Curso de Métodos Numéricos. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Transcripción

1 Curso de Métodos Numéricos. Ecuaciones diferenciales ordinarias Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Universidad: ITESM CEM Fecha: Lunes, 11 de noviembre de 2014

2 Tópicos 1 Introducción 2 Método de Euler Ejemplo Error de truncamiento del método de Euler 3 Método de Heun Ejemplo 2 4 Programa MATLAB

3 Tópicos 1 Introducción 2 Método de Euler Ejemplo Error de truncamiento del método de Euler 3 Método de Heun Ejemplo 2 4 Programa MATLAB

4 Ecuaciones diferenciales ordinarias En esta clase nos dedicaremos a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma: dy = f(x, y) dx Anteriormente se utilizó un método numérico para resolver una ecuación como la anterior (caso de la velocidad del paracaidista). En este caso se utilizo el método: Nuevo valor = valor anterior + pendiente tamaño

5 Ecuaciones diferenciales ordinarias En esta clase nos dedicaremos a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma: dy = f(x, y) dx Anteriormente se utilizó un método numérico para resolver una ecuación como la anterior (caso de la velocidad del paracaidista). En este caso se utilizo el método: Nuevo valor = valor anterior + pendiente tamaño

6 Ecuaciones diferenciales ordinarias En esta clase nos dedicaremos a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma: dy = f(x, y) dx Anteriormente se utilizó un método numérico para resolver una ecuación como la anterior (caso de la velocidad del paracaidista). En este caso se utilizo el método: Nuevo valor = valor anterior + pendiente tamaño

7 Ecuaciones diferenciales ordinarias Matemáticamente: y i+1 = y i + φh φ es la pendiente estimada. La pendiente estimada se utiliza para extrapolar desde el valor anterior y i = y(x i ) a un nuevo valor y i+1 = y(x i+1 ) a una distancia h. Esta fórmula se aplica paso a paso para buscar los valores de y posteriores. Todos los métodos de un paso que se expresen de esta forma se diferencian solamente por la manera en la que se estime la pendiente.

8 Ecuaciones diferenciales ordinarias Matemáticamente: y i+1 = y i + φh φ es la pendiente estimada. La pendiente estimada se utiliza para extrapolar desde el valor anterior y i = y(x i ) a un nuevo valor y i+1 = y(x i+1 ) a una distancia h. Esta fórmula se aplica paso a paso para buscar los valores de y posteriores. Todos los métodos de un paso que se expresen de esta forma se diferencian solamente por la manera en la que se estime la pendiente.

9 Ecuaciones diferenciales ordinarias Matemáticamente: y i+1 = y i + φh φ es la pendiente estimada. La pendiente estimada se utiliza para extrapolar desde el valor anterior y i = y(x i ) a un nuevo valor y i+1 = y(x i+1 ) a una distancia h. Esta fórmula se aplica paso a paso para buscar los valores de y posteriores. Todos los métodos de un paso que se expresen de esta forma se diferencian solamente por la manera en la que se estime la pendiente.

10 Ecuaciones diferenciales ordinarias Matemáticamente: y i+1 = y i + φh φ es la pendiente estimada. La pendiente estimada se utiliza para extrapolar desde el valor anterior y i = y(x i ) a un nuevo valor y i+1 = y(x i+1 ) a una distancia h. Esta fórmula se aplica paso a paso para buscar los valores de y posteriores. Todos los métodos de un paso que se expresen de esta forma se diferencian solamente por la manera en la que se estime la pendiente.

11 Métodos de un paso Método de Euler Método de Heun

12 Tópicos 1 Introducción 2 Método de Euler Ejemplo Error de truncamiento del método de Euler 3 Método de Heun Ejemplo 2 4 Programa MATLAB

13 Método de Euler Dada la ecuación diferencial: dy = f(x, y) dx Se puede encontrar la solución como: y i+1 = y i + f(x i, y i ) h Esta fórmula se conoce como método de Euler.

14 Método de Euler

15 Ejemplo Ejemplo Con el método de Euler resuelva numéricamente la ecuación: dy dx = 2x3 + 12x 2 20x desde x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1. Calcule el error relativo verdadero si se conoce que la solución exacta es: y = 0.5x 4 + 4x 3 10x x + 1

16 Ejemplo Solución ejemplo clear ; clc ; h =0.5; x = [ 0 : h : 4 ] ; n=length ( x ) ; f = i n l i n e ( 2 xˆ3+12 xˆ2 20 x +8.5, x, y ) ; y exacto= i n l i n e ( 0.5 x ˆ4+4 xˆ3 10 x ˆ2+8.5 x+1, x ) ; y ( 1 ) =1; ev ( 1 ) =abs ( y ( 1 ) y exacto ( x ( 1 ) ) ) / y exacto ( x ( 1 ) ) 100; for i =2:n y ( i ) =y ( i 1)+ f ( x ( i 1), y ( i 1) ) h ; ev ( i ) =abs ( y ( i ) y exacto ( x ( i ) ) ) / y exacto ( x ( i ) ) 100; end s a l i d a =[ x y ev ] ; disp ( s a l i d a ) e z p l o t ( y exacto, [ 0, 4, 0, 7. 5 ] ) ; hold on plot ( x, y, o )

17 Ejemplo Solución ejemplo x y E r r o r

18 Ejemplo Solución ejemplo

19 Ejemplo Solución ejemplo

20 Error de truncamiento del método de Euler Error de truncamiento Serie de Taylor y i+1 = y i + y ih + y i 2! h2 + donde h = x i+1 x i. Pero y i = f(x i, y i ), entonces: y i+1 = y i + f(x i, y i )h + f (x i, y i ) h 2 + 2! Error de truncamiento ε t = f (x i, y i ) h 2 2!

21 Error de truncamiento del método de Euler Error de truncamiento Serie de Taylor y i+1 = y i + y ih + y i 2! h2 + donde h = x i+1 x i. Pero y i = f(x i, y i ), entonces: y i+1 = y i + f(x i, y i )h + f (x i, y i ) h 2 + 2! Error de truncamiento ε t = f (x i, y i ) h 2 2!

22 Error de truncamiento del método de Euler Error de truncamiento Serie de Taylor y i+1 = y i + y ih + y i 2! h2 + donde h = x i+1 x i. Pero y i = f(x i, y i ), entonces: y i+1 = y i + f(x i, y i )h + f (x i, y i ) h 2 + 2! Error de truncamiento ε t = f (x i, y i ) h 2 2!

23 Error de truncamiento del método de Euler Solución ejemplo clear ; clc ; h =0.5; x = [ 0 : h : 4 ] ; n=length ( x ) ; f = i n l i n e ( 2 xˆ3+12 xˆ2 20 x +8.5, x, y ) fd= i n l i n e ( d i f f ( sym ( 2 xˆ3+12 xˆ2 20 x +8.5 ) ), x, y ) ; y exacto= i n l i n e ( 0.5 x ˆ4+4 xˆ3 10 x ˆ2+8.5 x+1, x ) ; y ( 1 ) =1; for i =2:n y ( i ) =y ( i 1)+ f ( x ( i 1), y ( i 1) ) h ; ev ( i ) =abs ( y ( i ) y exacto ( x ( i ) ) ) / y exacto ( x ( i ) ) 100; et ( i ) =fd ( x ( i 1), y ( i 1) ) /2 h ˆ 2 ; end s a l i d a =[ x ( 2 : n ) y ( 2 : n ) ev ( 2 : n ) et ( 2 : n ) ] ; disp ( s a l i d a )

24 Error de truncamiento del método de Euler Solución ejemplo con h = 0.5 x y ErrorVer ErrorTrun

25 Error de truncamiento del método de Euler Solución ejemplo con h = 0.25 x y ErrorVer ErrorTrun

26 Tópicos 1 Introducción 2 Método de Euler Ejemplo Error de truncamiento del método de Euler 3 Método de Heun Ejemplo 2 4 Programa MATLAB

27 Método de Heun Dada la ecuación diferencial: dy = f(x, y) dx Se puede encontrar la solución como: y 0 i+1 = y i + f(x i, y i ) h y i+1 = y i + f(x i, y i ) + f(x i+1, y 0 i+1 ) 2 h

28 Método de Heun

29 Ejemplo 2 Ejemplo 2 Con el método de Heun resuelva numéricamente la ecuación: dy dx = 2x3 + 12x 2 20x desde x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1. Calcule el error relativo verdadero si se conoce que la solución exacta es: y = 0.5x 4 + 4x 3 10x x + 1

30 Ejemplo 2 Solución ejemplo 2 clear ; clc ; h =0.5; x = [ 0 : h : 4 ] ; n=length ( x ) ; f = i n l i n e ( 2 xˆ3+12 xˆ2 20 x +8.5, x, y ) ; y exacto= i n l i n e ( 0.5 x ˆ4+4 xˆ3 10 x ˆ2+8.5 x+1, x ) ; y ( 1 ) =1; ev ( 1 ) =abs ( y ( 1 ) y exacto ( x ( 1 ) ) ) / y exacto ( x ( 1 ) ) 100; for i =2:n y0 ( i ) =y ( i 1)+ f ( x ( i 1), y ( i 1) ) h ; y ( i ) =y ( i 1)+( f ( x ( i 1), y ( i 1) ) + f ( x ( i ), y0 ( i ) ) ) /2 h ; ev ( i ) =abs ( y ( i ) y exacto ( x ( i ) ) ) / y exacto ( x ( i ) ) 100; end s a l i d a =[ x y ev ] ; disp ( s a l i d a ) % e z p l o t ( y exacto, [ 0, 4, 0, 7. 5 ] ) ; % hold on plot ( x, y, )

31 Ejemplo 2 Solución ejemplo 2 x y ErrorVerd

32 Ejemplo 2 Solución ejemplo 2

33 Tópicos 1 Introducción 2 Método de Euler Ejemplo Error de truncamiento del método de Euler 3 Método de Heun Ejemplo 2 4 Programa MATLAB

34 Método de Euler function edoeuler ( F, x0, xf, y0, h ) f = i n l i n e ( F, x, y ) ; x =[ x0 : h : x f ] ; n = length ( x ) ; i f x ( n )<x f x ( n+1) = x f ; n = n+1; end y = y0 ones ( n, 1 ) ; for i = 1 : n 1 y ( i +1) = y ( i ) + f ( x ( i ), y ( i ) ) ( x ( i +1) x ( i ) ) ; end fd= i n l i n e ( d i f f ( sym ( F ) ), x, y ) ; for i i =1:n et ( i i ) =fd ( x ( i i ), y ( i i ) ) /2 h ˆ2 end s a l i d a =[ x y et ] ; disp ( s a l i d a )

35 Solución ejemplo x y

36 Método de Heun function edoheun ( F, x0, xf, y0, h ) f = i n l i n e ( F, x, y ) ; x =[ x0 : h : x f ] ; n = length ( x ) ; i f x ( n )<x f x ( n+1) = x f ; n = n+1; end y = y0 ones ( n, 1 ) ; for i = 1 : n 1 y00 ( i +1)=y ( i ) + f ( x ( i ), y ( i ) ) ( x ( i +1) x ( i ) ) ; y ( i +1) = y ( i ) + ( f ( x ( i ), y ( i ) ) + f ( x ( i +1), y00 ( i +1) ) ) / 2 ( x ( i +1) x ( i ) ) ; end s a l i d a =[ x y ] ; disp ( s a l i d a )

37 Solución ejemplo x y