DISEÑOS MULTIFACTORIALES CON RESTRICCIONES DE ALEATORIZACIÓN. Diseños en bloques completos aleatorizados con dos tratamientos

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1 DISEÑOS MULTIFACTORIALES CON RESTRICCIONES DE ALEATORIZACIÓN Los diseños en bloques utilizan una restricción en la aleatorización. Los cuadrados latinos utilizan dos restricciones en la aleatorización. Diseños multifactoriales con restricciones de aleatorización: Extensión a Diseños con más de un factor. Diseños factoriales en los que es necesario restringir la aleatorización completa EJEMPLO Diseños en bloques completos aleatorizados con dos tratamientos En una industria alimenticia están interesados en estudiar si el volumen del pan está afectado por distintos tipos de grasas y de levaduras. Para ello se tomaron tres tipos de grasas y tres tipos de levaduras. Aunque la harina es el ingrediente principal del pan ésta no fue objeto de este experimento. Sin embargo, los investigadores pensaban que el tipo de harina tenía que influir y tomaron cuatro tipos de harinas como bloques. Para crear un diseño en bloques completos, todas las combinaciones de los tratamientos (tipos de grasas y levaduras) fueron asignadas aleatoriamente dentro de cada bloque (tipo de harina). Harinas Grasas Levaduras ,7 4,3 5, ,1 5,9 5,6 3 5,5 6,4 5,8 1 5,9 7,4 7, ,6 6,8 3 6,4 5,1 6,2 6,3 1 7,1 5, ,3 6,6 8,1 6,8 3 7,5 9,1 1

2 Celdas vacías ) el n o de ensayos de cada combinación varía a través de las filas. Todas las posibles combinaciones de tratamientos (grasa levadura) está representadas al menos una vez ) la estimación de esta interacción (grasa levadura) no está afectada por las celdas vacías. MODELO ESTADÍSTICO y ijk = µ + τ i + β j + γ k +(τ γ) ik +u ijk ; i =1, 2, 3 ; j =1, 2, 3, 4 ; k =1, 2, 3 τ i, β j, γ k, y (τ γ) ik son los efectos producidos por el nivel i-ésimo de la grasa, el j-ésimo de la harina, el k-ésimo la levadura y el (i, k)-ésimo de la grasa levadura, respectivamente. Las restricciones son: P i τ i = P j β j = P k γ k = P i (τγ) ik = P k (τγ) ik = 0 La interacción entre los bloques y los tratamientos es despreciable. Si estas interacciones existen, no hay forma de separarlas del componente de error El término error está formado por las interacciones (τβ) ij, (βγ) jk y (τβγ) ijk. F.V. S. C. G. L. C.M F exp Factor A (Grasa), ,059 5,059/0,165 =,385 Sig 1 % Factor B. (Harina) 8, ,897 2,897/0,165 = 17,513 Sig 1 % Factor C (Levadura) 0, ,499 0,499/0,165 = 3,014 No-Sig Inter. A C 5, ,4 1,4/0,165 = 8,522 Sig 1 % Error 2, ,165 TOTAL 24, Efecto de la interacción Sig =) Se deben comparar el efecto de la levadura con cada nivel de la grasa y el efecto de la grasa con cada nivel de la levadura (Gráficos de pérfil en SPSS) 2

3 EJEMPLO Diseños en bloques completos aleatorizados con dos tratamientos y con celdillas vacías. Consideremos de nuevo la situación del ejemplo anterior pero en este caso no hay datos disponibles para algunas combinaciones de grasas y levaduras. Harinas Grasas Levaduras Las celdillas correspondientes a las combinaciones de tratamientos (grasa 1 y levadura 3) y (grasa 2 y levadura 2) están vacias. El modelo matemático coincide con el modelo anterior No hay algunas de las combinaciones de tratamientos ) No se debe utilizar lass.c.tipoiii) Realizar los contrastes con S. C. de Tipo IV. (Estos tests comparan los niveles de un tratamiento promediando sobre uno o más niveles comunes de los otros tratamientos). F.V. S. C. Tipo IV G. L. C.M F exp Factor A 5, ,523 2,523/0,190 = 13,252 Sig 1 % Factor B. 7, ,591 2,591/0,190 = 13,609 Sig 1 % Factor C 2, ,8 1,8/0,190 = 6,343 Sig 5 % Inter. A C 5, ,700 2,700/0,190 = 14,183 Sig 1 % Error 2, ,190 TOTAL 22,338 3

4 DISEÑOS EN PARCELAS DIVIDIDAS Son diseños factoriales en los que intervienen bloques aleatorizados y no es posible aleatorizar totalmente el orden de los ensayos dentro de cada bloque. Esta situación suele conducir a una generalización del diseño en bloques aleatorizado. EJEMPLO Se lleva a cabo un experimento para determinar el efecto de la temperatura y el tiempo de tratamiento sobre la resistencia del acero. Se seleccionan dos niveles de la temperatura y tres niveles del tiempo. El experimento se lleva a cabo calentando el horno a una temperatura seleccionada e introduciendo tres probetas. Después de minutos se extrae una probeta. A los minutos se extrae una segunda probeta y a los la última. Después se cambia la temperatura al otro nivel y se repite el proceso. Sin embargo en cada turno de trabajadores sólo se pueden llevar a cabo seis ensayos diarios por lo que se debe realizar una réplica en cada turno durante cuatro turnos y considerar los turnos o las réplicas como bloques. Analice los datos y realice las conclusiones apropiadas suponiendo que los dos factores principales son fijos y el factor bloque es aleatorio. Temperatura Turnos Tiempo Baja Alta

5 Diseño multifactorial formado por dos factores de efectos fijos (la temperatura yeltiempo)yunbloque. La forma en que esta realizado el experimento ) no ha sido posible aleatorizar totalmente el orden de los ensayos en cada bloque ) generalización del diseño en bloques aleatorizados que se llama diseño en parcelas divididas. Si la forma de realizar este experimento es: Seleccionar dentro de cada bloque una combinación de tratamientos (una temperatura y un tiempo) y hacer la observación, después se selecciona otra combinación de tratamientos y se hace otra segunda observación y se continua de esta forma hasta completar las seis observaciones del bloque. Entonces, en esta situación estamos ante un diseño factorial con dos temperaturas (factor A) y tres tiempos (factor B) asignados a bloques aleatorizados. La forma de realizar este experimento es: Se calienta el horno a una temperatura seleccionada y se introducen tres probetas A los minutos se extrae una probeta, a los minutos se extrae una segunda probeta y a los la última. Repetir el proceso con la otra temperatura Nuestra situación es: Cada bloque del diseño (factor A : Turnos) se divide en tres partes llamadas tratamientos principales (factor B: los tiempos de cocción). Ambos forman la parcela completa Cada parcela completa se divide en dos partes llamadas subparcelas o parcelas divididas (factor C :temperatura). 5

6 MODELO ESTADÍSTICO y ijk = µ + τ i + β j + γ k +(τβ) ij +(τγ) ik +(βγ) jk +(τβγ) ijk : 8 < i =1, 2, 3, 4 j =1, 2, 3 k =1, 2 τ i, β j y (τβ) ij : representan la parcela completa y corresponden, respectivamente, a los bloques (factor A: turnos de lo trabajadores), los tratamientos principales (factor B: tiempos de cocción) y al error de la parcela completa (interacción A B) γ k, (τγ) ik, (βγ) jk y (τβγ) ijk : representan a la subparcela y corresponden, respectivamente, al tratamiento de la subparcela (factor C: temperatura), a las interacciones A C y B C y al error de la subparcela (interacción A B C) SUMAS DE CUADRADOS Se calculan como en un análisis de la varianza de tres factores sin réplicas. ANÁLISIS ESTADÍSTICO Al ser un modelo con dos factores fijos (tiempo (factor B) ytemperatura (factor C) y un factor aleatorio los turnos (factor A). El CMA se compara con el cuadrado medio residual CMR. F exp(a) = CMA CMR El CMB se compara con el cuadrado medio del error de la parcela completa CM(A B). F exp(b) = CMB CM(A B) 6

7 El CMC se compara con el cuadrado medio de la interacción del factor A (bloque) con el factor C, CM(A C) F exp(c) = CMC CM(A C) El CM(A C), CM(B C) y CM(A B) se compara con el cuadrado medio del error de la subparcela, CM(ABC). F exp(a C) = CM(A C) CM(ABC) ; F exp(b C) = CM(B C) CM(ABC) ; F exp(a B) = CM(A B) CM(ABC) F.V. S. C. G. L. C.M F exp Tipo IV Tempera. (F) 2340, , ,375/80,153 = 29,199 Tiempo (F) 159, ,625 79,625/79,736 = 0,999 Turnos (A) 145, ,486 48,486/119,153 = 0,407 Temp Tiemp (F) 795, , ,625/40,736 = 9,761 Temp Turnos (A) 240, ,153 80,153/40,736 = 1,968 Tiemp Turn (A) 478, ,736 79,736/40,736 = 1,957 Tem Tiem Turn 244, ,736 SCR 714, ,153 SCT 4874, Al nivel de significación del 5 % son significativos los efectos de la temperatura y de la interacción temperatura tiempo 7