Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

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1 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Un prolem de ingenio frecuente es: Pensr un número. Sumrle 5. Multiplicr por el resultdo. A lo que se otiene, restrle 9. Dividirlo por. Restrle 8. ECUACIONES Si l respuest es, por ejemplo,, el número pensdo originlmente es 8. Cómo se se? Pr contestr est pregunt, epresemos en lenguje simólico tods ls operciones relizds. Llmémosle l número pensdo originlmente (vlor desconocido verigur). Entonces: Aplicndo ls propieddes conocids de ls operciones entre número reles, otenemos: Por lo tnto, relizr todos los cálculos pedidos equivle simplemente sumrle l número originl. De est mner, restándole es fácil descurir cuál hí sido el número pensdo en principio. Oservemos que pr resolver el prolem utilizmos un iguldd en l que un vlor er desconocido. Muchos prolems se resuelven de mner similr, lo que originó el estudio de ls Ecuciones: Son relciones de iguldd entre cntiddes, lguns de ells desconocids. Por ejemplo: y + = 5 ; + = + 8, + 9 = 7. En prticulr, cundo el vlor desconocido es uno solo, dich ecución l llmmos ecución con un incógnit. Algunos ejemplos de ecuciones con un incógnit son: ) + = 5 8 ) + 0 = 0 c) log = log ( + )

2 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Actividd: Si tom los vlores 6, ó 0, cuáles de ls ecuciones nteriores se cumplen? Cuáles no se cumplen? Podrí determinr todos los vlores de que stisfcen l ecución )? Por qué? A quellos vlores de que stisfcen un determind ecución se los denomin soluciones de l ecución. Por ejemplo: 5 es solución de l ecución + = puesto que 5 + = 5 = 6 ; sin emrgo, no es solución de es ecución puesto que + = 0, mientrs que = y 0. El conjunto solución de un ecución determind puede: tener un solo elemento: por ej. = 6, l únic solución de est ecución es =. Verificrlo. tener un número finito de elementos: por ej. + = 0 tiene como soluciones solmente, y 0. Verificrlo. no tener elementos: por ej. =, y que vimos nteriormente que todo número rel elevdo l cudrdo d como resultdo un número no negtivo. En este cso decimos que el conjunto solución es vcío. tener infinitos elementos: =, puesto que todo número rel es solución de dich ecución. Por qué? Actividd: Se puede encontrr un ecución que teng l número como solución? Se puede encontrr un ecución que teng l número como solución, pero que el conjunto solución pose más de un elemento? Se puede encontrr un ecución que no teng ningun solución en R?...

3 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Se puede decir cuál es el conjunto solución de l ecución + y = 5?... Cundo dos ecuciones tienen el mismo conjunto solución, diremos que dichs ecuciones son equivlentes. Por ejemplo, ls ecuciones + 6 = + 9 y = tienen ms como conjunto solución l {}. En el ejemplo introductorio, lo que hicimos fue encontrr sucesivs ecuciones equivlentes l dd en un principio, es decir, ecuciones que tengn el mismo conjunto solución, de mner tl que resulten más fáciles de resolver que l primer. Así, l ecución equivlente que otuvimos fue + =, mucho más simple de resolver que l ecución originl Cómo podrímos otener ecuciones equivlentes de un dd? Pr esto, nos vlemos de lguns propieddes ásics de ls igulddes: Si,, c y d siguientes: son cutro números reles culesquier, entonces vlen ls propieddes ) Refleividd: =, es decir, todo número es igul sí mismo. ) Simetrí: = =, es decir, ddos dos números y, si el primero es igul l segundo, entonces el segundo tmién es igul l primero. ) Trnsitividd: = = c = c, es decir, si un número es igul otro, y este último es igul un tercer número c, entonces el primero es igul l tercero. ) Uniformidd con l sum: = + c = + c, es decir, si se sum el mismo número mos miemros de un iguldd, se otiene otr iguldd. 5) Uniformidd con el producto: = c = c, es decir, si se multiplicn mos miemros de un iguldd por el mismo número, se otiene otr iguldd. Vemos cómo plicr dichs propieddes en l resolución de lguns ecuciones sencills. Por ejemplo:

4 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones (por l uniformidd con l sum) (por l uniformidd con el producto) Es importnte verificr que el vlor otenido stisfce l ecución porque un error en los cálculos puede conducirnos un solución incorrect Oservción: Qué sucederí si quisiérmos plicr l propiedd uniforme de l multiplicción con un vlor desconocido? Consideremos l ecución = 6 Multipliquemos mos miemros por. Result = 6 Cuál es el conjunto solución de l primer ecución? Y de l segund ecución? Son ecuciones equivlentes? Conclusión: Si mos miemros de un ecución se los multiplic o divide por un mismo número distinto de cero, se otiene un ecución equivlente l primer. Actividd: Determinr si los siguientes pres de ecuciones son equivlentes. Justificr. 5 = y 5 + = + + = 6 y 6 + = = 5 y = 5. ( + 8) = 6 y + 8 =

5 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones. ( + 9) = 8 y + 9 = 8 + Clsificción de ecuciones polinómics Determinr el grdo de cd polinomio del primer miemro y completr: P() = grdo(p()) =... Ecución linel o de primer grdo: = 0 P() = grdo(q()) =... Ecución cudrátic o de segundo grdo: = 0 R() = + grdo(r()) =... Ecución cúic o de tercer grdo: + = 0 S() = n n grdo(s()) =... Ecución de grdo n: n n = 0 Resolución de ecuciones de primer grdo Con ls propieddes vists nteriormente estmos en condiciones de resolver culquier tipo de ecución de primer grdo. Vemos ciertos csos prticulres. Se l ecución linel: 8 = ( + ) Resolución: por propiedd distriutiv: por propiedd uniforme de l sum: operndo: ABSURDO! Qué signific esto? Hremos cometido lgún error durnte el desrrollo? No se cometió ningún error. El surdo provino de que l ecución dd no tiene solución en los números reles, es decir, no eiste ningún vlor de que stisfg l ecución. El conjunto solución de dich ecución es vcío. Se l ecución linel: 0 = 5( ) Resolución:

6 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones operndo: 0 por propiedd uniforme del producto: Oservemos que l ecución equivlente que otuvimos se verific pr culquier vlor de. Esto quiere decir que culquier número rel verific l ecución inicil, es decir, el conjunto solución de dich ecución es infinito. Verificr esto con lgunos ejemplos. Se l ecución linel: 5 = 8 Resolución: por propiedd uniforme de l sum: por propiedd uniforme del producto: En este cso, eiste un único vlor de solución es unitrio. que verific l ecución originl. El conjunto Conclusión: Dd un ecución de primer grdo, ést tiene: ningun solución. un únic solución. infinits soluciones. Resolución de ecuciones de segundo grdo Como hemos visto, un ecución de segundo grdo es de l form: + + c = 0, donde 0,,, c R o culquier epresión equivlente ést. Por qué se clr que 0?...

7 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Ejemplos: = 6, puesto que es equivlente : + 5 = 0 (7 ) =, puesto que es equivlente : = 0 5 =, puesto que es equivlente : = 0 ( + ) = 0, puesto que es equivlente : + + = 0 Vemos un cso prticulr de resolución de un ecución de segundo grdo. Se l ecución: = 0 En primer lugr, etremos como fctor común: ( + ) = 0 Ahor, tenemos que sumr y restr un número pr que en l epresión entre préntesis se forme un trinomio cudrdo perfecto. Este número es 9. Cómo lo otuvimos? Por qué lo summos y restmos? L epresión result: Fctorizndo el trinomio y operndo:.( ) = 0.[( + ) 5 ] = 0 Dividiendo mos miemros por y despejndo el inomio l cudrdo, result: ( + ) = 5 Como mos miemros son positivos, podemos clculr sus ríces cudrds, y se otiene: + = 5 De donde: = 5 =, o ien = 5 = Por lo tnto, l soluciones de l ecución son {, }. Verificrlo. A este procedimiento se lo conoce como completmiento de cudrdos. Apliquemos, hor, el completmiento de cudrdos pr resolver un ecución generl de segundo grdo:

8 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones + + c = 0, donde 0 0 c (podemos hcerlo pues 0 ) En este cso, deemos sumr y restr pr otener un trinomio cudrdo perfecto. 0 c 0 c Dividiendo por, clculndo el denomindor común y despejndo el inomio l cudrdo, result: c c c c c Oservemos que, medinte este desrrollo genérico, hemos conseguido otener un fórmul que nos permite conocer ls soluciones de culquier ecución de segundo grdo, sin tener que plicr el procedimiento de completmiento de cudrdos cd vez que queremos resolver un ecución cudrátic. Est fórmul es l resolvente de l ecución de segundo grdo. Ejemplo: Si queremos hllr ls soluciones de l ecución =, en primer lugr deemos llevrl l form generl + + c = 0, donde 0, es decir, + = 0. En este cso prticulr, tenemos que =, = y c =. Luego, utilizndo l fórmul y vist ls soluciones están dds por:,. Operndo se tiene: 5,, es decir 5 y 5. Vemos qué informción nos puede rindr sore ls soluciones l fórmul pr resolver ecuciones de segundo grdo:

9 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Supongmos que tenemos un ecución de segundo grdo en l que c = 0. Cómo influye esto en el conjunto solución? Supongmos que c < 0. Qué sucede en este cso? Cómo son ls soluciones? Qué sucede, en cmio, cundo c > 0? Cómo son ls soluciones? Oservción: Notemos que l otener ls soluciones de un ecución polinómic de l form + + c = 0, lo que se hce es hllr ls ríces del polinomio P() = + + c. Conocids ls ríces r y r, esto nos permite escriir l polinomio en l form P() = ( r )( r ), es decir, escriirlo totlmente fctorizdo. Recíprocmente, si tenemos un polinomio escrito de l form P() = ( r )( r ), es decir, fctorizdo, semos que r y r son ls soluciones de l ecución ( r )( r ) = 0. Conclusión: Dd un ecución de segundo grdo, ést tiene: ningun solución rel. ( dos soluciones complejs) un únic solución rel. dos soluciones reles distints. Ejemplo: Se el polinomio P() = + 8. Pr hllr ls ríces, plntemos l ecución + 8 = 0 y encontrmos sus soluciones medinte l fórmul resolvente de l ecución de segundo grdo: r =, r =. Luego, el polinomio fctorizdo result: P() = ( )( + ). Actividd Resolver ls siguientes ecuciones: 5 = = 8.( )( + ) = + = 0 ( + ) = + =.( + )

10 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Resolver los siguientes prolems: Juliet empleó l mitd de su dinero en comprr rop y l mitd del resto en pseos. Si ún le quedn $0, cuánto dinero tení? L edd de Plo elevd l cudrdo es igul cinco veces l edd que tendrá dentro de 0 ños. Qué edd tiene Plo? Ecuciones frccionris que se resuelven medinte ecuciones de primer y segundo grdo Llmmos ecuciones frccionris quells de l form P Q 0, donde P() y Q() son polinomios, Q() 0, o quells ecuciones que se pueden llevr est form. Por ejemplo, son ecuciones frccionris: 6 7 pues es equivlente pues es equivlente Intentemos resolver l siguiente ecución frccionri: 0. Pr esto, plicmos ls propieddes y conocids. Multipliquemos mos miemros por +: 0 = 0 = y =. Verificr si y son solución de l ecución originl. Qué sucede? Qué error hemos cometido?... Conclusión:

11 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones P Cundo resolvemos un ecución del tipo 0, deemos descrtr como posiles Q soluciones los vlores de que nuln el denomindor Q(), es decir, los vlores que stisfcen l ecución Q() = 0. Esto se dee que no está definid l división por 0. Actividd Resolver y verificr ls soluciones encontrds: ) ) c) 0 d) 6. 6 ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Anlicemos hor ls ecuciones lineles con dos incógnits. Por ejemplo: y =. Pr encontrr un solución de dich ecución, deemos hllr un pr de números que l stisfg. A diferenci de lo que ocurre con ls ecuciones lineles con un incógnit, en ls ecuciones lineles con dos incógnits siempre se encuentrn infinits soluciones. Notemos que si despejmos l incógnit y en l ecución dd, otenemos y =. Entonces pr cd vlor de encontrmos un vlor de y. Este pr de números (,y) es un de ls infinits soluciones de l ecución dd. Por ejemplo, los siguientes pres de números son solución de l ecución y = : (0, ) ; (, ) ; ( 5,). En efecto, si reemplzmos estos vlores en l ecución inicil dd por tods ls soluciones en l ecución inicil dd y =, veremos que se stisfce l iguldd: 0 ( ) = ; ( ) = ; 5 = A continución epresmos el conjunto formdo por tods ls soluciones de l ecución dd, llmdo el conjunto solución o solución generl: S g = {(, ), R} Otr form de hllr los pres que son solución de l ecución dd es despejndo l vrile oteniendo el conjunto solución S g = {( y,y), y R} Oservemos que mos conjuntos solución son equivlentes, unque estén epresdos de distint mner.

12 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones TRABAJO PRÁCTICO ECUACIONES ) ) L solución de l ecución 8 = ( ) ( ) es: un número frccionrio y entero. 9 un número entero y negtivo. 7 9 ningun de ls nteriores. ) L solución de l ecución: = + es: 5 ningun de ls nteriores. c) El vlor de m que pertenece N y que es solución de l ecución m + (m 6) = 0 + (m 5) es: 0 ineistente 7 ningun de ls nteriores. ) Resolver ls siguientes ecuciones de primer grdo y determinr l cntidd de elementos del conjunto solución: ) ( 5 ) ) ( y )( y ) 5 y( y ) y c) 58 5 ( 9 ) d) e) ( ), siendo l incógnit y un número rel fijo. f) 5t t ( t ) g) y 6( ), siendo ms, e y, incógnits. ) Hllr ls soluciones de ls siguientes ecuciones e identificr cuáles de ells son equivlentes: ) (y ) 9 = 6 d) + ( ) = ( + ) ) ( 65 + ) = e) w w = 0 c) ( )( + ) = 0 f) = 5

13 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones ) Fctorizr los siguientes polinomios: ) P() = 5 c) R() = 6 ) Q() = + 0 d) S() = + 5) Responder: ) Es posile encontrr vlores de que stisfgn ( )( ) 5( ) y 5 0 l mismo tiempo? ) Es posile encontrr vlores de t que stisfgn 8t t y t t simultánemente? 6) Decir si ls siguientes firmciones son verdders o flss. Justificr. ) El conjunto solución de l ecución 5 está ddo por 0, 7. ) El pr (, y) = (5, ) es solución de l ecución y = 5 + 0y. ( ) c) Ls ecuciones 0 y 0 son equivlentes. d) es ríz dole del polinomio P() = +. 6) Resolver los siguientes prolems: ) De un depósito lleno de líquido se sc l mitd del contenido; después, l tercer prte del resto y quedn ún.600 litros. Clculr l cpcidd del depósito. ) Hllr dos números nturles impres consecutivos tles que su producto se 55. c) Un poste de luz de 7 m. se rompe y l dolrse, l punt de l sección rot toc el suelo m. de l se del poste. A qué ltur se rompió? (Ayud: utilizr el Teorem de Pitágors). d) Pienso un número, le sumo 5, este resultdo lo multiplico por y el nuevo resultdo lo divido por 0. Otengo sí 6. Qué número pensé? e) El perímetro del siguiente triángulo es cm. Cuál es l longitud de cd uno de sus ldos?

14 Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones f) Un rectángulo tiene por dimensiones el triple y el quíntuplo del ldo de un cudrdo. Clculr ls dimensiones de mos cudriláteros, siendo que l diferenci entre sus áres es de 05 cm.

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