Álgebra Simbólica. Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias Exactas. FMM012. Marzo 2016

Transcripción

1 Álgebra Simbólica. FMM012 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas. Marzo / 1

2 Actividad Inicial. Grupos de 3 integrantes En base a las lecturas previas responda las siguientes preguntas. 1 Qué es una expresión algebraica? 2 Qué son los términos semejantes? 3 Cómo se realiza la suma y producto de expresiones algebraicas? 4 (Desafío) Sean m 1 y m 2 móviles animados de movimiento uniforme, es decir la velocidad de cada uno es constante, los cuales se mueven en la misma dirección y en el mismo sentido, de izquierda a derecha, como se ilustra en la figura. Suponga que el móvil m 1 pasa por el punto A en el mismo instante en que el móvil m 2 pasa por el punto B. Si a denota la distancia entre A y B. A que distancia del punto A el móvil m 1 alcanza al móvil m 2? (Analice todas las posibilidades) m 1 A a m 2 B miguel.munoz.j@unab.cl 2 / 1

3 Tipos de expresiones Algebraicas Definición. Una expresión algebraica se denomina: 1 Monomio, si la expresión algebraica esta conformada por un término algebraico que sólo contiene potencias positivas o cero de las variables involucradas. xy Ejemplo. 3x 2, 3yz 2 Binomio, si la expresión algebraica esta conformada por dos monomios relacionados por las operaciones de suma o resta. Ejemplo. x 2 y 2, x + y 3z 3 Polinomio, si la expresión algebraica está conformada por más de dos monomios relacionados por las operaciones de suma y resta. Dentro de los polinomios destacan los trinomios que corresponden a polinomios conformados por tres monomios. Ejemplo. 1 + x + x 2, x 2 2xy + y 2, 1 + x 2 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

4 Operatoria = 3x xy miguel.munoz.j@unab.cl 4 / 1 Adición Para sumar dos expresiones algebraicas se agrupan y reducen los términos semejantes, teniendo en cuenta que la regla de los signos de la aritmética se satisface con las expresiones algebraicas. Ejemplo. Observe: [12x xy] + [15x 2 12xy] = 12x xy + 15x 2 12xy = [12x x 2 ] + [15xy 12xy] = 27x 2 + 3xy Sustracción. Para restar dos expresiones algebraicas se escriben una a continuación de la otra separadas por el signo de la diferencia, y se reducen términos semejantes, teniendo en cuenta que la regla de los signos de la aritmética se satisface con las expresiones algebraicas. Ejemplo. Observe: [12x xy] [15x 2 12xy] = 12x xy 15x xy = [12x 2 15x 2 ] + [15xy + 12xy]

5 Operatoria Multiplicación. Para multiplicar dos expresiones algebraicas se multiplican todos los términos de la segunda expresión por los términos de la primera expresión algebraica. Para posteriormente reducir términos semejantes. Es importante mencionar que la regla de signo y la propiedad distributiva de la aritmética se satisfacen al realizar producto de operaciones algebraicas. Ejemplo. multiplique las expresiones algebraicas 5x 3y + 3 y 3x 4 [5x 3y + 3] [3x 4] = [3x 4] [5x 3y + 3] = [(3x) (5x 3y + 3)] + [( 4) (5x 3y + 3)] = 15x 2 9xy + 9x + [ 20x + 12y 12] = 15x 2 9xy + 9x 20x + 12y 12 = 15x 2 9xy 19x + 12y 12 miguel.munoz.j@unab.cl 5 / 1

6 Productos Notables Dentro de la multiplicación de expresiones algebraicas es posible destacar un conjunto de productos denominados productos notables. Esencialmente estos productos se pueden realizar por simple inspección cada uno de ellos satisface una regla determinada. 1 Cuadrado de un binomio. Producto de un binomio por sí mismo, el cual satisface la siguiente regla de composición: (x + y) 2 = (x + y)(x + y) = x 2 + 2xy + y 2 2 Suma por su diferencia. Producto de los binomios de la forma a + b y a b, cuya regla de composición es (a + b)(a b) = a 2 b 2 3 Cubo de un binomio. Producto de un binomio por su cuadrado, el cual admite regla de composición: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 4 Suma y diferencia de cubos. Producto de dos expresiones algebraicas cuyo resultado es la suma o diferencia de dos cubos. (x y)(x 2 + xy + y 2 ) = x 3 y 3 (x + y)(x 2 xy + y 2 ) = x 3 + y 3 miguel.munoz.j@unab.cl 6 / 1

7 Actividad grupal. Tres integrantes. 1 En cada caso identifique el tipo de producto notable que representa la expresión algebraica dada. a 4m 2 12mn + 9n 2. b x ax 5 y 2 + 9a 2 y 4. c 9x x x 4. d 4x 2 1. e 4m f y 4 9y 2. g a 2x+2 4b 2x 21. h x 2 + 2xy + y 2 z 2 i a 4 + 4a 2 n + 4n 2 1 j x 6 + 4x 5 + 4x 4 x 2 2 En cada caso complete la expresión dada para formar un cuadrado perfecto: a 4x y 2 =. b 2x y 2 =. c 4x 2 6xy + =. d a 2 x 2 + 3ax + =. e 2xy + y 4 =. f + 2x + y 2 =. miguel.munoz.j@unab.cl 7 / 1

8 Actividad grupal. Tres integrantes. 3 Felipe, un estudiante de introducción a las matemáticas le pregunta a un compañero Cómo es posible asegurar que la suma de tres números naturales consecutivos es un número divisible por 3? Es posible dar respuesta a esta interrogante? 4 Fernanda es una microempresaria que tiene tres quioscos ubicados en Providencia, Ñuñoa y Santiago Centro. En los quioscos de Fernanda se vende el periódico francés. LE FIGARO. La cantidad de periódicos de LE FIGARO que compra mensualmente Fernanda para cada quisco satisfacen la siguiente regla: la cantidad de periódicos del quiosco de Providencia es el triple de la cantidad de periódicos del quiosco de Ñuñoa y la cantidad de periódicos del quiosco de Ñuñoa es el doble de los periódicos del quiosco de Santiago Centro. Cómo se expresa algebraicamente la cantidad total de periódicos LE FIGARO que compra mensualmente Fernanda? miguel.munoz.j@unab.cl 8 / 1

9 Conclusiones? 9 / 1