Métodos Numéricos. Luis Carlos Torres Soler
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- Juan Luis Redondo Páez
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1 Métodos Numércos Lus Carlos Torres Soler Departameto de Igeería de Sstemas e Idustral Facultad de Igeería Uversdad Nacoal de Colomba
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3 Métodos Numércos Lus Carlos Torres Soler Matemátco Maestría Igeería de Sstemas Maestría Cecas de la Educacó
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5 Presetacó No es el objeto de las presetes otas escrbr u teto de Aálss Numérco o Métodos Numércos dado que este e el mercado muchos lbros bueos sobre este tema sus aplcacoes; el objeto ha sdo el de preparar u resume para los estudates, o creo que pueda alcazar maor trascedeca que dchos tetos. S embargo, es ecesaro preparar cada clase que se dcta co el de o caer e el cocepto de ser u docete que se sabe u teto de memora. Cada uo de los estudates a través de pregutas, tareas o cometaros erquece día a día estas otas. Es por esto, que poco a poco se mejora, hasta el puto de ser uete prmara de los estudates. Se ha adaptado estas otas como base para u curso semestral de Métodos Numércos de cualquer carrera de Igeería. A las otas, les alta mucho de teoría, de ejemplos, de coceptos, etc., au se etede que tee sgcatvos errores que las hace ser basura para alguos, metras que para otros es algo mu útl. No se puede desallecer e u teto, las otas poco a poco segurá mejorádose, los errores se rá corrgedo, los coceptos se rá complemetado, al gual que los ejemplos será cada vez mejores. Es la tecó, como trabajo académco cotuado.
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7 Cotedo Pag. Itroduccó Teoría de errores Seres de Talor 5 Solucó de ecuacoes Cálculo de raíces Derecacó 55 Itegracó 59 Ecuacoes derecales 6 Bblograía 7
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9 Itroduccó Los métodos umércos, ua subárea de la vestgacó de operacoes, de la matemátca, para aplcacoes geerles, tee por objeto audar a dar respuestas a problemas medate apromacoes sucetemete eactas co u mímo esuerzo cuado o es posble obteer ua solucó por métodos aalítcos. Alguos problemas puede teer sus respuestas por varos métodos; este varedad de ellos, alguos se eplca e este teto co ejerccos smples para lograr comprederlos. Por ello, es mportate, como práctca académco proesoal comparar la ececa de dversos métodos de apromacó, ver la ececa ecaca de cada uo de ellos proectarlos a los problemas de la vda real. E todas las labores para el desarrollo cetíco tecològco se utlza, ho día, el computador co u sotware especalzado que es ajustado a la medda segú alguo de los métodos umércos; s embargo, determar el mejor sotware o es del todo secllo, a que depede de los tereses de los problemas, por ello debe clur varos módulos que permta evaluar el comportameto de ua stuacó por deretes métodos para asegurar la covergeca total del proceso. Para alguos procesos de cálculo tesvo, la velocdad mímo tempo es la cosderacó más mportate; e otros casos, la coabldad robustez so las característcas deseadas.
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11 Teoría de errores E cada cálculo que se realce, geeralmete, se troduce errores que aecta sustacalmete los resultados por ede los procesos pertetes. Los errores so de derete ídole provee de dversas uetes por dsttos métodos. U estudo somero de los errores es coveete para buscar mmzar la cdeca egatva de ellos. Ejemplo. /+/+/ Es decr Qué error ta grade? Los cálculos hechos e computador o calculadora lleva a apromacoes e ellos, por tato, e los resultados, además, como este represetacoes de catdades co u úmero to de dígtos o peródcos, e geeral sólo se toma uos pocos. Ejemplo. π e Desde luego, se está cometedo mímos errores por haber tomado u maor úmero sgcatvo de dígtos, por tato las operacoes que se realce co ellos va a ser apromadas. Represetacó del error Los errores que se preseta al operacoalzar datos puede ser: * Error absoluto valor verdadero valor apromado valor verdadero > e * Error relatvo error absoluto / valor apromado; e e /
12 Métodos Numércos Magtud del error La magtud del error absoluto se deota como valor absoluto: e, metras que la magtud del error relatvo se epresa como porcetaje: e / Ejemplo..,. e... * 7 e / * 7 / * 6 *. e * 7 * 7 ; e /.. % Ejemplo ; e e 5 5; e / 5/* 6 5* 5*.5% Causas del error Las causas del error so varas. Este aquellas debdas a la coceptualzacó, toma de datos a troducr e el proceso; las debdas a ua operacó o u cojuto de operacoes que se realza e el proceso las debdas a la terpretacó; puede ser: La eacttud de los datos /...; / Los datos epermetales o se puede represetar eactamete se comete errores e maor o meor grado de acuerdo al úmero de cras decmales que se cosdera. Eacttud de los cálculos: Toda operacó lleva a errores por la apromacó que se realza a los datos. Naturaleza de la ucó que se calcula. Por la orma como debe calcularse ua ucó. Ejemplo: epoecal, logarítmca, trgoométrca, etc. Métodos de cálculo. Se troduce errores por el método e sí. Tpos de error. Errores heretes. So debdos a los datos, por ser epermetales, por los aparatos de medda este la ecesdad de apromarlos. Ejemplo: /, /7, p, e. No os podemos deshacer de ellos. Lus Carlos Torres Soler
13 Métodos Numércos. Errores de trucameto. Cuado ua ucó es represetada por ua sere ta, se elma térmos de la sere. se /! + 5 /5! 7 /7! Errores de redodeo. Ocurre al represetar ua cra por u úmero to de dígtos decmales, es decr, se debe a la elmacó de cras para teer ua apromacó. a. Smétrco Ejemplo:.67 ~.67,.9 ~. b. Trucameto Ejemplo:.67 ~.67,.9 ~. Los eectos e los resultados usualmete so pero o sempre cotrolados al adcoar u dígto.. Errores acumulados. Ocurre cuado certos procedmetos está basados e la repetcó de ua secueca de operacoes. Se obtee Y + a partr de Y La mportaca del error acumulado depede de su rata de acumulacó. S la rata de acumulacó decrece hacedo que el error sea acotado, la secueca de operacoes se dce que es estable. Es estable s la rata se cremeta. 5. Error estmado. Se presume de u error al desarrollar operacoes. Normalzacó La ormalzacó decmal es la escrtura de u úmero e otacó cetíca, cualquer catdad se escrbe como: ± F * ± es el sgo, F se llama matsa epoete. Ejemplo. Normalzar a 5 dígtos los sguetes úmeros 7,9 >.79 *,9 >.9 *,8 >.8 *,9 >.9 * La matsa sempre es meor de, es decr, < F <,8597 Qué se hace?,85967 * o esta ormalzado,8 * +,5967 * El úmero de ceros e el segudo operado es gual al úmero de dígtos de la matsa.,8 * +,5967 * 5 Uversdad Nacoal de Colomba 5
14 Métodos Numércos ± F* c + G* ct, t úmero de cras sgcatvas e F. Qué se hace co G? Elmado G, qué le sucede a, e geeral? S ha que apromar, cuál es el valor apromado de F?, cuál el error que se troduce? 58,9 7,,6 certo 58,9 7,,69 Redodeo smétrco. F c s G <,5. F c + ct s G >,5 El sgo de es el msmo de F. ± F * c + G * ct e G * ct e ma G ma * ct,5 * ct. F * c + * ct e G * ct G * ct e ma G ma * ct,5 * ct E coclusó, el error mámo del error absoluto es: e ma,5 * t 5,9 t5,57 * c e / ma e ma / ma,5* ct /,* c 5* t m F* c m,, luego F m, Lo úco que hace mámo el error relatvo es t. El error relatvo mámo e redodeo smétrco depede solamete del úmero de cras sgcatvas e F, co las que se trabaje. 6 Lus Carlos Torres Soler
15 Métodos Numércos Por qué error ma? E muchos cálculos o se cooce resultados termedos, etoces o puede calcularse el error, por eso se toma el error mámo. Redodeo por trucameto El valor apromado sempre es: F* c Error relatvo e G * ct e G * ct G * ct e ma G ma * ct El error e redodeo por trucameto es el doble que el redodeo smétrco e / ma e ma / m * ct /,* c * t E coclusó o se usa este redodeo. Propagacó del error Los procesos computacoales está basados e procedmetos secuecales que realza ua sere ta de pasos para realzar u cojuto de operacoes determadas. Muchas de las operacoes o pasos se repte e u cclo, lógcamete to, lo que hace que cada vez propague los errores e los deretes pasos. Supogamos que e represeta la magtud de u error cometdo después de operacoes subsecuetes. S e c e, dode c es ua costate depedete de, se dce que el crecmeto del error es leal. S e c e, para c>, el crecmeto del error es epoecal. El crecmeto del error leal, geeralmete, es evtable, cuado c e so pequeños, los resultados suele ser aceptables. Pero muchas veces, por más pequeño que sea el error, puede traer resultados del todo o satsactoros: desvacó segú lo esperado, cálculos alterados, valores que co el tempo muestra problemas e el comportameto de la stuacó aalzada. Uversdad Nacoal de Colomba 7
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17 Seres de Talor Sea ua ucó cotua co dervadas de todo orde e, etoces puede ser represetada por ua sere de potecas e el puto, como: c +c +c +...+c +. c j Las dervadas de se obtee al derecar la sere térmo a térmo c+c +c c j +... c+6 c +c c m m +! m! C m +m +! cm+ + cm m+ m + c +... m! Es decr: m m... m! m+ c Al reemplazar e ambos lados de la sere, se tee: c o c c o c c o c /!c o c /!... m m!c m o c m m / m! m j. Lo cual sgca que: Es decr: + + +! +... Ua ucó deda e u cojuto X de R, e X, etoces es cotua e s lm >, es cotua e el cojuto X s lo es e cada puto de X.
18 Métodos Numércos j j j! j m j [ j j! j ] + R m Co,!, d /d \ Ejemplo. Epadr l por medo de seres de Talor e, obteer l. e decmales co error meor a.5 ; ; ;...;! así, l j j j! j j j j Al cosderar R m < m /m, se tedría R m <. m /m. m /m s m, se tee. /.>.5 s m, se tee. /.5 <.5, Por tato se tee: l.. + /. + /..95 j Ejemplo. Calcular. e decmales co u error meor a.5 epadedo por medo de las seres de Talor e. ; m m π j j / ; m m 8 5/ así: ; m m m π ; 5 6 j j m m m Co R m m! / 5 / 7 / 8 6 Ejemplo. Calcular e. co cuatro decmales u error meor a.5 epadedo e por medo de la sere de Talor e. así: e ; e ; e ; e 7/ Lus Carlos Torres Soler
19 Métodos Numércos m !. Al teer: Rm m S m, Rm.666. S m, Rm.5. Sólo se tee que calcular hasta la poteca El algortmo geeral e el desarrollo de las seres de Talor sería: AlgST Lea,, error, mater, suma determe R MQ < mater o R > error calcular R suma suma+r + FMQ FAlgST La precsó que puede emplearse utlzado el computador o la capacdad de éste determará s la salda es el cálculo de la ucó o u mesaje de racaso. j E la sere de Talor al hacer, se tee:. j! se llama Sere de Maclaur Dada ua ucó, cotua co dervada de todos los ordees, e u puto, se evalúa e u puto cercao, empleado la sere de Talor, sempre cuado la sere sea covergete e Proposcó. Dada ua sere S k, co Þ S k+ / S k, la sere S k es covergete s Þ< crtero del cocete j j Los algortmos se descrbe por medo de u seudocódgo. Las struccoes de los algortmos sgue las reglas de la costruccó de programas estructurados, se escrbe de tal orma que reduzca al mímo la dcultad de traducrlo a u leguaje de programacó. MQ sgcará "metras que", teedo como al FMQ. HQ sgcará, "hasta que", co al FHQ. La struccó codcoal IFTHENELSE, está determada por codcó? SI NO. Uversdad Nacoal de Colomba
20 Métodos Numércos Teorema. Ua sere es absolutamete covergete, s coverge la sere ormada co los valores absolutos de sus térmos. Teorema. Ua sere altera es covergete s cumple: a. La sere es estrctamete altera b. El termo ésmo tede a, cuado tede a c. Cada termo es e valor absoluto meor que el termo ateror: S k+ < S k Teorema. Dada ua sere de potecas, deda como a a. S la sere coverge para c, etoces la sere coverge para todo < c b. S la sere dverge para > d, etoces la sere dverge para todo > d. Frecuetemete la sere de Talor se smplca deedo + ; permtedo escrbr la sere como: j j + j! S e esta ormula se hace kh, se tee: + kh j j j j kh j! S k se tee: + h + h+ h h! Smlarmete, s k : h h+ h...+ h! Al cosderar la otacó, + h +, podemos escrbr como: + + h + h! h! E geeral, s +k + kh, + kh +k +k +kh + kh+ kh kh +!! Varado e cremetos de +h, h, +h, h; se tee: + + h h + h! + h! h! h...+! Lus Carlos Torres Soler
21 Métodos Numércos + +h h +! h +...+! h h h +...+!! A partr de la sere de Talor, ua apromacó de ua ucó a prmer orde sería: + + [ + ] Esta epresó represeta ua líea recta. Ua apromacó de ua ucó a segudo orde es: + + [ + ]+ [ + ]! De maera smlar agregado térmos para desarrollar la epasó completa de la sere de Talor: + + [ + ]+ [ + ] [ + ] + R!! + o La sere ateror es ta, el térmo resdual sería: R [ + ] +! sedo o u valor cualquera que se halla etre +. + Ejemplo. Sea + +, calcular.5 co u error de e.5. Hacemos h ! Teédose las dervadas: + ; + + Así que: +.5!.5!.5! Uversdad Nacoal de Colomba /.5 + / / Ejemplo. Sea +, calcular. co u error de e.5. Hacemos h !!! Teédose las dervadas: ; ; / + +.!
22 Métodos Numércos Así que:.. +/. + / El desarrollo de las seres de Talor de ua ucó de dos dmesoes, alrededor de o, o está dada por: + h, + g, + h + g + [ h + hg + g ] + [ h 6 + h g + h g + [ h + h g +6 h g +h g + g ] +... Dode h, g,,, /, /, Las otacoes aálogas tales como,,, so las dervadas parcales de e ; cada o e los subídces dca ua derecacó parcal co respecto de o respectvamete g ] + Ejemplo. Sea, +.5,+., , calcular.5,. co u error de e Lus Carlos Torres Soler
23 Solucó de ecuacoes E la vda práctca, sobre todo para el geero del sglo XXI, al platear modelos para represetar stuacoes de la realdad solucoar problemas que allí este, muchas veces se llega a que el modelo es u sstema de ecuacoes: leales o o leales. La ecesdad de solucoar dcho sstema de ua orma ácl llevó a estudosos a ormular varos métodos, los métodos más utlzados que este para lograr la solucó de u sstema de ecuacoes so: de Gauss, de GaussJordá, de GaussSedel,, de Jacob, de Descomposcó LU,... Gauss Sea el sstema de ecuacoes: A X B, dode A es ua matrz. El método de Gauss cosste e ormar ua matrz tragular superor e que la dagoal de la matrz, este e las las que sgue e la columa, para ello se emplea las sguetes operacoes:. Multplcar la la por ua costate k. A ua la agregarle otra la j j + s k Los elemetos de la dagoal, los a, se llama pvote, cosecuetemete las las las columas respectvas se llama la pvote columa pvote. Etoces para colocar u e cualquer a, smplemete se realza:. a Para colocar e las las k >, se realza: El proceso ca por a. El método de Gauss Jorda es ua etesó del método de Gauss llevado la matrz a que sea utara. E pocas palabras, toda la dagoal e los demás elemetos e. k k a k
24 Métodos Numércos a a a... a A B a a a a a Jacob Sea el sstema de ecuacoes: A X B, dode A es ua matrz. Al teer los coecetes de la dagoal totalmete deretes de cero s es posble se reordea las ecuacoes para teer esto, la prmera ecuacó se puede resolver para, la seguda para, etcétera, lo que lleva a teer: b a a... a a b a a... a a b a a a... a a así sucesvamete hasta hallar, b a a... a a El proceso de solucó por el método de Jacob es: dar valores cales puede ser de cero a las, teracó, calcular cada uevo valor de,,,...,, teracó. El proceso se repte e la teracó j co los valores calculados e la teracó j, para uevas,,,...,, hasta que la solucó coverja. Es decr: X j kk<> j a jk a jj X k + b Esta covergeca se puede vercar usado el crtero de: e la teracó k dode e es el error prevsto. j k k k < e, co,,,; 6 Lus Carlos Torres Soler
25 Métodos Numércos Ua codcó ecesara, pero o sucete, para la covergeca, es que los coecetes de la dagoal de cada ua de las ecuacoes sea maor que la suma de los otros coecetes de la ecuacó, es decr:,<> j a > aj \ j,,..., Alguos sstemas leales de ecuacoes puede teer solucó utlzado este método de Jacob s que se cumpla la codcó, pero otros o. La codcó hace que sempre se halle la solucó. Cuado se tee la codcó, se dce que el sstema es de dagoal domate. GaussSedel El método de Gauss Sedel es u método teratvo mu usado cuado se tee u sstema de ecuacoes *, co coecetes e la dagoal totalmete deretes de cero. E Jacob se calcula todos los valores para ua ueva teracó. El método de Gauss Sedel sugere cosderar de ua vez los valores que se va calculado. Es decr: X j j k a X k Factorzacó tragular jk + a k j+ jj a jk X k +b Sea el sstema de ecuacoes: A X B, dode A es ua matrz. S es posble que A L U, dode L es ua matrz tragular eror U es ua matrz tragular superor, etoces A se dce es actorzable tragularmete. U se obtee al aplcar parte del método de Gauss, colocar sólo debajo de la dagoal. Por ejemplo: j Uversdad Nacoal de Colomba 7
26 Métodos Numércos A Etoces sguedo las operacoes, su trasormacó sería: A La matrz L es smplemete el proceso de ormacó de ua matrz tragular eror al trasormar la matrz orgal. Para el caso se realzaro las sguetes operacoes: /, + / 5 /7. Cada uevo U k obtedo mplctamete al calcular U, se se coloca e su respectva poscó e ua matrz L cuos elemetos de la dagoal sea. L 5 7 Puede probarse que L U A. S AX b, se escrbe L U X b, hacedo el reemplazo U X Y, etoces L Y b. Se calcula los Y, luego se resuelve U X Y para hallar los valores de X Ejemplo: 8 Lus Carlos Torres Soler
27 Métodos Numércos Uversdad Nacoal de Colomba 9 Luego al buscar s es actorzable tragular se puede obteer: S se mra despaco e los pasos realzados las operacoes de Gauss, se tee que estas uero: Luego sguedo estas operacoes se tee que la matrz L sería: Ahora sólo queda probar que LU A. Descomposcó LU La actorzacó de Cholesk també llamada Descomposcó LU, es ua técca partcularmete ecete e la solucó de alguos problemas. Sea ua matrz smétrca A, por tato cuadrada *, bajo certas codcoes, este ua matrz tragular superor U, tal que U T *U A, A U L
28 Métodos Numércos a a A. a a a a a a a. Por tato A, debe poderse escrbr como la multplcacó de dos matrces, U T U. U u. u u u u. u Como U es tragular superor, se sabe que u j, para >j. El cálculo puede hacerse por las, es decr, prmero se obtee los elemetos de la prmera la de U, eseguda los de la seguda, etcétera. Coocdos los elemetos de la la,,...,k, puede hallarse los elemetos de la la k. T a u u u, es decr, u a a a a u u u T T T u u u,,, es es es decr, u decr, u decr, u a u a u a u Al multplcar la seguda la de U T por las columas de U, se tee: a u + u, es decr, u a uu+ uu, es decr, u a uu u a uu + uu, es decr, u a uu u Al multplcar la la k de U T por la columa k de U se tee: a u Lus Carlos Torres Soler
29 Métodos Numércos a kk U T U k k U k T U k k k uk + U uk + u kk Lo úco descoocdo es u kk, por tato: u kk a kk k u k u k,,..., k k uk + u k Para que u kk sea real, se requere akk uk, como U es vertble, su determate se halla como producto de las dagoales, luego u kk <> Al multplcar la la k de la matrz U T por la columa j de la matrz U, co k < j, se tee: a kj u k T k u j u k T k u j uk uj + uk uj + ukk ukj u k u j k u k u j + k+ Como o se cooce u kj, etoces k ukj [ akj ukuj ] j k +,k +,... ukk NOTA. S sempre puede hallarse u kk, puede obteerse U. [A] _ 5 _ Ejemplo. Sea la matrz:, U [], U [], U Como es smétrca es posble que esta U, tal que U T UA, U u k u k+ j k [] Uversdad Nacoal de Colomba
30 Métodos Numércos La matrz U hasta ahora es: [U] _ u u u U 5 u 5 [ ], U [ u u U [ [][ ]] u u u _ ] La matrz U ahora es: [U] u u u U a u [[ ] +[ ] ],U U La matrz U por lo tato es: [U] Se puede probar que U T UA. Lus Carlos Torres Soler
31 Métodos Numércos 9 6 Ejemplo. Sea la matrz: [A] _ _ 5 5 u, u, u, u u, u, u u, u, u La matrz U por tato es: [U] Ejercco. Sea las sguetes matrces: A _ 5 _ B _ 5 6 _ C _ 9 _ 6 7 S es posble halle la actorzacó de Cholesk correspodete. E ua gra maoría para platear el comportameto de u sstema se utlza sstema de ecuacoes; para la solucó de tales sstemas de ecuacoes este varados métodos, el más coocdo es el de GaussJorda, pero este requere realzar u gra úmero de operacoes, por tato, gasta mucho espaco e dsco tempo de procesameto. E caso de que la matrz sea smétrca se utlza la actorzacó de Cholesk. Dado el sstema de ecuacoes A*X B. S A es smétrca este U, tal que U T UA; así puede escrbrse el sstema de ecuacoes como U T *U*X B. Hacedo U*X Y, se tee, U T *Y B; que es u sstema de ecuacoes ácl de resolver dado que U T es ua matrz tragular eror. Ua vez resuelto, se halla la solucó de UXY, també ácl de solucoar, dado que U es tragular superor. Uversdad Nacoal de Colomba
32 Métodos Numércos Ejercco. Cosdere los sstemas de ecuacoes: + + z + w z z.5, +5+z w., ++6z +w.7 + z +w.9 z w ++z + w 8 + +z w + z +w Hallar las solucoes s este utlzado la descomposcó LU. Lus Carlos Torres Soler
33 Cálculo de Raíces Se etede aquí, que dada ua ucó, s este u valor * e el cual *, a * se le llama ua raíz. Para el cálculo de raíces se emplea los sguetes teoremas: Teorema. S es ua ucó real cotua e [a,b] s para los valores, e este tervalo;, tee sgos opuestos etoces ha al meos ua raíz real de e [, ] de [a,b]. Teorema. Todo polomo de grado tee eactamete raíces e el plao complejo. Teorema. Todo polomo de grado mpar tee por lo meos ua raíz real. Este varos métodos, uos más ecetes que otros, e gualmete uos más ácles de emplear que otros. Se tee etre otros los sguetes: de Bseccó o de Bolzao, de terpolacó leal, de apromacoes sucesvas, de puto jo, de NewtoRaphso,... Método de Bseccó o de Bolzao El método de bseccó se basa e el teorema de valor termedo. Supogamos que es ua ucó cotua e el tervalo [a, b] co ab<, este, por tato, u valor * e a, b tal que *. Este método emplea la búsqueda cremetal, dvde sempre e dos el tervalo coocdo [a, b], dado o calculado co la codcó que a b < Proceso. Se da ua apromacó c a+b /. Se calcula c se compara e valor absoluto co el error preestablecdo, s es meor o gual que éste, se terma el proceso, dcado a c como ua raíz Puede llegar a estr más de u puto que cumple co la codcó; es mportate determar el mejor tervalo e el cual esta ese úco puto.
34 Métodos Numércos. Se calcula a c para lo cual puede ocurrr: a. a c >, etoces se hace a c se vuelve a. b. a c <, etoces se hace b c se vuelve a.. El proceso se repte hasta hallar la mejor apromacó. Ejemplo. Sea 5 E. Se tee, 7 a b a b c c cambo bc bc ac bc Ejemplo: X X + X 5X a b a b X c FX c 8.5 Algortmo AlgBBo leer 6 Lus Carlos Torres Soler
35 Métodos Numércos leer a,b, error ab? SI: a? SI: a es ua raíz, SALIR NO: b es ua raíz, SALIR NO: ab > SI: "o se puede aplcar" SALIR C a+b/ calcular c MQ c > error ac <? SI: b c calcular b NO: a c calcular a c a+b/ calcular c FMQ c es ua raíz FAlgBBo Para hallar el valor apromado, e lugar de comparar c error, també puede cosderarse: k+ k k + k < o < k+ S embargo, al usar cualquera de los crteros, puede surgr problemas. Por ejemplo, este sucesoes {X } co la propedad de que las derecas k+ k tede a cero coverge, metras que la sucesó dverge. Cuado se geera apromacoes por medo del computador, covee jar el úmero mámo de teracoes que se podría eectuar e caso de ua dvergeca e la sucesó. Método de Iterpolacó Leal Ua alteratva mejorada al método de bseccó es el de terpolacó leal, el cual se basa e la dea de apromarse e orma más ecete a la raíz. Hpótess: Se cooce que es cotua e [a, b], s ab< habrá ua raíz real. Uversdad Nacoal de Colomba 7
36 Métodos Numércos b c b Proceso. Se da ua apromacó leal de k por medo de k b a b a Al tomar ua apromacó cal c, dada por la traza de la cuerda ab bb a se tee: c b b a bb a b a. Se calcula k se compara k co el error preestablecdo. S es maor que el error, se compara k a co, puede ocurrr: a. k a<, se hace b k b. k a>, se hace a k. Se va al paso. Nota. El error també se puede localzar por k+ k <e. Ejemplo: X X X + X 7 a b a b X k FX k 5 5/ b Algortmo AlgIL 8 Lus Carlos Torres Soler
37 Métodos Numércos leer leer a,b, error ab? SI a? SI a es ua raíz, SALIR NO b es ua raíz, SALIR NO ab > SI "o se puede aplcar" SALIR MQ > error b[bba]/[ba] calcular a <? SI b calcular b NO a calcular a FMQ es ua raíz FAlgIL Método de Apromacoes sucesvas Dada ua ucó que es cotua e todo el tervalo [a, b], se debe hallar tal que ~, para lo cual se dee dos ucoes h g tal que h g Hpótess. Se debe teer que h' < g' para todo Proceso. Se da ua apromacó cal. Se calcula g. Se halla + a partr de h + g. Se calcula se compara co el error, s es meor o gual del proceso 5. Se va al paso. Nota. El error també se puede localzar por + < e Ejemplo: + +. g, g, h +, h / +. Se tee que h < g. Uversdad Nacoal de Colomba 9
38 Métodos Numércos Luego se escrbe X + X, es decr, X k+ X k k+ k Ejemplo: Sea X X X + 5X 7 Tomemos hx X + 5X, gx X + 7 h X X + 5; g X X Luego g X < h Así k+ + 7 X k + X k, luego X k + X k + 5X k 7 X 5 Algortmo AlgASu Ico leer, error leer descompoer e h g h' < g'? SI: MQ > error calcular hallar + de la relacó h + g + FMQ es ua raíz AlgASu Método de Newto Raphso El método de Newto Raphso es poderoso para hallar las raíces de ua ucó. Es u procedmeto geeral que se aplca e dversas stuacoes. Supogamos que es cotua e [a, b]. Sea * ua apromacó de la raíz tal que ' * <> * es "pequeño". Puede cosderarse la apromacó por Talor * * * * * * * R! Tomado que * por ser raíz, podemos escrbr: El utlzar seres de Talor subraa la mportaca de ua apromacó cal eacta. Lus Carlos Torres Soler
39 Métodos Numércos * * * * * + + Supoedo que * es pequeño, el termo * / es mucho más pequeño, por tato, se cosdera como error. * * * * * Así que +, luego, * k E geeral, se escrbe k + k para k>. Se ca co ua apromacó,. Ejemplo: Sea X X 5lX, Así X k + X k X k k X X 5l X k 5 X k X k 5 X Algortmo AlgNRa Ico leer, error leer MQ I < mater calcular + /' + < error? SI: dcar raíz, SALIR NO: + FMQ No se puede calcular la raíz FAlgNRa Ejercco. Hallar las raíces de e se+, l. Teorema. Sea cotua e [a,b], s e [a,b] es tal que ' <>, etoces este z> tal que el método de Newto geera ua sucesó { } que coverge a para cualquer apromacó cal e [ z, +z]. Uversdad Nacoal de Colomba
40 Métodos Numércos Método de la Secate Ua de las desvetajas del método de Newto Raphso es que utlza la dervada de la ucó, la cual puede dar valores ceros, etoces se puede reemplazar la dervada por u, k k cocete de derecas como: k k k Apromacó que tee su orge e la decó de la dervada a partr del límte, a saber:, u lm >u u Así que la ormula de Newto se puede escrbr como: k k k k + k k k k k k k k k Esta ormula requere coocer dos putos, es decr, al car debe darse dos putos cales. Ejemplo: Sea X X + + Ejercco. Hallar las raíces de l +, 5. Algortmo AlgSec leer, error leer MQ < mater calcular + * [ ] / [ ] + < error? SI: dcar raíz, SALIR NO: + FMQ No se puede calcular la raíz FAlgSec Lus Carlos Torres Soler
41 Métodos Numércos Iteracó de Puto Fjo Teedo la ucó, puede arreglarse de tal orma que quede a la zquerda, es decr, g. Esta trasormacó se puede lograr al despejar la varable, o al agregar a lado lado de la ecuacó. Ejemplo. Hallar las raíces de + 7, l. a. Para + 7 se escrbe +7. b. Para l se escrbe l + o [l ] o e. De esta orma, dada ua apromacó cal a la raíz,, la ecuacó g puede usarse para obteer ua ueva apromacó +, epresada por la ormula teratva + g. 5 Ejercco. Dadas las ucoes g + l co u error E.. Calcular ua posble raíz por los métodos de Iterpolacó leal, Bseccó, Apromacoes sucesvas, Puto jo NewtoRaphso. Raíces Complejas j Dado u polomo: c+c +c +...+c +.. c j. puede teer raíces reales raíces complejas, estas últmas co maor coveete para hallarlas. Ua propuesta para determar las raíces complejas es la sguete:. Coormar u polomo de grado dos co tres coecetes de maor o meor epoete.. Calcular las respectvas raíces a este polomo de grado dos. Se cosdera como cales.. Aplcar el proceso teratvo co la ormula de la dervada NewtoRaphso, usado úmeros complejos.. Calculada la raíz compleja a+b, se reduce el polomo dvdédolo por a+b luego e ab así sucesvamete, hasta llegar a u polomo de grado dos. j Uversdad Nacoal de Colomba
42 Métodos Numércos 5 Ejemplo. Sea Los polomos a ormar podría ser: h o g ±.5 *7.8 Las raíces de h sería: Es decr:. Ajuste de curvas A veces se requere determar la ormula apromada de ua ucó a partr de u cojuto de datos; el prmer eretameto del geero co el ajuste de curvas puede ser el de determar u valor medo de los datos e ua tabla, cuo propósto es dcar apror, cuál es la tedeca cetral de los datos. El método más smple para ajustar ua curva a u cojuto de datos es el de urlos por medo de líeas rectas ver gura 6, lo que mostraría el comportameto geeral de los datos, pero posblemete esto o dca mucho o permte hacer proeccoes uera del domo. El aálss de tedecas represeta el proceso de usar el patró de datos hacer predccoes para obteer apromacoes termedas; esto es terpolar, es decr, se busca estmar datos que se halla detro de los límtes de los datos dados, o a etrapolar s se requere coocer datos que está más allá de los límtes. Fudametos matemátcos Fgura 6. Coeó de putos e el plao. La meda estadístca de ua muestra de datos {,,, } se dee como la suma de los Lus Carlos Torres Soler
43 Métodos Numércos datos dvddo por el úmero de datos: La desvacó estádar es ua medda de dspersó de esos datos está dada por la ormula 5 : S S la desvacó estádar es mu grade, dca que los valores dvduales se dspersa mu lejos de la meda. Ua medda estadístca al a teer mu e cueta para la cuatcacó de la dspersó S de los datos es el coecete de varacó CV: CV % Regresó leal El ejemplo más smple de u ajuste o apromacó de u cojuto de parejas de datos observados: {,,,,...,, } a ua líea recta, es por mímos cuadrados. La estratega de este proceso es la de obteer ua ucó apromada que ajuste "adecuadamete" el comportameto o tedeca de los datos, s cocdr ecesaramete co cada uo de ellos e partcular. Fgura 7. Coeó de putos. La epresó matemátca de ua líea recta es: Y a +a X +e, e dode a, a so coecetes que represeta la pedete la terseccó co el eje de abscsas e es el error o resduo etre el modelo las observacoes, error que se represeta reordeado la ecuacó como: e Y a a X. 5 La dvsó por o por se justca porque uca este dspersó de u sólo dato. Uversdad Nacoal de Colomba 5
44 Métodos Numércos Ua "mejor" líea a través de los putos debe mmzar la suma de los errores o resduos, es decr: m [ e j Y a a X j ] j ] m[ S embargo, este crtero o sempre es adecuado. Sea el sguete cojuto de datos: Estos datos e u plao cartesao estaría dados por la gura 8. j Al ur el prmer puto co el ultmo, dejaría por uera la maoría de datos. Otra líea també dejaría por uera varos putos. Es decr, el crtero es adecuado para este ejemplo. La regresó leal es ua técca mu poderosa para ajustar datos a ua líea, pero los datos o ecesaramete se comporta de esta maera, por ejemplo: a e b, a b, a. b+ j Fgura 8. Cojuto de datos e el plao. Las téccas de regresó leal se emplea etoces para ajustar drectamete estas ecuacoes a los datos epermetales. Ua estratega que mejora la apromacó es la de mmzar la suma de los cuadrados de los resduos. Mímos cuadrados Para determar los valores de las costates a a, se derva la ecuacó co respecto a cada uo de los coecetes. 6 Lus Carlos Torres Soler
45 Métodos Numércos Sí S a a δs δ a δ S δ a a a a a Se guala las ecuacoes a cero para buscar el mímo de S: a a a a Las ecuacoes se puede epresar como: a + a a + a Se resuelve las ecuacoes smultáeamete obteedo: a a a Puede observarse que cualquer líea derete a la que se calculó, geera ua maor suma de cuadrados de los resduos, por tato, debe cosderarse como la mejor líea a través de los putos. S r Se puede cuatcar la ececa del ajuste medate la órmula S /, llamada error estádar de la apromacó que cuatca la dspersó alrededor de la líea de regresó. Algortmo 6 AlgMCu Teclee úmero de datos, : Para hasta Lea, S S + S S + 6 Algortmo es u procedmeto que descrbe de maera equívoca ua sere ta de pasos a segurse e u orde determado. Su aldad es determar u cojuto de operacoes para resolver u problema o apromar a ua posble solucó. Los algortmos se descrbe por medo de u seudocódgo. Este especca la orma de etrada de los datos la orma que tedrá la salda deseada. Uversdad Nacoal de Colomba 7
46 Métodos Numércos X X + * XY XY + * FPara XM S / YM S / A * XY S * S / * X S * S A YM A * XM Escrba A, A FAlgMCu Ejemplo. Hallar la ecuacó de la líea recta que los ajustaría por mímos cuadrados segú los sguetes datos: , 67.5, a, a. 59.7,.5,.98, 7.75, 67.5 Regresó Polomal Otra alteratva es ajustar polomos a los datos usado regresó polomal. El procedmeto de mímos cuadrados se puede eteder áclmete ajustar datos a u polomo de ésmo grado. a+a +a +a E este caso la suma de los cuadrados de los resduos es: S a a a a +...+a... a Sguedo el msmo procedmeto de los mímos cuadrados, se toma la dervada de la ecuacó co respecto a cada uo de los coecetes del polomo, estas ecuacoes se guala a cero se ordea de tal orma que se obtega u cojuto de ecuacoes ormales: 8 Lus Carlos Torres Soler
47 Métodos Numércos a + a + a a + a + a + a a + s + a + a a + + a + a + a a Los coecetes de a, a, a,...,a las cógtas, se calcula drectamete de los datos observados, por tato el problema se traslada a resolver u sstema de + ecuacoes leales smultáeas. Ejemplo. Ecotrar el polomo de grado que ajuste a los sguetes datos: E la regresó polomal, las codcoes ormales puede estar mal codcoadas, e partcular cuado los sstemas so mu grades; esto lleva a que los coecetes calculados so altamete susceptbles a los errores de redodeo, por tato los resultados so eactos; es u problema potecal... Iterpolacó Polomo de Newto Co recueca se desea coocer putos termedos etre valores coocdos. El método más empleado para este propósto es la terpolacó polomal. U polomo de ésmo grado tee la ormula: p a +a + a +a a Para k+ putos, este uo sólo u polomo de késmo orde que se ajusta a todos los putos; s embargo, este maeras deretes de epresar u polomo de terpolacó. El polomo de terpolacó co derecas dvddas de Newto es la orma más útl, pero també se emplea los de Lagrage. Uversdad Nacoal de Colomba 9
48 Métodos Numércos Iterpolacó Leal La orma más smple de terpolacó, es coectar dos putos co ua líea recta, éste método se llama de terpolacó leal. De la gura 9, empleado trágulos semejates: Luego se tee: + Este método es bueo cuado el tervalo etre los putos es pequeño. Fgura 9.Trágulos semejates. Iterpolacó Cuadrátca S se dspoe de tres datos, la terpolacó debe buscar u polomo de segudo orde. b +b +b Ua maera coveete para este caso es: S, b S, b [ ]/[ ] Nótese, que b represeta la pedete de la líea que ue los putos. Al susttur lo ateror evaluar e, b Lus Carlos Torres Soler
49 Métodos Numércos Uversdad Nacoal de Colomba Este térmo troduce la curvatura de segudo orde e la órmula. b Podemos especcar como se obtee este resultado. + b + b + b b El aálss ateror puede geeralzarse e el ajuste de u polomo de ésmo orde para + putos;,,,..., c +c +c c 7 La orma compacta sería: c j j π Se calcula los coecetes así:. Calcular el polomo e, para teer c. Calcular el polomo e se reemplaza c, c [, ]. Cotuar calculado el polomo e los deretes para obteer c [,, ]... c [,,...,, ] Teédose que: [, j ] j / j, se llama prmera dereca dvdda ta. [, k, j ] [, k ] [ k, j ] / j, seguda dereca dvdda ta, [,,...,, ] [,,..., ] [,,...,, ] /, ésma dereca dvdda ta. Estas derecas se emplea para evaluar los coecetes c, los cuales se susttue e la
50 Métodos Numércos ormula 7 para obteer el polomo de terpolacó co derecas dvddas de Newto. + [, ] + [,, ] [,,...,, ]... Es mportate otar que las órmulas de derecas so recursvas, es decr: a a a a [, ] [,, ] [,,, ] [,,,, ] [, ] [,, ] [,,, ] [, ] [,, ] [, ] Ejercco. Los laboratoros Kg Sstem ha puesto a prueba la ressteca eléctrca del chp XT que ha costrudo. Para cada grupo de chps aplca voltaje, alguos se daña, lo cual después de varas repetcoes del epermeto por cerca de dez grupos de persoas depedetemete u grupo de otro, se obtee datos establecdos e la sguete tabla: Voltaje dañados Polomos de terpolacó de Lagrage El polomo de Lagrage, smplemete es ua reormulacó del polomo de Newto que evta los cálculos de las derecas dvddas, éste se represeta cocretamete como: L E dode: L Π j, j<> [ Co PI se deota el producto de..." Así, es: es: L Lus Carlos Torres Soler j ] L * + + * + *
51 Métodos Numércos Es decr, es: L * j També se tee: L Π [ ] j, j<> j Por ejemplo, para calcular : L * * * * + * La etrapolacó es el proceso de calcular u valor de que cae uera del rago de los putos base coocdos,,...,. Apromacó de ucoes El cálculo e ucoes cuado estas so de dícl maejo o descoocdas se realza e operacoes elemetales por apromacó: utlzado métodos de terpolacó, dervacó, o tegracó umérca. Para apromar geeralmete se dspoe de u cojuto de putos tabulados. Los métodos de Newto, Lagrage, otros más, o requere que los datos esté uormemete espacados, pero e este espaco teresa como soporte matemátco los procesos de derecas tas co datos equespacados. Las derecas tas puede ser:. Progresvas. Regresvas S los datos está gualmete espacados, se tedría: + h h + h h h h Segú sea ascedete o descedetemete la vsualzacó.. Derecas Progresvas Uversdad Nacoal de Colomba
52 Métodos Numércos El operador de derecas progresvas se ota por, que aplcado a ua ucó produce la prmera dereca progresva de ella, así: +h Se puede ecotrar el cojuto de las prmeras derecas progresvas para los + putos coocdos de, teedo e cueta la otacó de + h, + h +, + h + + h + h + h +h +h + h + h + h + h +h +h +h... +h + h + h ++h + h + Aplcado la decó de dereca progresva la potecacó e ella, se tee: [ ] [ ] [ ] [ +h ] [ +h ] + Así, + [ ] / k Es decr: k k k k Y, e geeral, +kh k k Propedades del operador de derecas progresvas: [+g] + g [k] k [ m ] +m Proposcó: S es u polomo de grado ; a, etoces es ua costate es gual a: a! Al cosderar las derecas tas del polomo de Newto co valores equdstates a ua dstaca h: Lus Carlos Torres Soler
53 Métodos Numércos [, ] / /h /h /h [,, ] [, ][, ]/ [ /h] [ /h] /h /h /h [,,, ] [,, ][,, ]/ /6h /!h Geeralzado se tee: [,,,... ] /!h Por tato el polomo de Newto e derecas tas quedaría: + h +! h h+...! h + h h... h. Derecas Regresvas El operador de derecas regresvas se represeta por, que aplcado a ua ucó produce la prmera dereca regresva de ella, así: h por tato, h + h +h h + h +h h +h +h... +h +h h +h + h smlarmete se puede teer: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + luego + [ ] / Uversdad Nacoal de Colomba 5
54 Métodos Numércos es decr, k k k e geeral, kh k k Propedades del operador de derecas regresvas: [+g] + g [k] k [ m ] +m k k El operador Ê el operador Ï Se llama Ê el operador de desplazameto o aumeto se dee como Ê +h, por tato, Ê Ê[Ê] Ê+h +h, Igualmete, Ê Ê[Ê ] Ê+h +h, Y geeralzado, Ê Ê[Ê ] Ê+h +h, Se llama Ï el operador utaro se dee como: Ï Utlzado estos operadores se tee: +h Ê Ï [Ê Ï] Así que, Ê + Ï, o Ê Ï Nuevamete, +h Ê Ï [Ê Ï] Ê ÊÏ + Ï {Ê ÊÏ + Ï } [Ê Ï] Ê Ê Ï + ÊÏ Ï {Ê Ê Ï+ÊÏ Ï } [Ê Ï] [Ê Ï] Por tato, +h Ê [ + Ï] +h Ê [ + Ï] [ + + Ï] +h Ê [ + Ï] [ Ï], así, +h Ê [ + Ï] [ Ï] 6 Lus Carlos Torres Soler
55 Métodos Numércos Es decr, Ê [ Ι + ] Como u caso especal se tee Ê Llamada la ormula de derecas avazada de Newto. Ejemplo. Sea que se tee los datos: Luego Ê [ +Ï] [Ï + * + {}/* + {}/!* ] + + /* + +/6* /* + +/6* Ejemplo. Cosdere los datos X 5 Y Este ejemplo, lleva a determarse que o es adecuado aplcar las derecas tas e todos los casos. Uversdad Nacoal de Colomba 7
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57 Derecacó Las seres de Talor permte la epasó de ucoes por la ormula:! A meudo també se represeta la ucó, al hacer e la ecuacó ateror + +! S e esta ormula se hace kh, k etero, h u cremeto kh kh + kh +kh !! Al hacer, +k + kh, kh kh Etoces queda +kh +kh !! E partcular s k,, o, se halla las sguetes epresoes para h h +h !! h h h ±!! h h +h !! h h h ±...!! De la ecuacó puede hallarse la sguete epresó: + h h [ ] h 6 De la cual, elmado el térmo e parétess, se obtee la epresó apromada [ ] + h
58 Métodos Numércos S gualmete, se despeja de la ormula se tee: [ ] h o al despejar de la órmula, [ ] h así sucesvamete, se puede hallar otras ormulas que so apromacoes de la dervada. h Al sumar la órmula se tee: ++ +h ! h de dode se obtee: [ + ] [ h Igualmete, al sumar las órmulas se obtee: h [ + ] [ h 6 Realzado deretes combacoes se halla órmulas para,,,... alguas de estas operacoes smplcacoes se represeta e la sguete tabla: Der. Mul. Formula error h /h / /h /6 8 9 /h / /5h 5 5 / /6h 6 /6 6 /h 7 / 8 8 /h 5 8 / 8 6 /h 5 9 h h 5 /h / /6h 5 /h /h / 6 /h 5 5 / 6 6 /9h 5 6 h /h 7 / 5 8 7/h 5 8 /h 9 / 6 /h 5 / /h 5 Lus Carlos Torres Soler 5
59 Métodos Numércos h 6 h 5 6 h 5 6 /6h 5 NOTAS.. La suma de los coecetes sempre debe sumar cero. El úmero e egrlla dca el puto pvote, es decr,.. Ua ormula desplazada a la zquerda, se puede trasormar e ua desplazada a la derecha cambado el sgo de los coecetes.. Para hallar ua derecal de orde maor a, se debe emplear ormulas de derecal meor. Se multplca estas, colocado ua ormula vertcal la otra horzotalmete corrda a la derecha ua poscó cada vez. El multplcador resultate es el producto de multplcar los multplcadores de las ormulas. Ejemplo. La ormula dce que, [ ] h Se puede trasormar e: [ +5 + ] h Esta órmula, al multplcarla por la órmula 7, se tee: Por tato la órmula es: [ h Ua ueva órmula para la tercera dervada ] Ejemplo. La ormula 9 dce: [ ] h [ ] h Uversdad Nacoal de Colomba 5
60 Métodos Numércos Al multplcarlas se tee: 6 [ ] + + h Ua ueva órmula para la tercer dervada, que es precsamete la 9 de la tabla. 5 Lus Carlos Torres Soler
61 Itegracó La tegral de ua ucó puede ser calculada tegrado su epasó e seres de Talor termo a térmo: I k +kh zdz kh + zdz +z puede ser substtudo por la sere de Talor + z + z + z + z! +... Es decr, kh hk I k + zdz [ + z z z I + + z k [z + 6 Reemplazado los límtes, se obtee: + z z! + z! +... ] +...]dz kh kh kh I k kh S la prmera dervada es reemplazada por ua ormula de derecacó de m putos dada aterormete, apromadas ormulas I m por I se puede hallar e térmos de los valores pvote de. h Por ejemplo, s se toma la ormula: [ ] +..., que tee putos, + h h + h h se tedría: I h + [ ] h 6 kh
62 I h h h h + h + h h h h h h I h h h 6 h h I [ + + ] +... Por lo cual, ua ormula apromada de tegracó es: h h I [ + + ] co e +... E especal para, se halla la regla trapezodal h I [ Para : h I [9 + + ] co h e 9 + ] co e h Cuado es par, es a meudo más coveete tegrar co tras smétrcamete localzadas cerca de +/ I +h \ zdz h + zdz h h h + + zdz h h + + zdz z z z Por Talor + + z + + z ! +! + Así, h h h + zdz 5 z z z z I zdz z h + + +! + h h Es decr: I h Esto permte apromar valores de I m al reemplazar por ormulas de derecacó. Por h ejemplo, s se usa: [ 5 + ] h que tee cuatro putos pvotes, se puede escrbr: ] h [ h + 5! + 5! + h / h /
63 Por tato, I h + h + h [ ] [ 5 h h + ] 9 + I h [ ] h [6 9 5 h ] + Se puede teer e geeral la sguete tabla: No m mult error h h / ' h/ h / '' h/ 5 8 h / h/ 8 5 h / 5 h/ h 5 /7 6 h/ h 5 /7 7 5 h/ /h h/ /h h h ' h h / h/ h / h/ h 5 /9 h/ 8 8 h / h/ h 5 /9 5 h 9/h ' 6 h/ 9 7/h 7 h/ 9 7 9/h 8 h/8 h 5 /8 9 h 8h ' h/ 8 6 8/h h/ h 5 /5 5 h 5 5/h ' 5 h/ /h úmero de rajas, m putos pvotes NOTAS.
64 . Los coecetes subraados dca los putos etre los que se realza la tegracó. Ua ormula desplazada a la derecha da lugar a otra desplazada a la zquerda vrtedo el orde de los coecetes. La suma de los coecetes por el multplcador debe dar gual a h. Las ormulas se puede usar sucesvamete. La órmula, de ua raja, de putos pvotes co multplcador h/, que dce: + h h I d [ ], puede ser, [ ] Ejerccos. Sea los sguetes datos: I. Calcular.,.,.,., 5. co ormulas que tega 5, 6, 7, 8 9 putos pvotes respectvamete. II. Calcular co mímo rajas cada ua de las tegrales.5 z d, z d. III. IV.... Podría evaluar la ucó por Lagrage o Newto. Por ormula avazada de Newto calcular.5
65 Ecuacoes derecales Las ecuacoes compuestas de ua ucó cógta su dervada, se cooce co el ombre de ecuacó derecal. E geeral, ellas epresa el cambo proporcoal de ua varable de sus parámetros 7. E esta seccó os ocuparemos de varos tpos de problemas umércos asocados a las ecuacoes derecales. La varable a derecar e la ecuacó, se dce es la varable depedete. La varable respecto a la cual se va a dervar es la varable depedete. Cuado la ucó clue ua varable depedete, es ua ecuacó derecal ordara; que está e cotraste co las ecuacoes derecales parcales que comprede dos o más varables depedetes. Las ecuacoes derecales se deoma por el orde; ua ecuacó es de orde ésmo s posee ua ésma dervada. E geeral, se escrbe ua ecuacó derecal como:, ', '', ''',... La solucó de ua ecuacó derecal ordara es ua ucó especíca de la varable depedete de los parámetros que satsace la ecuacó. Por ejemplo, se tee la ucó., sabedo que. +, se desea saber cuál es el valor. Esta ucó es seclla de prmer orde hallar su solucó aalítca o es complcado. +, es decr, d + d, luego como, etoces c, luego C Pero para calcular lo solctado se utlza ua apromacó umérca por seres de Talor. 7 Las lees udametales de la ísca, la mecáca, la electrcdad la termodámca, etre otras, se basa e observacoes empírcas que eplca la varacó de las propedades íscas estados de los sstemas. Para escrbr el estado de los sstemas íscos, las lees se epresa e cambos del tempo del espaco.
66 Métodos Numércos h h h Recordado se tee: + h + h !! Se cooce, se puede calcular ' / 8. Se calcula '', ''', v,... hasta dode se desee el error luego se calcula., tomado h., o. co h. Así. +.*/ +. /* +. /6*9/ co error de orde Las dervadas que aparece aquí se calcula a partr de la ecuacó derecal dada: [ + + ], [ +[ ]],.5 Cuáles so las vetajas las desvetajas del método de la sere de Talor? El método depede de dervar repetdamete la ecuacó derecal dada, por cosguete la ecuacó debe teer dervadas parcales de orde. El procedmeto tee ua secllez coceptual precsó mu alta. Ejercco. Sea la ucó., sabedo que. + +, se desea saber cuál es el valor. Ejemplo. Sea [ e + ], co, calcular.,.. e e e ++ e Así que..777, 5 e e + e + e, 5 + e, 5 S se cosdera e la sere de Talor, ; etoces puede escrbrse + +, h. Que es llamda la ormula de Euler EulerCauch o de pedete putual. Esta órmula tee la vetaja de o ecestar gua dervada. S embargo, es ecesaro tomar pequeños valores de h para obteer ua precsó aceptable. 8 Esto se calcula e la msma ecuacó derecal dada. Lus Carlos Torres Soler
67 Métodos Numércos Ejemplo. Sea ' +6 +, co, se puede teer para hasta : 9,5 +,*.5 +* ,.5* [.5 +6*.5 *.5+]* Para la ecuacó + co ;.+.5* ,.5*..5+[/..5 ]* Para la ecuacó [ e + ] ;.+*....+.,.*..+[/e. +]*. Ejercco. Sea e, co. El método se puede mejorar al o tomar ua sola pedete dervada, so u promedo de las dos pedetes que este e los putos +, es decr, co ', co ' + +, +, se tedría e el caso ateror, + +{, + +, + }/ *h, lo que da u valor más apromado. Se cooce como la ormula mejorada de Euler. Ejemplo. Sea +,. + h/ {,+.,.5} Se debe prmero calcular.,.5 por Euler.,.5.5+[/+..5 ]* Etoces.+.[/ ] La solucó umérca de ecuacoes derecales ordaras clue dos tpos de error:. Errores de trucameto causados por la apromacó empleada e el método.. Errores de redodeo debdo a las cras sgcatvas cosderadas. Podemos emplear el método de Euler para tegrar umércamete ua ucó. 9 + Podría cosderarse la ormula de Euler como el resultado de: ; luego h + + h, Uversdad Nacoal de Colomba
68 Métodos Numércos Ejemplo: Sea +.5, calcular la tegral etre co u cremeto de., sedo. +,..5* , d ,....88*.. +.,.*...8* ,.856* * ,.678* *..778 Ejemplo: Sea + +, calcular la tegral etre co u cremeto de., sedo. Al aplcar el método de Euler mejorado, los cálculos de la ecuacó so u poco más letos; s embargo, la vetaja de la solucó cosste e que el método es más estable que el smple de Euler. Métodos de RugeKutta El método de la sere de Talor preseta las vetajas de o requerr algú aálss prevo. Al utlzar el método de Talor de orde 5 debemos dervar sucesvamete hasta hallar. Además, los órdees de precsó so bajos. Para mejorar la precsó se requere ua h pequeña, lo que aumeta el tempo de cálculo provoca errores de redodeo. Los métodos de RugeKutta evade esta dcultad mejora el orde de precsó. El método de RugeKutta de prmer orde cosste e cosderar la ecuacó derecal ordara:,, para calcular + e + + h, dado u valor, se tegra la ecuacó e el tervalo [, + ] + + +, d Por tato, es aplcar u método de tegracó umérca a la tegral del lado derecho de la ecuacó. RugeKutta de segudo orde h h h Sea la sere de Talor + h + h !! Cosderado,, Lus Carlos Torres Soler + +
69 Métodos Numércos E este caso los subídces deota dervadas parcales se ha utlzado repetdamete la regla de la cadea para las dervadas. Los prmeros térmos e la sere de Talor se puede escrbr como: h h h + + h + [ + ] + o h + + [ + h + h ] + o h Podemos elmar las dervadas parcales recurredo a los prmeros térmos de la sere de Talor de dos varables: + h, + k, + h + k + [ h + hk es decr, + h, + k + h +k +o h. + k h h Así que reescrbmos: h, + k+ o h ] +... Por cosguete la órmula para hallar la solucó a la ecuacó derecal es: h h + h +, + + h, + k, h h o + +, + + h, + k, Esta órmula se utlza repetdamete para avazar paso a paso e el proceso. Este método també se llama método de Heu. Cosderado k,, k +ph, +qhk, se escrbe la órmula geeral como + +h/k +h/k geeralzado au más, + + a k +a k h Debédose teer: a +a a p / a q / Debdo a que se tee tres ecuacoes co cuatro cógtas, este umerables solucoes. Al dervar co respecto a este, que es, El método de RugeKutta de segudo orde es détco al método predctorcorrector de Euler, que es u método mu smple. Uversdad Nacoal de Colomba
70 Métodos Numércos S se supoe que a, etoces p q /, es decr: h h + + +, +, Fórmula deomada como método mejorado del polígoo. Ralsto Rabovch determaro escoger a /; es decr h h h + + +, +, Al realzar dervacoes dervacoes se tedría; + + [ + ] + [ + Pero, la etesó de los métodos de RugeKutta se realza e orma aáloga, teédose para u tercer orde: h + + [ k+ k +k ] 6 Dode: k, k +h/, +hk / k +h, hk +hk Smlarmete, podemos descrbr los métodos de RugeKutta de cuarto orde: h + + [ k+ k + k +k ] 6 dode: k, k +h/, +hk / k +h/, hk +h/k k +h, +hk Está órmula es coocda como el básco de RugeKutta de cuarto orde, dado que este úmero to de versoes. Ejercco. Sea los sguetes datos: ] g Lus Carlos Torres Soler
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