R. c) e x =! x, x R. Nota. Si reflexioamos u mometo, teemos ate osotros ua maera rigurosa de costruir las fucioes seo, coseo, expoecial. Las series que hemos escrito so series de potecias de radio +, que defie sedas fucioes e R; otra cuestió es que resulte fácil o complicado demostrar que estas fucioes goza de las propiedades que veimos utilizado e relació co el seo, el coseo y la expoecial. Dedicaremos a su estudio el último capítulo, para que sirva a su vez de muestra de la eorme potecia de los coocimietos que hemos ido adquiriedo a lo largo del curso. Para comprobar la validez de ciertos desarrollos es a veces más coveiete usar otros recursos, e vez de la fórmula de Taylor. Ejemplo (serie biómica). Veamos que para cada α R es ( + x) α = ( ) α x, siempre que x <. Para α N {0}, la fórmula aterior se reduce a la del biomio y es válida para todo x R. Supoemos, pues, α / N {0}. Etoces, el criterio del cociete os da que el radio de covergecia de la serie es, luego podemos defiir ua fució ( ) α x, x (, ),

9 9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR 65 que, e pricipio, o tiee por qué coicidir co ( + x) α e dicho itervalo. Pero como de f (x) = ( ) α x, ( ) ( ) α α α(α ) (α + ) α(α ) (α + )(α ) + ( + ) = + ( + ) +! ( + )! α(α ) (α + ) α(α ) (α + )(α ) = +!! α(α ) (α + ) = [ + (α )] ( )! α = α, se deduce que f (x)( + x) = α f(x), por lo que f(x)/( + x) α tiee derivada ula y por tato se matiee costate e todo el itervalo (, ). Tomado x = 0 se sigue que el valor de tal costate es, es decir, que ( + x) α para todo x (, ). De especial iterés resulta el caso particular α = /2. Etoces, operado, ( ) /2 = ( 2 ) ( 3 2 ) ( ) 5 2 ( 2 + )! 3 5 (2 ) = ( ) 2 (!) 3 5 (2 ) = ( ), (2) co lo cual + x = 3 5 (2 ) ( ) x, < x < (2) Del criterio de Leibiz y del lema de Abel se sigue que la fórmula aterior tambié es válida para x =. A veces se escribe abreviadamete 3 5 (2 ) = (2 )!!, (2) = (2)!!. Aplicació. A partir del desarrollo de su derivada se obtiee arc se x = 3 5 (2 ) (2) x2+, < x <, 2 + válido tambié para x = por el lema de Abel. Poemos fial a este capítulo co ua tabla de los desarrollos e serie de Taylor-Maclauri de las fucioes que más frecuetemete aparece e los ejercicios.

10 66 CAPÍTULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR FUNCIÓN DESARROLLO EN SERIE CONVERGE x = + x + x x + < x < x ( ) α ( + x) α x α(α ) (α + ) = + αx + + x + < x <! ( ) log( + x) x = x 2 x2 + 3 x3 4 x4 + < x e x se x cos x arc se x arc tg x! x = + x + 2 x2 + 3! x4 + < x < + ( ) (2 + )! x2+ = x 3! x3 + 5! x5 7! x7 + < x < + ( ) (2)! x2 = 2! x2 + 4! x4 6! x6 + < x < + (2)! 2 2 (!) 2 (2 + ) x2+ = x + 6 x x5 + x ( ) 2 + x2+ = x 3 x3 + 5 x5 7 x7 + x

11 Bibliografía [Apostol] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (seguda edició). Reverté, Barceloa, 989. Citado e la(s) págia(s) 57, 59, 64 [Ross] Ross, K. A.: Elemetary Aalysis: The Theory of Calculus. Spriger, Berlí, 980. Citado e la(s) págia(s) 63 67

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