UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciación.

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1 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS SOLUCIONES ) 3-1. Calcular, para las siguientes funciones. a) fx, y) x cos x sen y b) fx, y) e xy c) fx, y) x + y ) lnx + y ) HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciación. a) Las derivadas parciales de la función fx, y) xcos x)sin y) son x, y) cos x sin y x sin x sin y, b) Las derivadas parciales de la función fx, y) e xy son x, y) y e xy, x, y) x, y) xye xy x cos x cos y c) Las derivadas parciales de la función fx, y) x + y ) lnx + y ) son x, y) x ln x + y ) + x, x, y) y ln x + y ) + y 3-. Determinar la productividad marginal de cada factor para la siguiente función de producción Cobb-Douglas F x, y, z) 1x 1/ y 1/3 z 1/4 Calculamos las derivadas parciales respecto a cada uno de los factores F F F 6x 1/ y 1/3 z 1/4 4x 1/ y /3 z 1/4 3x 1/ y 1/3 z 3/ Calcular el gradiente de las siguientes funciones en el punto p indicado. a) fx, y) a x y ) 1/ en p a/, a/). b) gx, y) ln1 + xy) 1/ en p 1, 1). c) hx, y) e y cos3x + y) en p π/3, 0). ) a) a x y ) 1/ x, y por lo que el gradiente es a x y ) a x y ) x a x y ), y 1, a x y )) 1 ) xya/ b) ln1 + xy) 1/ ) 1 c) ) y 1+xy, x 1+xy por lo que el gradiente en el punto pedido es 1 4, 4) 1. e y cos3x + y)) xπ/3,y0 3e y sin 3x + y), e y cos 3x + y) e y sin 3x + y)) xπ/3,y0 0, 1) 1

2 3-4. Sea la función: fx, y) { x +y x + y senxy) six, y) 0, 0) 0 six, y) 0, 0) a) Calcular las derivadas parciales de f en el punto 0, 0). b) Comprobar que f es continua en R. sug: Utilizar demostrando primero) que si x, y) 0, 0), entonces x + y 0 1) x + y c) Es f diferenciable en 0, 0)? a) Las derivada parcial respecto a x es ft, 0) f0, 0) 0, 0) lim 0 t 0 t ya que sen0) 0. Análogamente, por lo que f0, t) f0, 0) 0, 0) lim 0 t 0 t f0, 0) 0, 0) b) Observamos que si x, y) 0, 0), la función f es un cociente de funciones continuas y, por lo tanto es continua en todos los puntos x, y) 0, 0). Recordemos que la función f es continua en el punto 0, 0) si lim fx, y) f0, 0) x,y) 0,0) Vamos a demostrar esto. En primer lugar, como x, y 0 por lo que x + y x + y + x y x + y ) x + y 0 1) x + y Dado ε > 0, tomamos δ ε/. Supongamos ahora que 0 < x + y < δ y entonces tenemos que fx, y) x + y senxy) ya que senxy) 1) x + y x + y x + y x + y x + y x + y x + y < δ ε por la observación anterior) c) En primer lugar, observamos que f es diferenciable en R \ {0, 0)}, ya que las parciales existen y son continuas en es conjunto. La función es diferenciable en 0, 0) si fv 1, v ) f0, 0) f0, 0) v 1, v ) lim 0 v 1,v ) 0,0) v 1 + v Observamos que f0, 0) 0, f0, 0) v 1, v ) 0. Así que consideramos el cociente fv 1, v ) v1 + v v v 1 + v v 1 + v ) v1 + senv 1 v ) 1 + v v v 1 + v ) senv 1v ) con v 1, v ) 0, 0). La función f es diferenciable en 0, 0) si v lim 1 + v v 1,v ) 0,0) v 1 + v ) senv 1v ) 0

3 3 Por la observación hecha en el apartado anterior, tenemos que v v v 1 + v ) senv 1v ) senv 1 v ) y como senv 1 v ) es continua, por lo que 3-. Sea la función y f es diferenciable en 0, 0). lim v 1,v ) 0,0) fx, y) lim senv 1v ) 0 v 1,v ) 0,0) v 1 + v v 1 + v ) senv 1v ) 0 { x sen y x +y si x, y) 0, 0) 0 si x, y) 0, 0) a) Estudia la continuidad de f en R. b) Calcula las derivadas parciales en el punto 0, 0). c) En qué puntos es diferenciable la función? a) Observamos que Por otra parte, 0 lim ft, 0) lim t 0 t 0 t 0 t sen t sen t lim ft, t) lim t 0 t 0 t lim 1 t 0 t como no coinciden, el límite lim fx, y) x,y) 0,0) no existe y, por tanto, f no es continua en 0, 0). La función es continua en R \ {0, 0)}, ya que es un cociente de funciones continuas y el denominador no se anula. b) Las derivada parcial respecto a x es ya que sen0) 0. Análogamente, ft, 0) f0, 0) 0, 0) lim t 0 t 0 lim t 0 t 3 0 f0, t) f0, 0) 0 0, 0) lim lim t 0 t t 0 t 3 0 c) En primer lugar, observamos que f es diferenciable en R \ {0, 0)}, ya que las parciales existen y son continuas en es conjunto. La función no es diferenciable en 0, 0) ya que no es continua en ese punto Sea la función fx, y) { x3 y x +y cosxy) si x, y) 0, 0) 0 si x, y) 0, 0) a) Calcular las derivadas parciales de f en el punto 0, 0). b) Comprobar que f es continua en R. sug: Observa que si x, y) 0, 0), entonces 1 x + y 1 x + y ) c) Es f diferenciable en 0, 0)? a) Las derivadas parciales son y ft, 0) f0, 0) 0 0, 0) lim lim t 0 t t 0 t 3 0 f0, t) f0, 0) 0 0, 0) lim lim t 0 t t 0 t 3 0

4 4 b) La función es continua en R \{0, 0)}, ya que es un cociente de funciones continuas y el denominador no se anula. Estudiamos ahora la continuidad en 0, 0). Sea ε > 0. Tomamos δ ε/. Si 0 < x + y < δ entonces, x 3 y x + y cosxy) x x y x + y cosxy) c) La función es diferenciable en 0, 0) si x y porque x x + y y cosxy) 1 x ) ) y x + y x + y < δ ε fx, y) f0, 0) f0, 0) x, y) lim 0 x,y) 0,0) x + y Como f0, 0) 0, f0, 0) x, y) 0, La función es diferenciable en 0, 0) si lim x,y) 0,0) x 3 y x + y ) x + y cosxy) 0 Dado ε > 0, tomamos δ ε. Si 0 < x + y < δ entonces, x 3 y x + y ) x + y cosxy) x 3 y x + y ) x + y por lo que f es diferenciable en 0, 0). x x y x + y ) x + y x y x x + y y x + y y x + y < δ ε 3-7. Calcular las derivadas de las siguientes funciones en el punto p según el vector v indicados en cada caso. a) fx, y) x + xy 3y, con p 1, ), v 3, 4) b) gx, y) e xy + y arctg x, con p 1, 1), v 1, 1) c) hx, y) x + y ) 1/, con p 0, ), v 1, 1). a) x + xy 3y ) x1,y 1 + y, x 6y) x1,y, 10). Por lo que la derivada según el vector 3, 4) es b) e xy + y arctan x) x1,y1, 10) 3, 4) ye xy + y 1+x, xe xy x1,y1 + arctan x) 1, e + π 4 ). Por lo que la derivada según el vector 1, 1) es e + 1, e + arctan 1) e + c) x + y ) 1/ ) x0,y vector 1, 1) es e + 1, e + π 4 ) 1, 1) 1 π 4 ) x, y 0, 1). Por lo que la derivada según el x +y ) x +y ) x0,y 0, 1) 1, 1) Sea Bx, y) 10x x 1 xy + y los beneficios de una empresa. El año pasado vendió x 4 unidades de la mercancía 1 e y unidades de la mercancía. Si este año desea aumentar sus ventas en una pequeña cantidad de la forma más beneficiosa posible, a qué deberá ser igual x y? 10x x xy + y) x4,y 10 x y, x + ) x4,y 1, 3)

5 Como el gradiente indica la dirección de máximo crecimiento de la función, si hay un incremento x, y), para que ese aumento sea lo más beneficioso posible, se debe cumplir que x, y) k1, 3). De ahí obtenemos que x k y y 3k y, por tanto, x/ y 1/ Se sabe que, 3) 7 y D 1, )f,3) 3 obtener, 3) y D vf,3) con v 3, 4 ). Sabemos que ) D 1, )f, 3), 3),, 3) 1, ) 3 y que Llamando se debe cumplir que Y eso equivale a y, por tanto Ahora podemos calcular D 3, 4 ) f, 3), 3) 7 z, 3) 7, z) 1, ) z, 3) 4 3 ) 3, 3),, 3), 4 ) 3 7, 4), 4 ) Dada la función fx, y, z) xy + z y, calcula la derivada según el vector v 1, 1, ) en el punto 1, 1, 0). Determina la dirección para la que se maximiza resp. minimiza) la derivada direccional en el punto 1, 1, 0), así como su valor. El gradiente de la función fx, y, z) xy + z y en el punto 1, 1, 0) es f1, 1, 0) xy + z y) x1,y1,z0 y, xy + z, zy ) x1,y1,z0 1,, 0) La derivada según vector v es D v f1, 1, 0) f1, 1, 0) v 1,, 0) 1, 1, ) 1 La dirección que maximiza la derivada direccional es f1, 1, 0) f1, 1, 0) 1 1,, 0) y el valor máximo de la derivada direccional es f1, 1, 0). Análogamente, la dirección que minimiza la derivada direccional es f1, 1, 0) f1, 1, 0) 1 1,, 0) y el valor mínimo de la derivada direccional es f1, 1, 0) Sea fx, y) x + y + 1 y gx, y) x + y, ay) determinar, a) El valor de a para que la función f g tenga como dirección de máximo crecimiento la del vector v, 7) en el punto p 1, 1). b) Las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva xy x + y + x 6 en el punto 4, ). Consideramos las funciones fx, y) x + y + 1 y gx, y) x + y, ay)

6 6 a) La composición es fgx, y)) fx + y, ay) x + y) + a y + 1 y el gradiente en el punto 1, 1) es fg1, 1)) x + y, x + y + a y ) x1,y1 4, 4 + a ) Para que fgx, y)) tenga en el punto 1, 1) como dirección de máximo crecimiento la del vector v, 7), debe verificarse v y fgx, y))1, 1) sean paralelos. Es decir, cuya solución es 4 + a 7 4 a ± b) Notemos primero que el punto 4, ) satisface la ecuación xy x + y + x 6. Ahora, el gradiente de la función gx, y) xy x + y + x 6 en el punto 4, ) es g4, ) y 4x +, xy + 1) x4 7, 17) y Por tanto, la ecuación de la recta tangente es 7, 17) x 4, y ) 0 y las ecuaciones paramétricas de la recta normal son xt), yt)) 4, ) + t 7, 17) 3-1. Calcular la matriz Jacobiana de F en los casos siguientes. a) F x, y, z) xyz, x z) b) F x, y) e xy, ln x) c) F x, y, z) sen xyz, xz) a) La matriz Jacobiana de F es D F x, y, z) ) yz xz xy xz 0 x b) La matriz Jacobiana de F es ) ye xy xe D F x, y, z) xy 1/x 0 c) La matriz Jacobiana de F es D F x, y, z) yz sen xyz xz sen xyz xy sen xyz z 0 x ) Utilizando la regla de la cadena calcula las derivadas r en los casos siguientes. a) z x xy + y, x r + θ, y r θ b) z x y, x r cos θ, y r sin θ θ a) r θ r + r x y x + y 0 θ + θ x y x + y) 4x y) 8θ

7 7 b) r θ r + r 10x x y cos θ 10y x y sin θ r cos θ r r sin θ r r r θ + θ 10x x y + 10y x y 10x x y r sin θ) 10y r cos θ) x y r cos θ sin θ r r cos θ sin θ r La utilización del capital K en el instante t genera unos beneficios en ese momento de Bt) 1 + t) 1/ K Supongamos que el capital varía en el tiempo según la ecuación Kt) 10e t/4. Determinar la tasa de cambio de B. Como vemos que dk dt 30et/4 d dt B 1 + t) 1/ K t) 1/ dk dt t) 1/ e t/ t) 1/ e t/ Verificar la regla de la cadena para la función h x y + y z + z x con x et, y e t y z e t3. Tenemos hx, y, z) x y + y z + x z y xt) et, yt) e t, zt) e t3. Sustituyendo, hxt), yt), zt)) et + et + et e t e t3 e t3 e t 1+t) + e t 1+t) + e t 1+t)t+1)) Ahora derivamos, D t e t 1+t) + e t 1+t) + e t 1+t)t+1)) ) e t 1+t) e t 1+t) t + e t 1+t) t 3e t 1+t) t + e t 1+t)t+1)) 3e t 1+t)t+1)) t. Etc. D x fx) gx) ) x) gx) gx) fx) g x) D t et ) e t 1+t) te t 1+t) e t D t et ) te t 1+t) 3t e t 1+t) e t3 D t et ) e t 1+t)t+1)) 3t e t 1+t)t+1)) e t Verificar la regla de la cadena para la composición f c en los casos. a) fx, y) xy, ct) e t, cos t). b) fx, y) e xy, ct) 3t, t 3 ).

8 8 a) Las funciones son fx, y) xy y ct) xt), yt)) e t, cos t). Por lo que, fxt), yt)) fe t, cos t) e t cos t y d dt fxt), yt)) et cos t e t sin t Ahora calculamos fct)) dc dt Por un parte, fx, y) y, x) mientras que dc dt et, sin t) Por tanto, fct)) dc dt yt)et xt) sin t que coincide con lo que hemos encontrado más arriba. b) Las funciones son fx, y) e xy y ct) xt), yt)) 3t, t 3 ). Por lo que, fxt), yt)) f3t, t 3 ) e 3t y Ahora calculamos Por un parte, mientras que Y por tanto, d dt fxt), yt)) 1t4 e 3t fct)) dc dt fx, y) ye xy, xe xy ) dc dt 6t, 3t ) fct)) dc dt 6ye xy t + 3xe xy t ) x3t 1t 4 e 3t,yt Expresar mediante la regla de la cadena h x) en los siguientes casos. a) hx) fx, ux, a)), donde a R es un parámetro. b) hx) fx, ux), vx)). a) b) h x) h x) x, ux), vx)) x, ux, a)) + + x, ux, a)) ux, a) x, ux), vx)) u x) + x, ux), vx)) v x) Determinar en qué puntos la superficie z e x 1) +y tiene un plano tangente horizontal y calcular su ecuación en esos puntos. Consideramos la función de 3 variables gx, y, z) e x 1) +y z Nos piden el plano tangente a la superficie de nivel A {x, y, z) R 3 : gx, y, z) 0} en un punto x, y, z) en el que ese plano sea horizontal. En ese punto debe verificarse Como, gx, y, z) gx, y, z) 0, 0, 1) debe verificarse que x 1, y 0. La coordenada z es ) x 1)e x 1) +y, ye x 1) +y, 1 z e x 1) +y x1,y0 1

9 9 El plano tangente es horizontal en el punto 1, 0, 1) y su ecuación es z Considerar la función fx, y) xe y ) 3. a) Calcular el plano tangente a la gráfica de f en el punto, 0). b) Aproximar, utilizando el plano tangente a la gráfica de f, el valor de 1, 999e 0,00 ) 3. a) Nos piden el plano tangente a la gráfica de f en el punto, 0, f, 0)), 0, 8). función de 3 variables La gráfica de f es la superficie de nivel de g, gx, y, z) x 3 e 3y z A {x, y, z) R 3 : gx, y, z) 0} Consideramos la Por tanto, nos piden calcular el plano tangente a la superficie de nivel A en el punto, 0, 8). Como, g, 0, 8) 3x e y, 3x 3 e y, 1) x,y0,z8 1, 4, 1) la ecuación del plano tangente es es decir 1, 4, 1) x, y, z 8) 0 1x + 4y z 16 b) Nos piden calcular la función fx, y) x 3 e 3y en el punto 1 999, 0 00). Como f es diferenciable y este punto es muy cercano al punto, 0), utilizamos la aproximación del plano tangente con lo que obtenemos z 1x + 4y 16 f1 999, 0 00) 1x + 4y 16) x1 999,y Calcular el plano tangente y la recta normal a las superficies de nivel en los puntos que se indican a continuación. a) x + xy + y z 0 en el punto 1, 1, ). b) x + y z 0 en el punto 1,, ). c) y x )y x ) z 0 en el punto 1, 3, ). a) Calculamos el gradiente x + xy + y z) x,y,z)1,1,) x + y, x + 4y, 1) x,y,z)1,1,) 4, 6, 1) por lo que la ecuación del plano tangente es es decir, b) Calculamos el gradiente 4, 6, 1) x 1, y 1, z ) 0 4x + 6y z x + y z) x,y,z)1,,) x, y, 1) x,y,z)1,,), 4, 1) por lo que la ecuación del plano tangente es, 4, 1) x 1, y, z ) 0 es decir, x + 4y z

10 10 c) Calculamos el gradiente y x )y x ) z) x,y,z)1,3,) xy x ) 4xy x ), y 3x, 1) x,y,z)1,3,) 10, 3, 1) por lo que la ecuación del plano tangente es es decir, 10, 3, 1) x 1, y 3, z ) 0 10x 3y + z Sean f, g : R R dos funciones cuyas derivadas parciales son continuas en todo R. a) Probar que si g x, y) x, y) para todos los puntos x, y) R, entonces f g sólo depende de y. b) Probar que si g x, y) x, y) para todos los puntos x, y) R, entonces f g sólo depende de x. c) Probar que si f g)x, y) 0, 0) para todos los puntos x, y) R, entonces f g es constante en todo R. d) Encontrar una función f : R R tal que x, y) yx + x + y, Hay más funciones que verifiquen estas condiciones? x, y) y x + y, f0, 0) 1 Las funciones f y g son de clase C 1. a) Fijamos dos puntos a, b), x, b) R. Sea hx, y) fx, y) gx, y). Por el Teorema del Valor medio, hx, b) ha, b) hc) x a, 0) para algún punto c c 1, c ) tx, b) + 1 t)a, b) tx + 1 t)a, b) con 0 < t < 1. Como h c) 0, tenemos que hx, b) ha, b) 0. Es decir, hx, b) ha, b) para todo x R y la función h no depende de y b) Análogo al caso anterior. c) Tenemos que en todos los puntos de R, f g) f g) y por tanto f g no depende ni de x ni de y. d) Si sabemos que x, y) yx + x + y, podemos integrar con respecto a y, es decir fx, y) yx + x + y)dy 1 y x + xy + y + Cx) donde Cx) es una función que depende sólo de x. La otra condición es que x, y) y x+y ; probamos con la función que hemos obtenido 0 ) 1 y x + xy + y + Cx) y x + y + C x) por tanto, C x) 0, por lo que Cx) c una constante. Para encontrar c usamos la última condición que es f0, 0) 1, por tanto fx, y) 1 y x + xy + y + c f0, 0) c por un lado y, por otro, f0, 0) 1, por tanto c 1

11 11 La función fx, y) 1 y x + xy + y + 1 verifica las condiciones pedidas. Si hubiera otra función g de clase C 1 que verificara estas condiciones tendríamos que f g)x, y) 0, 0) en todos los puntos x, y) R. Por el apartado c) tenemos que hay una constante A R tal que f g)x, y) A para todo x, y) R. Pero, como f0, 0) 1 g0, 0), tenemos que A 0 y las dos funciones coinciden.