Geometría Analítica / Cónicas

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1 Geometría Analítica / Cónicas Para optimizar el desarrollo de ejercicios de Geometría Analítica, especialmente en el manejo de las Ecuaciones de las Cónicas, recomiendo un recurso algebraico súper sencillo de trabajar, y que nos evita tener que aprender tantas fórmulas en un área que así lo requiere. Éste método se llama Completación de Cuadrado de Binomio, para trinomios de la forma x bx c, que son prácticamente usados en TODAS LAS ECUACIONES DE LAS CÓNICAS. Naturalmente como todo concepto matemático, es imprescindible aprenderse las Ecuaciones Principales, y muy en particular, identificar qué significa cada elemento de ellas. Además, es fundamental llevar estos elementos a la gráfica, ya que permite visualizar el fenómeno, y más aún, comprenderlo. Partamos por lo primero. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS DE BINOMIO Ejemplo 1: Sea la expresión x 6x. Podemos ver que el término que falta es c, o también llamado término libre (debido a que está libre de variables). El procedimiento es el siguiente: 6 1. Dividimos el coeficiente de x por dos, y el resultado lo elevamos al cuadrado, es decir,. Ese resultado, 9, corresponde al término que le falta al binomio que se pueda factorizar como un cuadrado de binomio. Entonces: x 6x 9 x 3 x x para ser un trinomio perfecto, es decir, 3. Como un antecedente práctico, podemos apreciar que el resultado DE LA DIVISIÓN, es decir en este caso 3, es el mismo valor que corresponde en la factorización. Formalizando esto, podemos decir que: b b Si x bx c es un trinomio perfecto, es decir c, entonces x bx c x N, donde N Ejemplo : Sea la expresión siguiente: y 14y. Podemos ver que el término que falta es el término libre. El procedimiento es el Dividimos el coeficiente de y por dos, y el resultado lo elevamos al cuadrado, es decir,. Ese resultado, 49, corresponde al término que le falta al binomio y decir, que se pueda factorizar como un cuadrado de binomio. Entonces: Ejemplo 3: y 14y 49 y 7 Qué ocurre si el coeficiente de x o y es impar? (Pregunta hecha en clase) y para ser un trinomio perfecto, es Se procede de la misma forma, evitando dividir el resultado de la división. Por ejemplo, debemos completar el cuadrado de binomio para la expresión x 13x, entonces: Aplicación a la Geometría Analítica x 13x x 4 4 Lo complejo de la Geometría Analítica es interpretar las Ecuaciones de las Cónicas, especialmente las Ecuaciones Generales. Pondré a vuestra disposición una serie de ejercicios de cada una de ellas, que les permitirán reducir el trabajo mediante la aplicación del álgebra básica y la interpretación de las ecuaciones generales, a interpretar la ecuación principal, que es donde aparecen todos los elementos básicos de las curvas.

2 CIRCUNFERENCIA La Circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado centro. x h y k r Ecuación Principal: Centro: C h,k Radio: r Ejercicio: Determine los elementos principales de la circunferencia de ecuación general x y 6x 4y 3 0. x y 6x 4y 3 0 Ordenamos la Ecuación x 6x y 4y 3 Completamos los cuadrados de binomio 6 x : y : 4 x 6x 9 y 4y Debemos también agregar, al otro lado de la ecuación, las mismas cantidades utilizadas en la completación de cuadrado de binomio, de modo de mantener la igualdad. Por lo tanto, tendríamos lo siguiente: C 3, x 6x 9 y 4y x 3 y 16 x 3 y 4 r 4 Lo que nos indica que la figura es una circunferencia de centro C 3, y radio r 4, como indica la figura:

3 Ensaya este mismo procedimiento, incluyendo la gráfica, con las siguientes circunferencias de ecuación general: a. b. c. C 1,3 x x y 6y 39 0 r 7 C, 5 x 4x y 10y 7 0 r 6 x 1x y 4y 9 0 C 6, r 11 ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, participantes de la propiedad relativa: que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Ecuación Principal: x h y k a 1 b Centro: C h,k Radios: Focos: Eje x : a Vértices : h a,k y h a,k Eje y : b Vértices : h,k b y h,k b Si a b c a b F1 h c,k, F h c,k Si b a c b a F1 h,k c, F h,k c Ejercicio: Determine los elementos principales de la elipse de ecuación general 16x 49y 160x 94y x 49y 160x 94y 57 0 Ordenamos la Ecuación 16x 160x 49y 94y x 10x 49 y 6y 57 Completamos los cuadrados de binomio 10 x : y : x 10x 5 49 y 6y x 10x 5 49 y 6y x5 16 x 5 49 y / : y

4 x 5 y C 5,3 x 5 y 3 a b 4 c Lo que nos indica que la figura es una elipse de centro C 5,3, radios a 7 y b 4, y distancia del centro a los Focos c 33, como aparece en la figura: Ensaya este mismo procedimiento, incluyendo la gráfica, con las siguientes elipses de ecuación general: a. b. 5x 00x 9y 144y a 3 c 5 9 C 4, 8 b 5 C 1, 3 1x 4x 16y 96y 36 0 a 4 c 16 1 b 1 3 PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, que no pasa por el punto, llamada directriz. Existen dos tipos de parábola que podemos estudiar, y dependen del Eje Cartesiano al cual sea paralelo su Eje de Simetría:

5 Eje de simetría paralelo al Eje y Ecuación Principal x h 4 p y k Vértice V h,k Foco F h,k p Directriz y k p Eje de Simetría x h Ejercicio: Determine los elementos principales de la parábola de ecuación general x 8x 8y 4 0 Ordenamos la Ecuación x 8x 8y 4 0. x 8x 8y 4 Completamos el cuadrado de binomio 8 x : 4 16 x 8x 16 8y 4 16 x 4 8y 8 x 4 8y 1 V 4,1 p x 4 4 y 1 F 4,3 D : y 1 ES : x 4 Lo que indica que la figura es una parábola eje de simetría paralelo al eje y, cuyo vértice está en el punto V 4,1, el foco está en el punto F 4,3, como aparece en la siguiente figura:

6 Eje de simetría paralelo al Eje x Ecuación Principal y k 4 p x h Vértice V h,k Foco F h p,k Directriz x h p Eje de Simetría y k Ejercicio: Determine los elementos principales de la parábola de ecuación general y 4x 6y 11 0 Ordenamos la Ecuación y 4x 6y y 6y 4x 11 Completamos el cuadrado de binomio 6 y : 3 9 y 6y 9 4x 11 9 y 3 4x 0 y 3 4 x 5 V 5, 3 p 1 y x 5 F 4, 3 D : x 6 ES : y 3 Lo que indica que la figura es una parábola de eje de simetría paralelo al eje x, cuyo vértice está en el punto V 5, 3 F 4, 3, como aparece en la siguiente figura:, el foco está en el punto

7 Ensaya este mismo procedimiento, incluyendo la gráfica, con las siguientes parábolas de ecuación general: a. b. V, 3 p 1 y 4x 6y 1 0 F 1, 3 D : x 3 ES : y 3 3 V,4 p 1 y 8x 8y 4 0 F,4 7 D : x ES : y 4 c. d. x x 1y 35 0 F 1,0 V 1, 3 p 3 D : y 6 ES : x 1 x 10x 8y 31 0 F 5,5 V 5,7 p D : y 9 ES : x 5