Tema II: Interpolación. Polinomios de Lagrange Diferencias Divididas Interpolación Lineal

Transcripción

1 Poliomios de Lagrage Dierecias Divididas Iterpolació Lieal

2 Deiició: es el cálculo de valores para ua ució tabulada, e putos que o se tiee Posició X =?? Tiempo

3 Supogamos la cúbica de la siguiete orma: a b c d Es posible costruir el siguiete sistema de ecuacioes, para hallar los coeicietes descoocidos Si = : a b c d = 4 Si = 7: a7 b7 c7 d = 78 Si = : a b c d = Si = 48: a48 b48 c48 d = 8

4 a b c d = 4 968a 79b 7c d = 78 77a 4b c d = 59a 4b 48c d = 8 Resolviedo el sistema obteemos: Obteiédose el Poliomio: Para = = a = -575 b = 6495 c = -677 d = 4499

5 Poliomios de Lagrage = ρ

6 Tema II: Iterpolació Poliomios de Lagrage Para = 48 8 ρ = =

7 Poliomios de Lagrage Posició Poliomio de Iterpolació Curva Real Zoom Tiempo

8 Tema II: Iterpolació Poliomios de Lagrage ρ = Epasió de Serie de Taylor?

9 Poliomio de Taylor Cualquier ució cotíua se puede aproimar su valor, mediate la Epasió de Series de Taylor!! '' ' = mediate la Epasió de Series de Taylor! =

10 Poliomio de Taylor Ejemplo: Calcular la raíz de 5 mediate aproimacioes, por epasió lieal e series de Taylor Si = 5, etoces, 5 = = 5 Sea eiste u valor para el cual es cero

11 Poliomio de Taylor Error de Trucamieto Supogamos que es La epasió lieal de = ' R Igualado a cero y despejado, Como: = 5 ' = = Etoces: ' Este es el valor para el cual = 5 = Tiede a coverger si el X se aproima al X que se desea hallar

12 Poliomio de Taylor = 5 ' = X X X X = X X / X X X

13 Poliomio de Taylor = Ejercicio: Calcular el valor de mediate aproimacioes, por epasió lieal e series de Taylor Si =, etoces, = Sea = eiste u valor para el cual es cero

14 Poliomio de Taylor = Ejercicio: Calcular el valor de mediate aproimacioes, por epasió lieal e series de Taylor = Si, etoces, = = Sea eiste u valor para el cual es cero = ' = ' =

15 Poliomio de Taylor = ' = X X X X = X X / X X X

16 Poliomios de Lagrage = ρ

17 Poliomios de Lagrage U Algoritmo Diseño Descedete Solicitar Datos Calcular Poliomio Escribir Resultados

18 Poliomios de Lagrage Solicitar Datos Iicio Leer, Xit Mietras i <= - i=i Leer Xi, i Fi

19 Calcular Poliomio de Lagrage i = ρ j

20 Calcular Poliomio de Lagrage Iicio Mietras i <= - L = j = Mietras j <= - i j No j = j Si L=L* Xit-Xj Xi j it = it L * i i = i Fi

21 Poliomios de Lagrage Escribir Resultado

22 Dierecias Divididas ρ = a a a a

23 Dierecias Divididas Para determiar las a i se determia usado lo que se cooce como dierecias divididas a = [, ] = Primera dierecia dividida Etre y [ s, t ] = t t s s Notació geeral de Dierecia dividida de primer orde

24 Dierecias Divididas ], [ ], [ Dierecia dividida ],, [ a = = De segudo orde etre,, Notació geeral de Dierecia dividida de orde superior ],,, [ ],,, [ ], [ a = =

25 Dierecias Divididas ρ = a a a a = = ρ = a ρ a = a

26 Dierecias Divididas [] [] ρ = [] [ ] Siedo: = [] [, ] [ ] [, = ]

27 Tema II: Iterpolació Ejemplo X i i [ i, i ] [ i, i, i ] [ i, i, i, i ] [] [] [] [] [] []

28 Dierecias Divididas Sustituyedo: ρ [] [] [] = [ ] ρ = =

29 Dierecias Divididas Sustituyedo: = Para = ρ =

30 Dierecias Divididas Ejercicio: Que pasa si agrego u puto, Calcular el valor iterpolado para =

31 Dierecias Divididas X i i [ i] i [ i] i [ i] i [ i4] i

32 Dierecias Divididas ρ [] [] [] = [ ] ρ =

33 Dierecias Divididas Para = ρ 4 = 98

34 Tema II: Iterpolació Ejemplo Y si está desordeados los X i? 48 8 X i i [ i, i ] [ i, i, i ] [ i, i, i, i ] [] [] [] [] [] 4 8 [] 7 78

35 Dierecias Divididas Sustituyedo: ρ [] [] [] = [ ] ρ = =

36 Dierecias Divididas Sustituyedo: = Para = ρ =

37 Iterpolació Lieal Deiició: La iterpolació lieal es la orma más simple de iterpolar Cosiste e aproimar la ució descoocida mediate ua ució lieal, es decir, si los putos coocidos de la ució so:,,,,,,, dode < < <, La gráica de la ució lieal a trozos estará ormada por los segmetos que ue cada puto co el siguiete

38 Iterpolació Lieal Posició X =?? Tiempo

39 La ecuació geeral de ua recta es: y=mb Si determiamos los valores de m y b, habremos calculado la ecuació Como la recta pasa por el puto 7, 78 y por,, se tiee el siguiete sistema de ecuacioes: 78=7 mb y = mb Resolviedo teemos: m= 84 y b=-488

40 La ecuació de la recta es: = Para = =

41 Iterpolació Lieal Usado triágulos semejate

42 Iterpolació Lieal Posició X =?? 78 = = Tiempo =

43 Tema II: Iterpolació 7 78 Poliomios de Lagrage ρ = ρ = ρ =