Fourier. Series de Fourier

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1 Series de Fourier. Fucioes Periódicas oeido. Serie rigoomérica de Fourier 3. ompoee de direca, fudameal y armóicos 4. Orogoalidad de las fucioes seo y coseo 5. álculo de los coeficiees de la Serie de Fourier 6. Simerías e señales periódicas Preámbulo El aálisis de Fourier fue iroducido e 8 e la héorie aalyiique de la chaleur para raar la solució de problemas de valores e la froera e la coducció del calor. Más de siglo y medio después las aplicacioes de esa eoría so muy basas: Sisemas ieales, omuicacioes, Física modera, Elecróica, Ópica y por supueso, Redes Elécricas ere muchas oras.

2 Fucioes Periódicas Ua Fució Periódica f() cumple la siguiee propiedad para odo valor de. f()f() A la cosae míima para la cual se cumple lo aerior se le llama el periodo de la fució Repiiedo la propiedad se puede obeer: f()f(), dode,±, ±, ±3,... Fucioes Periódicas Ejemplo: uál es el período de la fució f() cos( ) 3 cos( 4)? Solució.- Si f() es periódica se debe cumplir: f( ) cos( ) cos( 3 4 ) f() cos( ) 3 cos( 4) Pero como se sabe cos(xkπ)cos(x) para cualquier eero k, eoces para que se cumpla la igualdad se requiere que /3k π, /4k π Es decir, 6k π 8k π Dode k y k so eeros, El valor míimo de se obiee co k 4, k 3, es decir,4π

3 Fucioes Periódicas Gráfica de la fució f() cos( ) cos( ) f()cos(/3)cos(/4) f() - - 4π Fucioes Periódicas Podríamos pesar que cualquier suma de fucioes seo y coseo produce ua fució periódica. Eso o es así, por ejemplo, cosideremos la fució f() cos( )cos( ). Para que sea periódica se requiere ecorar dos eeros m, ales que πm, π De dode m Es decir, la relació / debe ser u úmero racioal. 3

4 Fucioes Periódicas Ejemplo: la fució cos(3)cos(π3) o es periódica, ya que 3 o es u úmero racioal. 3 π f()cos(3)cos((3pi)) f() Fucioes Periódicas area: Ecorar el periodo de las siguiees fucioes, si es que so periódicas: ) f() se(), dode es u eero. ) f() se (π) 3) f() se()se(π/) 4) f() se( )cos( ) 5) f() se( ) 4

5 Serie rigoomérica de Fourier Alguas fucioes periódicas f() de periodo puede expresarse por la siguiee serie, llamada Serie rigoomérica de Fourier f() ½ a a cos( )a cos( )... Dode π/. Es decir, f () a b se( )b se( )... [a cos( ) b se( )] Serie rigoomérica de Fourier Es posible escribir de ua maera ligeramee diferee la Serie de Fourier, si observamos que el érmio a cos( )b se( ) se puede escribir como a b b se( ) cos( ) a b a b a Podemos ecorar ua maera más compaca para expresar esos coeficiees pesado e u riágulo recágulo: 5

6 Serie rigoomérica de Fourier b a a b θ o lo cual la expresió queda a a a b b b cosθ seθ [ cos θ cos( ) seθ se( ) ] [ cos( θ )] Serie rigoomérica de Fourier Si además defiimos a /, la serie de Fourier se puede escribir como f () [ cos( θ ] ) Así, y a b b θ a a 6

7 area: Serie rigoomérica de Fourier Defiir adecuadamee los coeficiees, y θ, de maera que la serie de Fourier se pueda escribir como f () [ se( θ ] ) ompoees y armóicas Así, ua fució periódica f() se puede escribir como la suma de compoees siusoidales de diferees frecuecias. A la compoee siusoidal de frecuecia : cos( θ ) se le llama la eésima armóica de f(). A la primera armóica () se le llama la compoee fudameal y su periodo es el mismo que el de f() A la frecuecia πf π/ se le llama frecuecia agular fudameal. 7

8 ompoees y armóicas A la compoee de frecuecia cero, se le llama compoee de corriee direca (cd) y correspode al valor promedio de f() e cada periodo. os coeficiees y los águlos θ so respeciva-mee las ampliudes y los águlos de fase de las armóicas. ompoees y armóicas Ejemplo: a fució omo ya se mosró iee u periodo 4π, por lo ao su frecuecia fudameal es / rad/seg. ompoee fudameal es de la forma: *cos(/). ercer armóico: cos(3/)cos(/4) uaro armóico: os(4/)cos(/3) f() f() cos( ) cos( ) f()cos(/3)cos(/4) - 4π

9 ompoees y armóicas Ejemplo: omo puede verse, la fució aerior iee aas pares posiivas como egaivas, por lo ao su compoee de cd es cero, e cambio iee aas pares arriba como abajo de por lo ao, su compoee de cd es. f() cos( ) cos( ) 3 4 f() 3 - f()cos(/3)cos(/4) - 4π ompoees y armóicas area: uál es la compoee fudameal, las armóicas disias de cero y la compoee de direca de a) f() se b) f() cos? Jusifícalo además mosrado la gráfica de las fucioes y marcado e ellas el periodo fudameal y la compoee de cd. 9

10 Orogoalidad de seos y coseos Se dice que u cojuo de fucioes f k () so orogoales e el iervalo a<<b si dos fucioes cualesquiera f m (), f () de dicho cojuo cumple b f a m ()f ()d r para para m m Orogoalidad de seos y coseos Ejemplo: las fucioes y so orogoales e el iervalo < <, ya que d 3 d 4 4 Ejemplo: as fucioes se y cos so orogoales e el iervalo π / < < π /, ya que π se secosd π π π

11 area: Orogoalidad de seos y coseos Dar u ejemplo de u par de fucioes que sea orogoales e el iervalo: a) << b) <<π Orogoalidad de seos y coseos Auque los ejemplos aeriores se limiaro a u par de fucioes, el siguiee es u cojuo de ua ifiidad de fucioes orogoales e el iervalo - / << /.,cos, cos, cos3,...,se,se,se3,... (para cualquier valor de π / ). Para verificar lo aerior podemos probar por pares:.- f() s. cos(m ): se(m) cos(m )d m / / Ya que m es u eero. / se(m/) se(mπ) m m /

12 Orogoalidad de seos y coseos.- f() s. se(m ): cos(m) se(m)d m / / m 3.- cos(m ) s. cos( ): / / [cos(m /) - cos(m /)] / para m cos(m)cos()d / / para m Orogoalidad de seos y coseos 4.- se(m ) s. se( ): / para m se(m)se()d / / para m 5.- se(m ) s. cos( ): / se(m )cos()d / para cualquier m,

13 Orogoalidad de seos y coseos Para calcular las iegrales de los casos 3, 4 y 5, so úiles las siguiees ideidades rigooméricas: cos A cos B ½[cos(AB)cos(A-B)] se A se B ½[-cos(AB)cos(A-B)] se A cos B ½[se(AB)se(A-B)] Además: se θ ½ (-cosθ) cos θ ½ (cosθ) álculo de los coeficiees de la Serie Dada ua fució periódica f() cómo se obiee su serie de Fourier? f () a [a cos( ) b se( )] Obviamee, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficiees a,a,a,...,b,b,... Eso se puede resolver cosiderado la orogoalidad de las fucioes seo y coseo comeada aeriormee. 3

14 álculo de los coeficiees de la Serie Muliplicado ambos miembros por cos( ) e iegrado de / a /, obeemos: / a f () cos( )d,,,3,... / Similarmee, muliplicado por se( ) e iegrado de / a /, obeemos: / b f ()se ( )d,,3,... / Similarmee, iegrado de / a /, / obeemos: a f () d / álculo de los coeficiees de la Serie El iervalo de iegració o ecesia ser simérico respeco al orige. omo la orogoalidad de las fucioes seo y coseo o sólo se da e el iervalo de / a /, sio e cualquier iervalo que cubra u periodo compleo: (de a, co arbirario) las fórmulas aeriores puede calcularse e cualquier iervalo que cumpla ese requisio. 4

15 álculo de los coeficiees de la Serie Ejemplo: Ecorar la Serie de Fourier para la siguiee fució de periodo : f()... - / /... - Solució: a expresió para f() e / << / es f () para < < para < < álculo de los coeficiees de la Serie / oeficiees a : a / f ()cos( ) d / cos()d cos() d / / se() se( / ) para 5

16 álculo de los coeficiees de la Serie oeficiee a : / a f () d / / d d / / / álculo de los coeficiees de la Serie / oeficiees b : b f ()se( / ) d / se()d se() d / / cos() cos( / ) π [( cos(π)) (cos(π) ) ] π [ ( ) )] para 6

17 álculo de los coeficiees de la Serie Serie de Fourier: Fialmee la Serie de Fourier queda como [ se( ) se(3 ) se(5 )...] 4 f () 3 5 π E la siguiee figura se muesra: la compoee fudameal y los armóicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de esos primeros cuaro érmios de la serie para π, es decir, : álculo de los coeficiees de la Serie.5 ompoees de la Serie de Fourier ompoees Suma fudameal ercer armóico quio armóico sepimo armóico 7

18 álculo de los coeficiees de la Serie area: Ecorar la serie de Fourier para la siguiee señal seoidal recificada de media oda de periodo π. f() Seoidal recificada de media oda Fucioes Pares e mpares Ua fució (periódica o o) se dice fució par (o co simería par) si su gráfica es simérica respeco al eje verical, es decir, la fució f() es par si f() f(-) f() π π π π 8

19 Fucioes Pares e mpares E forma similar, ua fució f() se dice fució impar o co simería impar, si su gráfica es simérica respeco al orige, es decir, si cumple lo siguiee: -f() f(-) f() π π π π Fucioes Pares e mpares Ejemplo: as siguiees fucioes so pares o impares? f() / g() /( ), Solució: omo f(-) --/ -f(), por lo ao f() es fució impar. omo g(-)/((-) ) /( )g(), por lo ao g() es fució par. 9

20 Fucioes Pares e mpares Ejemplo: a fució h()f( ) es par o impar?, dode f es ua fució arbiraria. Solució: Sea g(), Eoces h()f(g()) Por lo ao h(-) f(g(-)), Pero g(-)(-) g(), fialmee h(-)f(g())h(), por lo ao h() es fució par, si imporar como sea f(). Fucioes Pares e mpares Ejemplo: De acuerdo al ejemplo aerior, odas las siguiees fucioes so pares: h() se ( ) h() exp( )5/ ( ) h() cos ( ) h() ( )-( )/ ec... Ya que odas iee la forma f( )

21 Fucioes Pares e mpares omo la fució se( ) es ua fució impar para odo y la fució cos( ) es ua fució par para odo, es de esperar que: Si f() es par, su serie de Fourier o coedrá érmios seo, por lo ao b para odo Si f() es impar, su serie de Fourier o coedrá érmios coseo, por lo ao a para odo Fucioes Pares e mpares Por ejemplo, la señal cuadrada, ya aalizada e u ejemplo previo: f()... - / /... - Es ua fució impar, por ello su serie de Fourier o coiee érmios coseo: 4 () π [ se( ) se(3 ) se(5 )...] f 3 5

22 Filro: ircuio que acúa de forma seleciva sobre las disias compoees armóicas de ua señal, segú sea su frecuecia. Puede ser: Frecuemcia de core: a) Paso baja (wc) max/ b) Paso ala c) Paso bada d) Elimia bada Ejemplo: R vo Señal vs ( ) si( φ) periódica, o s - armóica o ( ) co S j R Aplicamos el pricipio de superposició: Si supoemos que sólo acúa el armóico -ésimo, jφ j φ o ( ) e e φ a j ( ) v o ( ) vo ( ) si θ co θ φ a Erada oda cuadrada y filro co : R vo s x x -3

23 Ejemplo : s - R vo o ( ) co S j R << >> ( ) j log ( ), ϕ π ( ) j j log ( ) log π ( ) j 4 log ( ) log ( ) log( ) (reca de pediee db/década) ( ) 3 db,, ϕ ϕ π π 4 (db) -6 log(/ ) c E-3,, Fase (rad) log(/ ) c E-3,, π / Respuesa paso baja Ejemplo : s - R vo o ( ) co S j j R >> j ( ) j log ( ), ϕ j π << ( ) j j π log ( ) log( ) log( ), ϕ (reca de pediee db/década) j π π π ( ) j 4 4 π log ( ) log( ) 3 db, ϕ 4 (db) Fase (rad) log(/ ) E-3,, c π / Respuesa paso ala E-3,, log(/ ) c 3

24 Ejemplo 3: s - R vo ( ) R, δ ( ) jδ Frecuecia de resoacia O Asíoas: << ( ) >> ( ) π log ( ) 4log( ) 4log( ) (Reca de pediee -4 db/década) d ( ) Máximo: ( ), d max 4 δ δ max, max δ < max δ, max δ δ S j R jr j (db) δ δ δ δ. δ -8,, log(/ ) Fase (rad) δ. π,, log(/ ) Ejemplo 4: s - R vo jδ ( ) R jδ δ R R Máximo e : ( ) Asíoas: << ( ) jδ >> ( ) jδ () Recas de pediee db/década y db/década que se cora e log( δ ) Acho de bada: δ ( ) 4 δ Dos solucioes: y H Si δ << ( δ ), ( δ ) H BW H δ Q, Q R R Q Facor de calidad (db) - -4 π / Fase (rad) 3 db δ δ δ. Respuesa paso bada δ δ. δ -6,, log(/ ) π /,, log(/ ) 4

25 4.7.- Poecia e el régime siusoidal permaee. Poecia aciva y reaciva. Facor de poecia Poecia isaáea: p ( ) i( ) v( ) Poecia media o aciva: P p( ) i( ) v( ) d v( ) cos( ), i( ) cos( θ) p( ) cos( )cos( θ) m m [ cos ( )cosθ cos( )si( ) siθ ] m m p( ) m m cos ( ), cos( )si( ) p( ) m m cosθ P cosθ rms rms cosθ Facor de poecia o fasores: jθ jθ Defiimos el fasor Poecia Aparee: * S S mm e rms rmse ( Si jθ, e S ) * rms Poecia aciva: P Re S rms Poecia reaciva: Q m S rms rms [ ] rms cosθ [ ] siθ rms Resisor: θ P rms rms, Q odesador: π θ P, Q rms rms ducor: π θ P, Q rms rms Acoplamieo magéico. rasformador lieal Exise acoplamieo magéico ere dos o más iducores que compare u úcleo comú: la corriee que circula por uo de ellos geera u campo magéico e el ierior del úcleo. Si el flujo de ese campo magéico es variable e el iempo, iduce ua diferecia de poecial e los demás iducores El elemeo resulae del acoplamieo de dos o más iducores se llama rasformador El rasformador es lieal si las caracerísicas de su úcleo o depede del valor del campo magéico que fluye e su ierior di di M k i i v M Modelo: d d k di di N v M v v d d N rasformador si pérdidas de flujo: k o fasores: jm jm M 5

26 6 - N : N jm jm ( ) jm jm ( ) ( ) ( ) k M jm jm ( ) ( ) k jm ( ) k j M jm rasformador si pérdidas: ( ) k M N N M rasformador ideal: k, >> N N M mpedacia visa desde el primario e u rasformador ideal:

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