Los números reales CAPÍTULO Desigualdades tipo ax 2 C bx C c 0 con a 0
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- Miguel Ángel Torres Rico
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1 CAPÍTULO Los números reales.7.8 Desigualdades tipo a C b C c 0 con a 0 Se considera a 0 a que a D 0 nos daría una desigualdad del tipo b C c 0 estudiado. Para resolver en general la desigualdad a C b C c 0, nos apoaremos en las soluciones de la ecuación a C b C c D 0, que están dadas por la fórmula D b pb 4ac a Aquí, de acuerdo con el signo del discriminante b 4ac, pueden ocurrir tres casos. Si b 4ac > 0, entonces a C b C c D 0 tiene dos raíces reales distintas que son D b C p b 4ac & D b p b a a 4ac, donde ; > que se tiene cuando a > 0 así como < cuando a < 0 Por lo tanto a C b C c 0, a. /. / 0,,. /. / 0 si a > 0 o bien. /. / 0 si a < 0 canek.azc.uam.m / / 008
2 Cálculo Diferencial e Integral I Consideremos a > 0. a C b C c 0,. /. / 0 se cumple si 0 & 0 o bien 0 & 0 A su vez estas desigualdades se cumplen si & o bien & O en términos de intervalos recuerde que >. Œ ; C/ & Œ ; C/ o bien. ; &. ; I Œ ; C/ o bien. ; Por lo que el conjunto solución de a C bc C c 0 para el caso a > 0 es CS D. ; Œ ; C/ D R. ; / Tenemos Conjunto solución Consideremos a < 0.
3 Capítulo a C b C c 0,. /. / 0 se cumple si 0 & 0 o bien 0 & 0 A su vez estas desigualdades se cumplen si & o bien & O en términos de intervalos recuerde que <. Œ ; C/ &. ; o bien. ; & Œ ; C/ I Œ ; C/. ; D Œ ; o bien. ; Œ ; C/ D Ø Luego, el conjunto solución de. /. / 0 que es el de a C b C c 0 para el caso a < 0 es CS D Œ ; Ø D Œ ; Tenemos Conjunto solución. Si b 4ac D 0, entonces a C b C c D 0 tiene una única raíz real doble D D Como C b 0 a a C b C c D a C b a Si a > 0, a C b C c 0 su conjunto solución es R. Tenemos b a además
4 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I b a Si a < 0, a C b C c 0, sólo se cumplirá a C b C c 0 cuando sea a C b C c D 0, es decir, cuando D b { } b, por lo que el conjunto solución es, que consta de un a a solo punto. b a. Si b 4ac < 0, entonces a C b C c D 0 no tiene raíz real alguna. Es decir, para cualquier R, tenemos que a C b C c 0 por lo que sucede uno de los casos siguientes a. La cuadrática siempre es positiva, en cuo caso el conjunto solución es R si, por ejemplo, el valor de a C b C c para D 0 que es c > 0. Conjunto solución = R
5 Capítulo b. La cuadrática nunca es positiva, entonces el conjunto solución es Ø, si c < 0 no eisten soluciones. Conjunto solución = Ø Ejemplo.7. Resolver la desigualdad C 6 0. H Primero resolvemos la ecuación C 6 D 0 D 4./. 6/./ D p C 48 4 D 7 4 Aquí aparecen dos raíces reales diferentes que son D C 7 4 D 6 4 D & D 7 4 Entonces la factorización del trinomio cuadrático es C 6 D Œ. / D D 8 4 D. C / Luego resolvemos la desigualdad C 6 0,. C / 0,. C / 0;.a que > 0/,, 0 & C 0 o bien 0 & C 0,, & o bien &,, ; ] [ &. ; o bien ; C & Œ ; C/,, ; ] [. ; o bien ; C Œ ; C/, [,. ; o bien ; C. ; [ ; C
6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I Por lo tanto el conjunto solución de la desigualdad C CS D. ; [ ; C D R 6 0 es ; Conjunto solución Conjunto solución Ejemplo.7. Resolver la desigualdad 4 4 C > 0. H Primero resolvemos la ecuación 4 4 C D 0 D. 4/. 4/ 4.4/./.4/ D 4 p6 6 8 D D 4 8 D Aquí se tiene una única raíz real doble que es D. Entonces la factorización del trinomio cuadrático es 4 4 C D 4 Lo cual se puede ver directamente pues 4 4 C D 4 C D 4 4 Luego resolvemos la desigualdad 4 4 C > 0, 4 Por lo tanto el conjunto solución es, > 0, CS D R 0, { } > 0 a que 4 > 0,
7 7 Capítulo 7 Conjunto solución Ejemplo.7. Resolver la desigualdad C C 0. H Resolvemos la ecuación C C D 0 D 4./././ D p4 8 D p 4 Aquí no se tienen raíces reales, a que p 4 no es un número real. Esto nos indica que para ningún número real sucede la igualdad C C D 0. Tenemos entonces, como veremos posteriormente, que para cada número real se cumple C C < 0 o bien C C > 0 Como D 0 C C D 0 C.0/ C D siempre se cumple que C C > 0 nunca se cumple que C C 0 El conjunto solución de C C 0 es CS D Ø También se puede ver directamente pues C C D C C C D. C / C > 0 siempre.
8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Ejemplo.7.4 Resolver la desigualdad < 0. H Resolvemos la ecuación D 0 D. /. / 4./. /./ Aquí se tienen dos raíces reales diferentes, que son D C 8 D p4 C 60 D 0 D D 8 Entonces, la factorización del trinomio cuadrático es D p64 D 6 D D 8 D. /Œ. / D. /. C / La cual también podemos hacer directamente. Resolvemos la desigualdad < 0,. /. C / < 0,, < 0 & C > 0 o bien > 0 & C < 0,, < & > o bien > & <,,. ; / &. ; C/ o bien.; C/ &. ; /,,. ; / o bien.; C/. ; / D Ø. ; / Ø. ; / Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo CS D. ; /
9 9 Capítulo 9 Conjunto solución 6 V. ; 6/ Solución geométrica D a C b C c es una parábola de eje paralelo al de las, que dirige su concavidad hacia arriba si a > 0 o bien hacia abajo si a < 0. El vértice de esta parábola se puede determinar escribiendo a C b C c D a C ba C c Completando el binomio C ba de forma que sea un trinomio cuadrado perfecto restando lo mismo que sumamos, para no alterar la igualdad, tenemos que Es decir a C b C c D a ba b b C C 4a 4a D a ba b C C C c D a C b C a 4a 4ac b 4a D a C b 4ac b C a 4a 4ac b D a C b ; 4a a C c D b 4a D que es la ecuación de una parábola con eje vertical vértice en el punto de coordenadas b a ; 4ac b b D 4a a ; c b 4a
10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba si a < 0, se abre hacia abajo. Este vértice puede estar encima del eje de las, en el eje o debajo, dependiendo si c b 4a >; D; o bien < 0; por lo que las parábolas quedan de la siguiente forma. a > 0. b 4ac < 0 b 4ac > 0 V b 4ac D 0 V b a V Y el conjunto solución de a C b C c 0 por lo tanto es R en los dos primeros casos, es decir, si b 4ac 0. El conjunto solución es. ; Œ ; C/ si b de a C b C c D 0. 4ac > 0 donde < son las dos soluciones. a < 0. V b a V V b 4ac D 0 b 4ac > 0 b 4ac < 0
11 Capítulo En el primer caso si b 4ac > 0, el conjunto solución es Œ ;, donde nuevamente & son las dos raíces reales distintas de a C b C c D 0. { } b Si b 4ac D 0, el conjunto solución consta de un solo punto. a Y si b 4ac < 0, el conjunto solución de a C b C c 0 es el conjunto Ø. Ejemplo.7. Resolver geométricamente la desigualdad C C 0. H Notamos que D C C es de la forma D a C b C c, donde a D, b D & c D. Aquí a < 0 a que a D, por lo cual D C C es una parábola de eje vertical que se abre hacia abajo a partir de su vértice V. D C C D. / C D. C / C I D. C / C C D. / C 4I D 0 D & D D 4; por lo que V.; 4/ es el vértice. Visualizamos la parábola, en el plano cartesiano, abriéndose hacia abajo desde el vértice V.; 4/. Vemos la conveniencia de resolver la ecuación C C D 0. p6 D 4. /./. /, D C 4 D p4 C D D D 4 D D 6 D D 4, Se tiene entonces una parábola donde 0, cuando ; es decir C C 0, cuando. 4 V.; 4/ Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad original es CS D Œ ;
12 Cálculo Diferencial e Integral I Desigualdades tipo a C b C c a C b C c con a a Si a D a, trasponiendo los términos al primer miembro reduciéndolos, nos quedaría una desigualdad del tipo b C c 0, si b b. Si también b D b, nos queda la desigualdad c c que puede ser verdadera o no; en el primer caso el conjunto solución sería R en el segundo Ø. Transponiendo los términos, nuestra desigualdad la podemos escribir de la forma Esto es Que es del tipo a C b C c 0 anterior. a C b C c.a C b C c / 0.a a / C.b b / C.c c / 0 Ejemplo.7.6 Resolver la desigualdad 4 C 9 C 0. H 4 C 9 C 0, 4 C 9 C 0 0, 6 0 Resolvemos la ecuación 6 D 0. D. /. / 4.6/. /.6/ p89 D C 7 D D 7 D 0 D D 7 D p69 C 0 D 4 D D La factorización del trinomio cuadrático es 6 D 6 Resolvemos la desigualdad 6 0, 6, [ ] D 6 C 0, C C 0, 0 & C 0 o bien 0 & C 0,, &, ; ] [ & ; C, ; ] [ ; C [, ; ] o bien &, [ ] o bien ; C & ;, ] [ o bien ; ; C, o bien Ø
13 Capítulo [ ; ] [ Ø ; ] Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad original es [ CS D ; ] Ejemplo.7.7 Resolver la desigualdad C 4 > C. H C 4 > C, C 4 C > 0, C C > 0 Esta desigualdad, como consecuencia de lo que vimos en el ejemplo.7. página 7 que CC 0 nunca se cumple, siempre se cumple. Por lo tanto el conjunto solución de la desigualdad original es CS D R Geométricamente resolver la desigualdad a C b C c a C b C c, con a a quiere decir hallar las tales que la parábola D a C b C c no está abajo de la parábola D a C b C c. Ejemplo.7.8 Geométricamente, resolver la desigualdad 4 C 9 C H Completando un trinomio cuadrado perfecto en cada caso, determinamos el vértice de cada parábola. 4 C D 4 C C C C 4 6 D 4 C C I C 9 C D C 9 C 8 C D C La parábola D 4 C se abre hacia abajo por ser a D 4 < 0 a partir de su vértice V 4 ; 9 la parábola D C 9 C se abre hacia arriba por ser a D > 0 a partir de su 4 9 vértice V 4 ; 4. 8 Las parábolas se intersecan cuando C9C D 4 C. Esto sucede cuando 6 CC D 0, es decir, cuando D p p49 7 D D 7 D
14 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I «V 4 ; D C 9 C D 4 C «9 V 4 ; 4 8 Conjunto solución CS D [ ] ; ; donde son las abscisas de los puntos de intersección de las dos parábolas D 4 ; [ ] D C 9 C en el intervalo ; la primera no está abajo de la segunda. Ejercicios.7.8 Soluciones en la página Resolver las siguientes desigualdades. C 4 > < C C > C < C C 9 C C > C 0 C.. C 4 < C 6.. < 4 4. C C
15 Capítulo Ejercicios.7.8 Desigualdades del tipo a C b C c 0 con a 0, página 4.. ; /.4; C/ D R Œ; 4.. ; 6/ ] [. ; ; C D R ; 4.. ; Œ; C/ D R. ; /.. ; / [ ] ; C D R ; 6. ; ] Œ; 7. ; C/ D R ; [ 8. ; ] [ ] [ ] 9. ; Ø D ; 0... Ø ; ; C D R [ ; ]. Œ; / [ 4. ; ].. ; ] ; ; ; [ ; ] p ] [p 4 C 4 ; C ] [ ; C D R ;
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